Appunti Modellistica e simulazione dei sistemi meccanici

Cinematica

Cinematica del punto

Cinematica: ramo della fisica che studia il moto dei corpi da un punto di vista puramente descrittivo, prescindendo dalle cause che lo hanno provocato.

Punto materiale: corpo di dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi o degli altri corpi con cui può interagire.

Il punto materiale possiede 3 componenti, coordinate cartesiane, rispetto a un sistema di riferimento nello spazio euclideo SE(3).

Posizione del punto materiale

Ogni vettore ⃗, con origine del sistema di riferimento di versori , , , può essere quindi rappresentato come: ̂ ̂⃗ , ,.

Un sistema di punti materiali è detto corpo rigido se dati due punti qualsiasi , , la loro distanza relativa rimane costante nel tempo: ⃗ ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ → !"#!$.

Essenzialmente il modulo al quadrato è il prodotto scalare, lo possiamo scrivere anche come il trasposto per il vettore iniziale → !"#!$% & % & % &.

Il moto di un punto materiale è determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento, ad esempio se ! , ! , ! sono note le sue coordinate in un sistema di riferimento cartesiano.

Il luogo dei punti occupati nel tempo dal punto materiale in movimento viene definito traiettoria. , , !

La rappresentazione parametrica della curva continua, con e parametro in un intervallo reale, è data da: !!' !.

Tale traiettoria può essere descritta intrinsecamente, prescindendo dalla variabile temporale, se fissato un punto su di essa e un verso positivo di percorrenza, si definisce con ovvero la distanza l’ascissa curvilinea, misurata lungo la traiettoria: tra un punto generico della curva e.

Velocità del punto materiale

Si definisce velocità scalare del punto lungo la traiettoria la derivata di rispetto al tempo: ( ! )!* + ; ; ; -.

La velocità del punto rispetto al sistema di riferimento fisso è invece: ⃗( ! ) ̂ ) ̂ )! !.

La velocità del punto P rispetto ad può essere determinata anche in funzione della velocità scalare ⃗ ⃗ !̂( ! )!!!.

Dove rappresenta il versore tangente alla curva nel punto ovvero: ⃗ ℎ ⃗⃗!̂ lim ℎ1→2.

Quando l’ℎ tende a 0, queste due grandezze tendono ad essere alla stessa distanza, il segmento diventa come l’arco, è per questo che il limite tende al versore tangente, in quanto ha modulo unitario.

Accelerazione del punto materiale

Si definisce accelerazione del punto rispetto al sistema di riferimento *+ ; ; ; - il vettore: !̂ !̂!̂ !̂ !̂(⃗ ! ) 4 ) 4"⃗ ! ! ! ! !! !̂.

La derivata del versore rispetto ad è data da: !̂ !̂ !̂ 6ℎ 5lim ℎ 71→2 !̂#8 !̂.

Il versore è ortogonale al versore, modulo costante, e diretto verso il centro di rotazione. Il piano #8, passante per , contenente i versori ed viene definito piano osculatore.

9 1/9!̂/ Il termine viene definito raggio di curvatura e il rapporto La curvatura rappresenta il modulo del vettore :!̂ |! | |! |ℎ ! ℎ ! Δ? 1< < lim lim|ℎ| |ℎ|Δ? 91→2 1→2.

Se vado a fare la differenza tra i due versori a differenti ascisse curvilinee si ottiene il vettore differenza in blu. Quando ℎ → 0, Δ? → 0, ovvero quando se faccio la differenza tra i due versori che hanno angolo nullo tra di loro, di fatto, vado a prendere la componente normale a quei due versori, direzione #8.

Δ?/|ℎ| ℎ → 0 1/9 Per quanto riguarda il modulo mi accorgo che per non è altro che in quanto si può confondere con l’arco e di conseguenza viene rispettata la definizione di raggio di curvatura, o curvatura.

Nel primo termine invece, si ha che l’arco è rappresentato dalla differenza dei due versori, segmento blu, e dal momento in cui il raggio è unitario, i versori hanno modulo unitario, il loro rapporto tenderà ad 1.

|! |A"BB angolo "A 1 ∙ Δ? ℎ !

L’accelerazione del punto assume quindi la forma: )!̂" ! 4 #89.

Dove si riconoscono il contributo tangenziale e normale dell’accelerazione.

H !̂G #8, Definendo il versore ottenuto dal prodotto vettoriale di ed si ottiene la terna intrinseca, triedro di Frenet, alla curva nel punto P: ⃗⃗!̂ !̂#8 J × #8⃗<I I<.

Es: supponiamo di avere un robot che deve fare una lavorazione meccanica su un oggetto, la traiettoria va pianificata tramite le equazioni di posizione, velocità e accelerazione attraverso l’ascissa curvilinea, quindi conoscendo i versori tangenti, normali e binormali. Questa terna intrinseca nel punto prende il nome di terna di Frenet e si definisce sulla traiettoria nel punto.

Quindi tutto questo è un modo alternativo di trattare velocità e accelerazione dei punti, invece delle solite derivate delle coordinate. Spostiamo l’attenzione verso la traiettoria e l’ascissa curvilinea.

Coppie cinematiche

La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi, membri, che tipicamente consideriamo rigidi, collegati fra loro in modo opportuno. In conseguenza di tali legami, vincoli, risultano ossia il numero dei gradi di libertà limitate le possibilità di movimento di ciascun membro relativamente agli altri, del singolo membro e di tutta la macchina.

Gradi di libertà

Nel moto generale fra due corpi non reciprocamente vincolati sono possibili tre traslazioni e relativo rigido tre rotazioni, corrispondenti a 6 gradi di libertà. I vincoli hanno lo scopo di garantire il corretto moto relativo fra i corpi.

Si sta parlando di moto relativo, se sono un osservatore che sta su un corpo 1 e voglio sapere dove sta il corpo 2, mi servono 6 informazioni; ma se ho due corpi nello spazio non mi bastano 6 informazioni, devo sapere prima dove sta il primo corpo e altre 6 per sapere come è posizionato il secondo corpo – questo è importante poiché spesso il meccanismo viene valutato non solo nel suo comportamento complessivo, ma anche nel comportamento relativo tra un corpo e l’altro.

Nel moto relativo fra due corpi non reciprocamente vincolati, ma vincolati a stare su uno stesso piano, o su piani paralleli, sono possibili due traslazioni e una rotazione. Pertanto, in questo caso, i gradi di libertà del moto relativo sono 3.

Coppie cinematiche: definizione

Si definisce coppia cinematica se tra di essi esiste un movimento coppia il sistema formato da 2 membri contigui collegati: relativo, cioè il sistema ha almeno 1 g.d.l.

Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relativo dei membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate.

Uno stesso spostamento relativo fra i membri può essere ottenuto con differenti coppie di superfici coniugate: la forma costruttiva ha influenza sulla trasmissione delle forze, l’usura, l’ingombro, ecc.

Geometria del contatto

Contatto puntuale: i due corpi sono vincolati a mantenere un punto in contatto. Il corpo 2, quindi, è impossibilitato a traslare in direzione ortogonale al piano.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle altre direzioni e di ruotare restando in contatto con la superficie 1.

5 gradi di libertà.

Contatto di linea: il corpo 2 è vincolato a mantenere il contatto con il piano 1 su tutti i punti di una linea. È impedita la traslazione ortogonale al piano e la rotazione attorno ad assi non paralleli alla linea.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle 2 direzioni parallele al piano e di ruotare attorno alla linea di contatto ed attorno alla direzione ortogonale al piano.

4 gradi di libertà.

Contatto d’area: il corpo 2 è vincolato a mantenere il contatto con il piano su tutti i punti di un piano. È impedita la traslazione ortogonale al piano e la rotazione attorno ad assi giacenti sul piano 1.

Il corpo 2 resta libero di traslare nelle 2 direzioni parallele al piano e di ruotare attorno alla direzione ortogonale al piano.

3 gradi di libertà.

Quando si introduce un vincolo si ha una riduzione dei gradi di libertà e un aumento dei gradi di vincolo; quindi, la somma dei g.d.l rimasti per il moto relativo e dei gradi di vincolo introdotti porta sempre 6.

Dal punto di vista realizzativo si distinguono:

• Accoppiamenti di forma, es: perno cilindrico in sede cilindrica, questi vincoli sono anche detti accoppiamenti bilaterali.
• Accoppiamenti di forza, es: bloccaggio di un pezzo in una pinza, anche detti accoppiamenti unilaterali.

I vincoli introdotti dal contatto fra elementi geometrici appartenenti a corpi rigidi è monolaterale, come la direzione verticale di movimento in figura.

I vincoli bilaterali devono essere ottenuti come effetto della presenza di più vincoli unilaterali, come la direzione orizzontale di movimento in figura.

È importante conoscere se l’accoppiamento è di forma o di forza, poiché dal punto di vista analitico la differenza è che in un caso l’accoppiamento è rappresentato da uguaglianze e in altri casi da disequazioni. Esempio: dato la figura, considerata la direzione orizzontale, quella della freccia bilaterale e la direzione verticale, si ha 0, L 0 che:

Classificazione

Si indica come classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà nel moto relativo.

Le coppie che lasciano 1 solo grado di libertà, sono dette di classe 1, vengono classificate come o elementari.

Le coppie elementari sono realizzabili solo tramite contatti di superficie: le superfici coniugate sono inferiori, rigide, identiche e combacianti.

Sono dette coppie superiori tutte le coppie cinematiche non classificabili come inferiori.

Coppie con contatto superficiale

Esistono solo 6 coppie che possono essere realizzate con elementi cinematici in contatto superficiale.

Coppia rotoidale – R, revolute joint: 1 g.d.l. relativo fra i membri, rotazione attorno all’asse della coppia.

Coppia prismatica – P, prismatic joint: 1 g.d.l. relativo fra i membri, traslazione lungo l’asse della coppia.

Coppia elicoidale – S, screw: 1 g.d.l. relativo fra i membri, rototraslazione lungo l’asse della coppia. I due moti sono collegati da Δℎ ΔM passo dell’elica.

Coppia piana – F, flat joint: 3 g.d.l. relativi fra i membri, traslazioni sul piano e rotazione attorno all’asse perpendicolare ad esso.

Coppia sferica – B, ball joint: 3 g.d.l. relativi fra i membri, 3 rotazioni attorno ad assi indipendenti passanti per il centro della coppia.

Coppia cilindrica – C, cylindrical joint: 2 g.d.l. relativi fra i membri, rotazione e traslazione indipendenti attorno all’asse della coppia.

Coppie elementari o inferiori nel piano

Coppia rotoidale – R, revolute joint: 1 g.d.l. relativo fra i membri, rotazione attorno all’asse passante per il centro della coppia e perpendicolare al piano.

Coppia prismatica – P, prismatic joint: 1 g.d.l. relativo fra i membri, traslazione lungo l’asse della coppia, che deve giacere nel piano.

Coppie superiori

Si definiscono superiori le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse non sono in alcun modo realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusivamente tramite contatti lineari o puntiformi.

Tutte le coppie tra membri non rigidi sono anche esse classificate come superiori, per es. accoppiamento puleggia-flessibile; fluido-condotti di turbina.

Camma piana

Camma piana: 2 g.d.l. relativi fra i membri, traslazione tangente alle superfici in contatto e rotazione relativa; impedita la traslazione normale alle superfici.

La coppia camma piana ha un accoppiamento lineare, o puntuale se non avessero profondità.

Comportamento relativo: se sono un osservatore nel corpo 1, lo immagino fermo, il corpo 2 grazie alla camma piana ha impedito unicamente la traslazione nella direzione di contatto.

Quindi i due corpi tra di loro possono tranquillamente strisciare e rotolare, come una ruota a terra che può solo ruotare o strisciare.

Se aggiungessi anche il vincolo di puro rotolamento, ovvero che nel punto di contatto la velocità istantanea è nulla; questo significa che rotazione e traslazione sono collegati tra di loro, mentre prima non lo erano, e quindi il sistema avrebbe un solo grado di libertà.

Ricordiamo che nel caso di puro rotolamento e di rullo che si muove a velocità costante, il punto di contatto non è stazionario, è vero che ha velocità nulla, ma ha velocità centripeta diversa da 0. Dire velocità costante, significa che l’accelerazione centripeta è data dalla velocità angolare al quadrato diviso il raggio. Quindi anche se il rullo si muove a velocità costante, ha comunque una componente di accelerazione, quando si muoverà nell’istante dopo, acquisisce una velocità perché nell’istante prima aveva accelerazione; è chiaro che è cambiato il punto di contatto, il nuovo punto di contatto sarà il nuovo centro di rotazione avrà sempre velocità nulla e accelerazione diversa da 0.

Caratterizzazione matematica dei vincoli

ℛ, O , … , OQ Dato un sistema materiale i cui punti materiali sono indicati con , il sistema si dice libero quando tali punti sono liberi di assumere qualunque posizione nello spazio, altrimenti il sistema è detto vincolato.

O S OR R Chiamiamo vincolo ogni dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei punti del sistema meccanico; pertanto, la presenza di un vincolo tra due membri distinti riduce la mobilità relativa dei membri stessi.

I vincoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le coordinate e le velocità di punti del sistema: T O ,…, O , S O , … , S O , ! ≥ 0 Q Q.

Esempio: supponiamo di avere due aste collegate tra di loro nel piano tramite una cerniera. L’estremità dell’asta due deve essere quindi sempre collegata all’asta 1. Dal punto di vista delle equazioni sto dicendo che le coordinate dell’estremità di giunzione coincidono.

→ 0 0 V W V W V W V W.

Questo vincolo è bilaterale in quanto è scritto sotto forma di equazione e sottrae gradi di libertà al sistema.

Un vincolo è detto:

• Bilaterale se le restrizioni imposte al sistema si rappresentano tramite sole equazioni, es: punto vincolato ad una linea, corpo con un punto fisso; T O , … , O , S O , … , S O , ! 0 Q Q.
• Unilaterale se compare almeno una disequazione, quello che comporta, non è una eliminazione dei gradi di libertà, ma è una limitazione del range del movimento. È solitamente un accoppiamento di forza, es: corpo appoggiato ad un piano o vincolato a stare all’interno di una sfera. , … , O , S O , … , S O , ! L 0 T O Q Q.

Un punto costretto a stare all’interno di un cerchio è rappresentato da una disequazione, quindi, è un vincolo unilaterale, mentre un punto costretto a stare sulla circonferenza è bilaterale.

Un vincolo è detto:

• Indipendente dal tempo o scleronomo se la relativa equazione del vincolo non contiene esplicitamente il tempo: T% O , … , O , S O , … , S O ≥ 0&Q Q.
• Dipendente dal tempo o reonomo se la relativa equazione del vincolo contiene esplicitamente il tempo: T O , … , O , S O , … , S O , ! ≥ 0 Q Q X!).

Es: asse di un motore che si muove a velocità costante, M.

Attenzione la dipendenza dal tempo deve essere esplicita e diretta; se ad esempio avessi un vincolo 1 generico che dipende indirettamente da un altro vincolo reonomo 2, anche il vincolo 1 dipenderebbe indirettamente dal tempo, ma non viene classificato come reonomo in quanto non è una dipendenza esplicita.

Un vincolo è detto:

• Olonomo o geometrico o di posizione se limita direttamente solo le posizioni del sistema, e quindi non compare nella sua espressione la dipendenza dalle velocità. T O , … , O , ! ≥ 0 Q.
• Anolonomo o cinematico o di mobilità se limita anche le velocità dei punti. T O , … , O , S O , … , S O , ! ≥ 0 anolonomo cinematico di mobilità Q Q.

Nella definizione vi è una disuguaglianza, ma nella meccanica delle coppie cinematiche questo la maggior parte delle volte è un vincolo bilaterale, quindi con un’uguaglianza, di conseguenza stiamo sicuramente sottraendo gradi di libertà.

Es: due aste vincolate da una cerniera.

Sono descrivibili sia tramite un’uguaglianza che una diseguaglianza, ma in questo caso, anche se ci trovassimo nella condizione di uguaglianza, il vincolo anolonomo non sottrae gradi di libertà.

N.B. Perché un vincolo risulti effettivamente anolonomo occorre che la sua equazione di vincolo, alle derivate prime rispetto al tempo, risulti cioè non riconducibile ad un vincolo non integrabile, di posizione.

Esempio: vincolo olonomo

In generale il rullo, se vincolato a rimanere a contatto con il piano, ha 2 gradi di libertà, lo strisciamento e il rotolamento, coppia camma piana.

Si impone il vincolo di puro rotolamento, che è un vincolo sulle velocità, viene introdotta la corrispondente equazione di vincolo S 0, Y per cui: M)S S X× [ \ → ) ]Z Y Z.

Quindi questa relazione lega le velocità e si potrebbe pensare che sia un vincolo anolonomo. La velocità di avanzamento del rull