Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 7 (modellazione piastra di Kirchoff-Love)

Formule iniziali

A vedere per x₁, x₂ e x₃ si possono scrivere come: s = my*(i-1)+j for i=1:mx for j=1:my s=my*[(i-1)+J]; u₂=u₂+umks*u_i,s*x^&(i-1)*y^&(j-1); σ₂=σ₂+umks*σ_i,s*x^&(i-1)*y^&(j-1); end end

Modellazione lastra di Kirchhoff-Love

14/04/2023 Carico l al piano medio - modello risora modello 2D.

Spostamenti: u -> spost. in direzione x          v -> "         z u(x,y,z)   v = " in direzione y         w = " in direzione z.

Dalle ipotesi: ε_z = -^∂2w⁄_∂z² => u=w(x,y) u da: di potenza del piano medio.

Ipotesi: γ_yz = 0 ⋀ ∂u = ∂w⁄∂z ⋀ ∂z /****************************************************************************/

Per _k2, _k3, e _k1, si possono scegliere come: s=my*(i-1)+j for i=1:mx for j=1:my s=my*((i-1)+j; u₂=u_a+umks*u₂(i,s)*x^(i-1)*y^(j-1); u₂=u_a+umks*u₂(i,s)*x^(i-1)*y^(j-1); end end

Modellazione piastra di Kirchhoff-Love

Carico 1 al piano medio - modello Piotra modello 2D.

Hp. 1) La deformazione lineare in direzione dello spessore della piastra è trascurabile. La fibra neutra si definisce nei piani. _Ez=0

2) Gli spostamenti angolari tra fibre della piastra e le fibre trasversali sono piccole e trascurabili. A definizione essa le fibre non subiscono deformazioni.

Dall'ipotesi _Ez=0; _w=w(x,y)

Le costante di integrazione e la cavillo perche Punti ∈ m°: μ(x,y), ν(x,y), ω(x,y) μ(x,y) ≠ 0 ν(x,y) ≠ 0 ω(x,y) = 0

Modello linee μ(x,y) = ξ(x,y) = o ω(x,y) ≠ 0

Modello Rosina Infatti devo imporre 0 = ν(x,y,z) → C = 0 φ → rotazione intorno all'asse y perché mi genera uno spostamento in x idee: μ = φ_x ² dove: φ_x = -ω_x

Dalla 2° equazione avrò che: ν_z = σ_yz + ω_yz = 0 → σ_yz = -ω_y ν(x,y,z) = -ω_yz + c ν(x,y,0) = 0 → c = 0 φ_y = -ω_y posso ottenere: ν = φ^y₂ rotazione intorno all'asse X che genera quello spostamento direttabile y positivo ó. vedo

Definizioni

Richiamo le equazioni di congruenza tridimensionale: ε_x = ∂u/∂x = -2 ω_xx(x,y) ε_y = ∂v/∂y = -2 ω_yy(x,y) ε_z = ∂w/∂z = 0 δ_xy = ∂u/∂y + ∂v/∂x = -2 (ω_xy - ω_yx)

Per il Teorema di esistenza funzione di deformazioni nel campo: u_xy = ω_yx Σ = ε_x ε_y δ_xy

Sono le equazioni di congruenza della piastra: ε_x = -2:ω_xx ε_y = -2:ω_yy δ_xy = -2 (ω_xy + ω_yx) Σ - ε_x ε_y δ_xy= 2 Vettore Curvatura.

Ricorda LR3

Modello 10. Ε = X! dove X = X_x X_y X_xy=☌[3x3]=☌-w_,xx-w_,yy-2w_,xy[3x2]S φῦ♆=[1x1]☌∂_x00∂_y∂_xy∂_xy[2x2]◦-w_x-w_y

In particolare: ▔X_x∂p_x∂x= -w_,xx Variazione della varzionale arbitraria dall'asse y nulla & derivabile ﴾X_y = -w_,yy∂p_y∂y X_xy = -w_,xy -w_,yx=-2w_,xy∂p_xy∂y

Equazioni di congruenza della piastra di KL

Definisco il legame constitito Ε =Ε_xΕ_yΕ_xy=>➺Ε_x = 1/2∂∂x₁ = 0∂(X_x).(X_y+X_z)-1/2 [X_x-X_y]X_y= 70[3x2]=0 70=0 [3x2]=0 [3x2] 70 = 0Ε_y =-2Ε_xy [3x2][∂ -Ε_y(1-y) ∂x - 1/2 [X +U2W ₁ ^{[(y-y,2)]-Ε_x / U}W = 2 [&207;]

Equazioni di equilibrio

Ponto del Principio dei Lavori Vintali (PLV)^#1172 0 &int _Γ ΕX ³: DV - ∊ ₂ DV∂ ^Y _{23 [} ∄ DVD[W](t)X³ [X +W]⇎ ² [0 {[3-3]X - {{x^-3 + &int _ΕY(X₃)E= 1/3 Ε 0 δ2 Ε^' 0, 0 Σ2 1/2 - 2/3 - 1/⊖-3 ʍ ρ E= 3⇎[2 ≈ Α3 ] dove:

Vediamo come ricavare le eq. di equilibrio (parte non chiesa delle traduzione delle PLV).

Integro per parti: Ho cercato il termine: Faccio lo stesso per gli altri termini: Sostituisco i termini nell'integrale (M_x,w,x) = M_x,xxw + (M_x,xw),_x = M_x,xxw Facciò lo stesso per gli altri termini e sottolineo.

L_vi = -∫_y(M_x,xx + 2M_xy,x + M_xy,xy + M_y,yy)w dA ++ ∫_Ʃe[(M_x,x + M_xy,y)m_x + (M_xy,x + M_y,y)m_y] w dƩ += ∫_Ʃf[(M_x,w,x + M_xy,w),_y m_x + (M_y,w,y+ M_xy,w),_x m_g] ds

Cartusio, calcoli della lezione precedente. 19/06/2023 Introduco i tagli trasversali, definito come: a_x = M_x,x + M_xy,y a_y = M_xy,x + M_y,y per cui il lavoro virtuale interno diventa:

L_vi = -∫_y(M_xx,x + 2M_xy,xy + M_yy,y)w dA ++ ∫_Ʃt[a_x m_x + a_y m_y] w dƩ - ∫_v[(M_xx,w + M_xy,y)m_,x + (M_y,w,_y + M_xy,w,_x) m_g] dm m = (m_x, m_y)

Piano vega

Considero sulla curva pequeña un riferimento locale n,t, definito dalllanormale m e dalla turbina t della anco. Si evidenzia che ilmovemento fin. e diretto secondo t,

Sostituisco negli integrali del parco i seguenti termini: M_x → M_m=1 M_y → M_t=0 e quindi gli integrali al bordo si possono scrivere come

∫_ͦe; [α_xm_x + α_ym_y]w₁ds - ∫_ͦe; [ (M_xw_1x + M_xyw_1y)m_x + (M_yw_1y + M_xyw_1x)m_y]w₁ds= ∫_ͦe; [ α_mm_m + α_tm_t ]w₁ds - ∫_ͦe; [ (M_mmw_1m + M_mtw_1t)m_m + (M_ttw_1t + M_mtw_1m)m_t]ds= ∫_ͦe; α_mw₁ds - ∫_ͦe; (M_mmw_1m + M_mtw_1t)ds

Lungo la curva ͦe;, il termine H_mw₁ può ancora essere integrato per parti: (H_mw₁)_t = H_mt_t + w₁ + H_mw_1t → H_mtw₁t = (M_mtw₁),_t = M_mt,_tw₁

Allora, il termine ☆ diventa: ∫_S Qmu dA - ∫_Sf [Nxmu + Mxmt_x] ds == ∫_S [Qm + Mmt] u dA = ∫_Sf Nxmw_sds - [Mmtw], con---- W_b punti aiutabili = discontinuità cantinio

Se i carpi sono punti aiutabili W_b=0 Ho quindi indicato con W_b i punti che zoppicato la riuera e la fine delle carniata se il termine Qmt_x, è detto taglio di Kirchhoff.

Quindi il lavoro virtude interuso si scrive come: Lvi = - ∫_S [Mx,_xx + 2 Ixy,_xy + My,_yy] wdA ++ ∫_S (Nmo + Mmt + Mmt) w_sds - ∫_sf Nxmw_sds = [Mmtw_xy], con lavoro > VIRTUALE interno

Piano medio

Nel piano medità: -------------------------Sopìaci FACIA [ ] 6116117 Si quillubre Amagiconsoloquelle sopìsolì; P + a chi si solmua quindi dello spolo dallallerta faccia.

Sul piano mediate uno quarto dài colpi a marup per WNEGNO PIANO MEDIO PONSO APPLICARE SOLO FORZE VERTICALI DISTRIBUITE!

Su (lp posso applicare solo forze verticali e coppie distributive che hanno come asse la z (flessionali) e sugli spigoli anche forze che compiono lavoro per w!

Posso applicare solo questi carichi perché vucl lui compiere solo w. Il lavoro virtuale esterno deve essere compiuto da enti che lavorano su w per w, su θy per w e cos w,m e sul xy per w. Ne consegue che il lavoro virtuale esterno vale:

Lve = ∫ye qwids + ∫ye fwds - ∫ye mw,mw,mds - [Efw]yiye → LAVORO VIRTUALE ESTERNO

Equilibrando il lavoro virtuale esterno a quello interno si ottiene: Lvi = Lve ⟹{ ∫ω Hx,xx + 2 Kxy,y + Hy,yy]wda + ∫ye [Mm,m + Mte,t + Mnt,n]wds - ∫ye Mw,mw,mds - [Efw]yeye} = [∫ye qwids + ∫ye fwds - ∫ye mw,mds - [Efw]ye]}!

Da cui si ricavano le equazioni di equilibrio di campo e della frontiera: Hx,xx + 2 Nx,y,xy + Hy,yy + q = 0 su w → EQ. DI EQUILIBRIOGMm,Mt,t = β su ye Mn = mm su ye

Vediamo ora un altro modo per ricavare le equazioni di equilibrio Q sono forze per unità di lunghezza quindi vanno moltiplicate per la lunghezza su cui agiscono.

L'equazione di equilibrio nella direzione y fornisce: (Qx+ΔQx-Qx)/Δy+(Qy+ΔQy-Qy)Δx+gΔxΔy=0 Q_x x + Q_y y + g = 0

I rapporti incrementali del carico verticale: L'equazione di equilibrio alla rotazione intorno all'asse x ed intorno all'asse y, rispettivamente forniscono: Asse X: (Mx_y+ΔM_y-Mx)_Δx+[(M_xy+ΔM_xy-Mx)_Δy-(Q_y+Q_x)Δx]_Δy-[(Q_y+Q_x)Δx] Δy₂

Divido tutti i membri per ΔxΔy. ΔMx Δy / ΔxΔy - ΔM_xyΔy / ΔxΔy - Qx ΔxΔy / ΔxΔy = 0 ΔMy Δx / ΔxΔy + ΔM_xyΔy / ΔxΔy - Qy ΔxΔy / ΔxΔy

Faccio il limite per Δx→0 e Δy→0 e ottengo: Qx = Mx_x + M_xy,y Qy = M_xy,x + M_y,y

Le sostuisco nell'espressione * e ottengo: M_x,xx + 2M_xy,xy + M_y,yy + q = 0 → EQ. DI EQUILIBRIO in ξ

Legame costitutivo

Materiale Lineare elastico isotropo ε = ^{e / 1-ν}_{(εx+νεy)=^{E / 1-ν(Exy+νεy) -E / 2(1+ν)εxy}}

In forma matriciale si: σ = D ε D = ¹_1-ν²[¹_ν0ν0012(1+ν)

Determino il vettore dei momenti: M = ∫_h/2 -∫_h/2 (ξ)D(εz)dz DX ∫_1/2^1/2 z² d z = DX z³ / 3 |_1/2^1/2 = DX 1 ( h₃ / 8 + h₃ / 8 ) = DX h³ / 32⇒ D = DB^1/6 / 10 quindi: M = DY    dato: D = D[ ](si rifà ad ET)

Scrivo M per componenti per il caso isotropo. Suppon che: Χ = ( X_x X_y X_xy) = (-W_,xx -W_,yy 2N_,xy ), allora. tipo per vettore colonna

• M_x = h³ / 12 E [ ν 1- ν² X_x + ν₂ 1- ν² X_y ] = h³ / 12 E / 1-ν² [X_x + νX_y ]= D (X_x + νX_y ) = -D (∇u_,xx + ν\u_{yy}
• M_y = h³ / 12 E [ ν 1 - ν² X_x + 1 1-ν² X_y ] = h³ / 12 E / 1-ν² [-νX_x + X_y]= D [νX_x + X_y ] = -D (νu_,xx + u_,yy ) moltiplico e divido per (1-ν).
• M_xy = h³ / 12 E 1/(2)X_xy = h³ / 12 1/(1-ν) X_xy = D/2 (1 - ν)/(1 + ν) X_xy = D/2 (1 - ν)/(1 + ν) 2u_,xyw_,xy = -D (1 - ν) u_,xy

Sostituendo le espressioni nell'equazione di equilibrio si ottiene l'equazione della linea elastica (equilibrio in termini di spostamenti) 0 = D(w,xx + v,yy),xx + 2 . (1 - v) D wx,yxy,y + D(v w,xx + w,yy),yy = q iu \aueo: w,xxxx + 2 w,xyyxy + w,yyyy = q/D EQ. DELLA LINEA ELASTICA

Energia potenziale totale

Energia potenziale totale π(u̅) = Φ(u̅) + λ [u̅] dove: Φ(u̅) = 1/2 ∫₂ ε̅ᵀ · 6 dV = 1/2 ∫₂ z xᵀ D x dV = 1/2 ∫₂ (2ᵀ D z) dA ε̅ = (z x)ᵀ = z xᵀ, u̅ = z D x

1/2 ∫ₓ (−w,xx − w,yy − 2w,xy) · D (−w,yy −2w,xy) dA λ (u̅) = [ ∫r q w dA + ∫ₓ f w ds − ∫r m w,n ds − [F w₁,3ₓₑ]

Si ha 1 sola funzione incognita.

Formulazione variazionale approssimata

La formulazione variazionale approssimata del problema della piastra si ottiene considerando una funzione di rappresentazione del campo degli spostamenti, come: W(x,y) = ∑ i=1 ^ n cᵢ . dᵢ (x,y) funzioni approssimate di w coefficenti incogniti per l'approssimazione di w