Appunti Elaborazione statistica dei segnali M - Parte 1

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Author: BlackThunder95

Revisionato il 11/07/2026

di BlackThunder95

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Appunti Elaborazione statistica dei segnali M Parte 1, prima parte di 5, nelle 5 parti complessive sono racchiusi tutti gli appunti presi a lezione con i due prof, sono completi di ogni …

Esame Elaborazione statistica dei segnali m

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Rovatti Riccardo

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2022-2023

80 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Uno spazio vettoriale è definito in termini astratti

V insieme di vettori - gruppo commutativo con somma vettoriale

K insieme di scalari - campo con somme e moltiplicazione scalare

Moltiplicazione scalare per vettore

a, b ∈ K u, v ∈ V

a (b) = (ab)

1 =

a(u+) = au + a

(a+b)u = au + bu

Uno spazio vettoriale può essere

Delle frecce nel piano/spazio
Un array di numeri ^{ℝ, ℂ ᴺ...}

Uno spazio vettoriale è definito in termini astratti

V insieme di vettori - gruppo commutativo con somma vettoriale

K insieme di scalari - campo con somme e moltiplicazione scalare

Moltiplicazione scalare per vettore

a, b ∈ K u, w ∈ V
a (b w) = (ab) w
1 u = u
a(u + w) = au + aw
(a + b) u = au + bu

Uno spazio vettoriale può essere

Delle frecce nel piano/spazio

Un array di numeri (R^m, C^m, Z^m, ...)

u = [ u₁ u₂ ... u_m-1 ]δ = [ δ₁ δ₂ ... δ_m-1 ]

u + σ = [ u₀ + σ₀ ... u_m-1 + σ_m-1 ]

αu = [ αu₀ ... αu_m-1 ]

Non anche delle funzioni!
- u: [a, b] → ℝ
- σ: [a, b] → ℝ

[u + σ] (s) = u (s) + σ (s)

[α u] (s) = α u (s)

Spazio vettoriale Euclideo

Prodotto scalare

⟨u, σ⟩ = α ← scalare

↑ vettore

Proprietà prodotto scalare

Notazione Prof.

⟨u, σ⟩ = α

α = scalare = ℝ

⟨u, σ₀ + σ₁⟩ = ⟨u, σ₀⟩ + ⟨u, σ₁⟩

⟨u, σ⟩ = ⟨σ, u⟩^*

⟨αu, σ⟩ = α* ⟨u, σ⟩

⟨u, u⟩ > 0 ∀ u ≠ 0

Vecchie notazioni

û . ṡ = α

û . (ṡ₀ + ṡ₁) = û . ṡ₀ + û . ṡ₁

û . ṡ = (ṡ . û)^*

û . (α ṡ) = α^* (û . ṡ)

û . û > 0 ∀ û ≠ 0

Definizione di ortogonalità

Una base ortogonale è una base di uno spazio vettoriale formata da vettori tra loro ortogonali (il cui prodotto scalare è nullo).

<u, v> ≥ 0

û · v̂ = 0

u e v sono ortogonali

Esempio

u = ⎡⎢⎢⎢⎣u₀u₁... u_m-1⎤⎥⎥⎥⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯ v = ⎡⎢⎢⎢⎣v₀v₁... v_m-1⎤⎥⎥⎥⎦

<u, v> = ∑_j=0^m-1 u_j^*v_j = u⁺v

Prodotto righe per colonne

u: [a, b) ⟶ ℂ ⎯⎯⎯⎯ v: [a, b) ⟶ ℂ

<u, v> = ∫_a^b u^*(s) v(s) ds

una generalizzazione del prodotto righe per colonne

Linear mapping and matrices

A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣A₀₀ A₀₁ ... A_0m-1A₁₀ ... A_m-10 ... A_m-1m-1⎤⎥⎥⎥⎥⎦

µ = Aσ

|µ₀| |A₀₀ ... A₀ₘ₋₁| |σ₀|| | | | | ||µₘ₋₁| = |Aₘ₋₁₀ ... Aₘ₋₁ₘ₋₁| |σₘ₋₁|

µΣ = ∑_k=0^m-1 A_jkσ_k

µ: I[a,b] → ℝ A: I[a,b] x I[a,b] → ℝσ: I[a,b] → ℝµ(α) = ∫_a^b A(α,β) σ(β) dβ

Forme quadratiche

Def. Una forma quadratica è una funzione definita su uno spazio vettoriale reale e a valori nel campo dei numeri reali, che si presenta sotto forma di polinomio omogeneo di secondo grado. Da cui ne ottiene la scelta del nome.

µ⁺Aµ = |µ₀^*, µ₁^*, ..., µₘ₋₁^*| [A₀₀ A₀ₘ₋₁] [|µ₀| ] [ ] [|µ₁| ] [Aₘ₋₁₀ Aₘ₋₁ₘ₋₁] [|µₘ₋₁^*| ] = m-1 m-1Σ_j=0 Σ_k=0 µ_j^* A_jk µ_k

Nel caso in cui µ e A siano funzioniµ: I[a,b] → ℂA: I[a,b] x I[a,b] → ℂ ^{b b}∫ ∫ µ^*(α) A(α,β) µ(β) dα dβ _{a a}

Proprietà

Se u⁺Au ∈ ℝ ∀u possiamo pensare come

A⁺ = A Hermitiana

u⁺Au + (u⁺Au)⁺ = 2u⁺Au

u⁺Au + u⁺A⁺u = u⁺(A + A⁺)u

Quindi

u⁺Au = u⁺[(A + A⁺

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