Appunti di Teoria delle strutture - Parte 8 (modellazione piastra di Reissner-Mindlin)

Modellazione piastra di Reissner-Mindlin

Introducendo l’approssimazione scelta per un’espressione dell’energia potenziale totale e imponendo la cancellazione sfazionata di T rispetto ai coefficienti incogniti, si ottiene un sistema di m equazioni in m incognite. Scelte bene le funzioni approssimanti, il sistema è risolvibile e fornisce l'unica soluzione approssimata del problema.

Carico perpendicolare al piano medio

Il modello piastra si può utilizzare anche per casi tozze!

Ipotesi

1. Le fibre ortogonali al piano medio non variano di lunghezza: ε_z = 0 (presie 1_KL).
2. Gli scorrimenti angolari tra il piano medio e le fibre ortogonali non sono trascurabili: ϒ_yz = ∂w/∂y (x,y), ϒ_xz = ∂w/∂x (x,y).
3. La tensione normale in direzione dello spessore della piastra è trascurabile: σ_zz = 0 (KL).

Spostamenti

• u(x,y,z) direzione x
• v(x,y,z) direzione y
• w(x,y,z) direzione z

Posto dalla 1_a ipotesi ε_z = 0, ε_z = 0 ⇒ ∂²w/∂z² ⇒ w_zz = 0 interow = W(x,y) (KL).

Considero la 2_a ipotesi: Introducendo l'approssimazione scelta per un'espressione dell'energia potenziale totale ed imponendo la cancellazione di Π rispetto ai coefficienti incogniti, si ottiene un sistema di n equazioni in n incognite. Scelte bene le funzioni approssimanti, il sistema è risolvibile e fornisce l'unica soluzione approssimata del problema.

Modelizzazione piatta di Reissner-Mindlin

Carico perpendicolare al piano medio p (modello piastre si può utilizzare anche per casi bozze!).

Ipotesi

1. Le fibre ortogonali al piano medio non variano di lunghezza: E_z = 0 (pensile in KL)
2. Gli scorrimenti angolari tra il piano medio e le fibre ortogonali non sono trascurabili: γ_yz = ∂w/∂y + ∂v/∂z, γ_xz = ∂w/∂x + ∂u/∂z
3. La tensione normale in direzione dello spessore della piastra è trascurabile: σ_z = 0 (KL)

Spostamenti

• u(x,y,z) direzione x
• v(x,y,z) direzione y
• w(x,y,z) direzione z

Pruto dell'ipotesi E_z = 0 (1° ipotesi). Considera la 2° ipotesi: E_z = 0 ⇒ ∂u/∂z = 0 ⇒ uz = w_z = 0. Considera la 2° ipotesi: ⇒ W = W(x,y) (KL).

δν_yz = ∂ν + ∂w _x^x ∂z => ∂ν ∂z - ∂ν ∂x - ∂w _xz = - ∂w _{y ν = 0 ⊕}6 = (x,y) => 2 ∂w(x,y)

Alba: ∂yz(x,y) = ϕ_y(x,y) + ∂²w _{y^(y) ≤ 0} dove: ψ(x,y) - νυ + ∂υ_xϕ_(x,y)

lettere e quatte di Timoshenko dove: ∂υz = ∂²əz + ϕ_x

Poto da: ∂ν = ∂υ + ∂υ_x^x ∂υ_x ∂x => ∂ων(x,y)u = -_{∂u ∂x} 2x₂z₂(x,y) 2 = 2φ_x(x,y)σ: φ_x(x) = - _{∂u ∂x} + ∂x₂(x,y)

Se ∂x₂ = 0 => φ_x = -_{∂u ∂x} (k)δx₂(x,y) = φ_x(x,y) + _{∂u ∂x}

Avendo il campo cinematico: u = 2φ_x(x,y), v = 2φ_x(x,y), w = w(x,y) definito da 3 funzioni indipendenti

Deformazioni

ε_x = _∂u/_∂x = 2φ_x,_x

ε_y = _∂y/_∂y = 2φ_y,_y

ε_z = _∂u/_∂z

δε_xy = _∂u/_∂y + _∂v/_∂x - 2(φ_x,_y + φ_y,_x)

βε_yz = _∂v/_∂z + _∂u/_∂v - φ_z + _∂u/_∂x

δε_x2 = _∂u/_∂y2 + _∂u/_∂x = φ_x + _∂u/_∂x

k1 = in ki reso utile

Definisco: χ_x = φ_x,_x, χ_y = φ_y,_y, χ_xy = φ_y,_y φ_y,_x, χ = _{(χx χy χxy)} = ξ => Vettore delle curvature

ε = _{(εx εy εxy)} = 2Y→ Caratteristico: Γ = _{(∂x2 ∂y2)} = _{(φx + ∂u/∂x φy + ∂u/∂y)}

Soluto l'equazione di congruenza:

Equilibrio

Ricavo le equazioni di equilibrio tramite PLV: ε = _zχ(x,y) => σ̅ = (c_xc_yc_xy) δ = δ(x,y) => (χ_x2χ_yz)

Quindi: χ = (xxxyδxy) =(φ_xφ_yφ_x,y)δ̅ = (xx_x2δyz) =(W_ix + φ_xW_iy + φ_y)

L_V = ∫_Ω (εTT+δT_T)dV = ∫(χ²d+δ²)dV= ∫(χ² [h/2_-h/2 c̅d+^n/2_n/2 jc_T])dA= ∫χ²(H) + δ(Q)dA_{vettori momenti}

H = H/2_-h/2 z̅cd̅_χH/2_-h/2 jdH/2_-h/2 jd

L_νi = ∫_Γ (H^xx₁H_yy + H_xyx_xy + Qσx∂y + Qyδxσy) dA=∫_Γ (Hνφ_x + H_xyψε_y,x + H_yφy,y)σ + Hσεyφxi,y)σ + [Ω(x,w)υx(φ),x + Q(x,wσ)φy]dA→Triturare per parti:

L_νi = ∫_Γ [(Hνφ_x),x + (H_xyφ_y),x + (H_yφ_y),y + (Mxσφ_x),y]dA+ ∫_Γ [H_xxx + H_xyψε_xφ_x + H_y\^x\φ_xφy, + Mxσflφ_xx+]dA

where: (Hνφ)_x = φ'Hx φ, (H_xyφ),x = H_xyψε_y + H_y\^ψε\φε(φy),y = Hyψ_xy + H_yψy,y(Ωx,w) = ϰΩ(Qy,w)_y = Qy_y\υ + Ωywx

where (H_xxx) = dLx φ, + x, Hx φ, (H_xyι),x = H_xyψε\_y\ψε H_yx φ_x(H^xφ_x)↓ ∫_Ω, (Ω,υ)=\σeνφ\ ∫ + ϰQy φ]da + ∫[[Mx{, _ph) + H_xyy{[H_y\^\_i\ y}])μιοσ.∫[\[(Q§\sub>m + qgm}w)dsdata here+-=∫=σiexamples:-= ∫Ottengo: ∫_Se [(M_mφ_m+Nm_eφ_e)dm_t+(M_tφ_t+Nm_tφ_e)dm_t+∫_St (am_m+a_tm_t)wds= ∫_Se [M_mφ_m+Nm_tφ_t)ds + ∫_St am w ds

Sostituo e ottengo:

L_ve = -∫_Ve [(Nx,x+Nxy,y-Qx)φ_e+(Nxy,x+Ny,y-Qy)φ_tdA +- ∫_y (Qx,x+Qy,y) wdA + ∫_St (Nmφ_m+Mtφ_e)ds + ∫_StQm wds

L_ve = ∫_y q wdA + ∫_St (ex)_e(φ_m )(φ_e) dA + ∫_St ∫ w ds + ∫_y (Nm m_m+nm t)ds

Suppongo i 2 lavori: L_vi = L_ve Arrivo a scrivere le equazioni di equilibrio facendo quelle a o la parametri:

• Mx,x + Mxy,y + Qx + Cx = 0
• Mxy,x + Myy,y + Qy + Cy = 0
• Q,x + Qy,y + q = 0
• Nm - nm =0
• kmt - nm t = 0
• Qm - q = 0

Le equazioni di equilibrio si possono risolvere anche in modo più semplice. Faccio l'equilibrio o rotazione in direzione z: (Q_x+Δx - Q_x)Δy+(Q_y+Δy-Q_y)Δx+qΔxΔy=0. Faccio il limite per Δx→0, Δy→0. Q_xx+Q_yy+q=0.

Faccio l'equilibrio o rotazione intorno a x e y: (M_xx+Δx-M_xy)Δy+(M_xy+Δy-M_yy)Δx+ (Q_x +Q_y)ΔxΔy=0. Semplificando e facendo il limite per Δx→0, Δy→0. M_xx,x+M_xy,y-Q_x+c_x=0, M_xy,x+M_yy,y-Q_y+c_y=0, Q_xx+S_yy+q=0→ EQ. DI EQUILIBRIO

Leggi e continuità

Materiale lineare elastico isotropo

• ε_x=1/E [(σ_x-ν(σ_y+σ_z)]
• ε_y=1/E [(σ_y-ν(σ_x+σ_z)]
• ε_z=1/E [(σ_z-ν(σ_x+σ_y)]
• γ_xy=2(1+ν)τ_xy/E
• γ_yz=2(1+ν)τ_yz/E
• γ_xz=2(1+ν)τ_xz/E
• ε_z=0
• ν_z=0

Taglio:

• σ_x = ε/(1-ν²) [ε_x + νε_y]
• σ_y = ε/(1-ν²) [ε_y + νε_x]
• τ_xy = ε/2(1+ν) γ_xy
• τ'_xz = ε/2(4ν) δ_xz
• τ'_yz = ε/2(4ν) δ_yz

Le stesse anche in KLD: E=>σ = [σ_x, σ_y, τ_xy][ε/(1-ν²) νν ε/(1-ν²)ε/(1-ν²) ε/2(1+ν)0 00 00 0][ε_xε_yγ_xy]=> [τ'_xz τ'_yz]= [ε/2(4ν) 0 0 ε/2(4ν)] [δ_xz δ_yz] = [G 0 0 G]   G = G_I

Legame costitutivo del modello piastre Suppongo che:

• E = ZY   G = 2DX   T = Gθ

Allora:

• H = 1/2_h/2 ∫_-h/2 z 6 dz = 1/2_h/2 ∫_-h/2 z²DYϵ dz = Dγx

dove: D = Yh³/12

• Q = 1/2_h/2 ∫_-h/2 T dz = 1/2_h/2 ∫_-h/2 Q θ dz = Qθ

dove: Q = (k)Cy

Reazione di generazione a Taglio: k = 5/6

Allora le equazioni del modello costituito sono:

• H = DY
• Q = Qθ

Posso scrivere la H e Q nei componenti:

• M_x = D(νϕ_x,x + νϕ_y) = D(ϕ_y,x + ν2ϕ_y,x)
• M_y = D(νϕ_y + ν2ϕ_y,x)
• M_xy = 1/νD(γ_{xy/ = 1}-νD(φ_{xy,x2φxyy,x)}

φ_x,υ, φ_υ, φ_υ,υ(Qx=H∂xz=H(w_,x+φ_,x))(Qy=H∂yz=H(w_,y+φ_,y))dove H=Sostituisco quest'ultime nelle equazioni di equilibrio e ottengo:

^D/₂(2φ_,xx+Q_,xy+φ_y,xy+Q_y,xy+Q_y,x-2φ_z,yy)+H(w_,x+φ_,x)+q_x=0

^D/₂(2φ_,yy+Q_x,xy+2φ_y,yy+Q_,xy-2φ_y,xx)+H(w_,y+φ_,y)+q_y=0

H(w_,xx+w_,yy+Q_x+φ_y,y)+q=0

Equazioni di equilibrio in termini di spostamenti

Energia potenziale totale

Π(u)=Φ(u)+Λ(u)

dove:

• Φ(u)==∫_A(-∫_T([G]^T([G]))-Λ(u)=-((c_xφ_x+c_xφ_y)dA++[m φ.x+m φ.yds]

Metodo variazionale approssimato

W(x,y)=∑C_iφ_i(x,y)

φ₁(x,y)=φ₂(x,y)=