Appunti e esercizi Metodi numerici per l'ingegneria navale

Infimo/Supremo contro massimo/minimo

Ricordare che:

• L'infimo di un set ordinato è il massimo limite inferiore di questo insieme, mentre il supremo è il minimo limite superiore dell'insieme.
• Il minimo è il più piccolo elemento nell'insieme, mentre il massimo è l'elemento più grande dell'insieme.

Notare che: _{inf X∈(0,+∞)} ^f(x) = 0

per la funzione ^f(x) = ¹/_x mentre il minimo di questa funzione in (0,+∞) non esiste (finito).

1. Bisogna stabilire a priori l'esistenza della soluzione per ottimizzare il problema con delle assunzioni, ad esempio, l'esistenza o no di punti di minimo e massimo.
2. Bisogna trovare i punti di minimo e massimo, operazione che diventa mano a mano più complessa con l'aumentare delle variabili che considero.

Minimizzazione vincolata o non vincolata

La ricerca del minimo di una funzione su tutto il dominio di definizione della funzione g(x) è un problema di ottimizzazione non vincolato come:

_minx ^g(x)

Metodi numerici per l'ingegneria navale

Infimo/Supremo contro massimo/minimo

Ricordare che:

• l'infimo di un set ordinato è il massimo limite inferiore di questo insieme, mentre il supremo è il minimo limite superiore dell'insieme.
• Il minimo è il più piccolo elemento nell'insieme, mentre il massimo è l'elemento più grande del sistema.

Notare che:

inf_X∈(0,+∞) f(x)=0

per la funzione f(x)=¹/_x mentre il minimo di questa funzione in (0,+∞) non esiste (finito).

1. Bisogna stabilire a priori l'esistenza della soluzione per ottimizzare il problema con delle assunzioni, ad esempio, l'esistenza o no di punti di minimo e massimo.
2. Bisogna trovare punti di minimo e massimo, operazione che diventa mano a mano più complessa con l'aumentare delle variabili che considero.

Minimizzazione vincolata o non vincolata

La ricerca del minimo di una funzione su tutto il dominio di definizione della funzione g(x) è un problema di ottimizzazione non vincolato come:

min_X g(x)

Il dominio di ottimizzazione può essere ristretto

affrontando un problema di ottimizzazione vincolata

come:

min_x f(x)

h(x) = 0

min_x f(x)

g(x) ≤ 0

− o con entrambi i tipi di vincoli.

Minimo o massimo di una funzione da ℝⁿ

Definizione di minimo di una funzione

Una funzione g : ℝⁿ → ℝ ammette un minimo locale in x* ∈

g(x) ≥ g(x*) ∀ x ∈ ℝⁿ, ||x−x*|| < ε per un ε>0.

Definizione di massimo di una funzione

Una funzione g : ℝⁿ → ℝ ammette un massimo locale in x* ∈

g(x) ≤ g(x*) ∀ x ∈ ℝⁿ, ||x−x*|| < ε

Il minimo(massimo) di una funzione si dice globale invece

(caratterizzeremo

in ℝⁿ e le corrispondenti disuguaglianze corrispondono

in tutto il dominio, per esempio:

x* ∈ ℝⁿ e g(x) ≤ g(x*) ∀ x ∈ ℝⁿ e f(x)

x* ∈ ℝⁿ e g(x) ≥ g(x*) ∀ x ∈ ℝⁿ e

Ottimizzazione in ℝⁿ

un problema di programmazione matematica può essere

formulato in ℝⁿ con o senza vincoli (o libera).

• Programmazione matematica senza vincoli (o libera):
  • min_{X ∈ ℝⁿ} ƒ(x) dove ƒ: ℝⁿ → ℝ.
• Programmazione matematica con vincoli:
  • min_{X ∈ ℝⁿ} ƒ(x) tale che
    • h(x) = 0
    • g(x) ≤ 0
  dove ƒ: ℝⁿ → ℝ, h: ℝⁿ → ℝᵐ, e g: ℝⁿ → ℝᵖ

Programmazione matematica in ℤⁿ con o senza vincoli.

• Ottimizzazione matematica dei numeri interi senza vincoli:
  • Program. di min_{X ∈ ℤⁿ} ƒ(x) dove ƒ: ℝⁿ → ℝ
• Ottimizzazione matematica dei numeri interi con vincoli:
  • Program. di min_{X ∈ ℤⁿ} ƒ(x) tale che
    • h(x) = 0
    • g(x) ≤ 0
  dove ƒ: ℝⁿ → ℝ, h: ℝⁿ → ℝᵐ, e g: ℝⁿ → ℝᵖ

Programmazione matematica in ℝⁿ₁ e ℤⁿ₂ con o senza vincoli:

• Ottimizzazione matematica di numeri interi misti senza vincoli:
  • Program. di min_{X ∈ ℝⁿ1, Y ∈ ℤⁿ2} ƒ(x, y) dove ƒ: ℝⁿ₁+ⁿ₂ → ℝ
• con vincoli:
  • Program. di min_{X ∈ ℝⁿ1, Y ∈ ℤⁿ2} ƒ(x, y) tale che
    • h(x, y) = 0
    • g(x, y) ≤ 0