Appunti di Modellistica e simulazione

Come calcolare R(ω) e ψ(ω)?

Sistemi SISOG

(ω) = c^T(i⋅ω⋅I - A)^-1⋅b funzione di trasferimento

R(ω) = c^T(i⋅ω⋅I - A)^-1⋅b

R(ω) scalare numero complesso di cui si fa il modulo

ψ(ω) = argomento di c^T(i⋅ω⋅I - A)^-1⋅b

Numero complesso per ω=-ω̄

Funzione complessa per ω qualsiasi

Previsione

Analogo alla simulazione MA si utilizzano tutte le informazioni disponibili fino all'istante t e si calcolano i passi successivi con il modello l'informazione si aggiorna con nuovi dati → maggiore è l'inerzia, meglio funzionano

Sistema reale = componente deterministica + componente stocastica

Esempio

T(t+1) = T̄ + Var. annuale + α(T(t) + ) + E_t ↔ errore

Conoscendo la distribuzione di probabilità di ε_t

1. Si calcola con il modello il valore atteso dell'uscita sulla base di T_t (info corrente)
2. Si ottiene così la distribuzione di ε_t
3. Si ottiene la distribuzione di probabilità della variabile prevista
4. Si può così calcolare la probabilità di qualsiasi valore o il rischio di superare un certo limite

Modello ARMA (o ARX)

Un sistema dinamico lineare può essere descritto attraverso le sole grandezze misurabili all'esterno → u(t) = e y(t)

Discreto

y(t) = a₁ y(t) + a₂ y(t-1) + b₁ μ(t) b₁ μ(t-1) + ...

a₁ a₂ n₁ coeff di A

Parte autoregressiva AR

Parte a media mobile MA (o esogena x)

Continuo

dⁿy/dtⁿ + ... + b₄d^mu/dt^m + ...

ARMA black box → strutture matematiche scelte a priori (es. modello di Nash)

ARMA grey box → modelli matematici scelti con alcune motivazioni fisiche

Previsioni con criterio dei minimi quadrati

I valori di b_i vengono scelti in matrice H dei dati e nel vettore di risultati

Come calcolare R(ω) e ψ(ω)?

Sistemi SISOG

(ω) = c^T(i·ω·I-A)^-1b funzione di trasferimento

R(ω) = c^T(i·ω·I-A)^-1b R(ω) scalare (numero complesso di cui si fa il modulo)

ψ(ω) = argomento di c^T(i·ω·I-A)^-1b numero complesso per ω=ω funzione complessa per ω qualsiasi

Previsione

Analoga alla simulazione MA si utilizzano tutte le informazioni disponibili fino all'istante t e si calcolano i passi successivi con il modello l'informazione si aggiorna con nuovi dati maggiore è l'inerzia, meglio funzionano

Sistema reale = componente deterministica + componente stocastica

Esempio

T(t+t+l) = T^- + Var_annuale + α T(t+t) + ε_t

Conoscendo la distribuzione di probabilità di ε_t

Si calcola con il modello il valore atteso dell'uscita sulla base di I_t (info corrente)

Si utilizza la distribuzione di probabilità della variabile prevista

Si può così calcolare la probabilità di qualsiasi valore o il rischio di superare un certo limite

Modello ARMA (o ARX)

Un sistema dinamico lineare può essere descritto attraverso le sole grandezze misurabili all'esterno u(t) e y(t)

Discreto

y(k t) = a₀ y(t) + a₁ y(t-t ) + a₂ y(t-t ) + b₄u(t)+b₂u(t-t ) +

Parte autoregressiva AR parte a media mobile MA

a₀a₂ coeff. di AR

Continuo

d⁴ y dⁿ dⁿ dⁿ d³ dⁿ d² d² + b₄ d^u d^u d^u dⁿ +b₄

ARMA black box modelli matematici scelti a priori (es. modello di Nash)

ARMA grey box modelli matematici scelti con alcune motivazioni fisiche

Previsioni con criterio dei minimi quadrati

I valori di f_t compilatori risultanti si ottiene H dei dati e nel vettore d dei risultati

Esempio

_μ^u/_w SISTEMA -^u_y

ŷ_t = -Σâ_i y_t-i + Σb̂_i u_t-i + Σĉ_i w_t-i

Previsore: ŷ_t = -Σâ_i ỹ_t-i + Σb̂_i ũ_t-i + Σĉ_i w̃_t-i = HΘ

Stima a lotti: Θ̂ = (Hʈ.H)^-1.Hʈ ŷ / Stima ricorsiva

Modello non lineare ~ Rete neurale

Emulano parzialmente la struttura e il comportamento del sistema nervoso dei mammiferi

Combinano numerose relazioni lineari con alcune non linearità

Modello decisionale

Z vettore di n elementi (decisioni)

J(z) obiettivo da ottimizzare ^max/_min

Z insieme delle soluzioni ammissibili che soddisfano tutti i vincoli