Appunti di Matematica applicata - Primo parziale

THTE am icatapplicata G CFU

Insiemi

Insiemi a- insieme universo( B)Unione UBA associativaa commutativaE-+ e: .Intersezione A RB associativacommutativaE: e. )(an Blu( ) (anBoc Anc= )(a AUB( C) )(Bn AUCu n= À ÀTComplementare A: .B-CABse ACB →A S B-B- ÀUÀnLeggi di Morgan Be: ==Più MEin la UAUAgenerale e: = =Disgiuntiinsiemi ( anmutuamente ) Besclusivi ∅: =disgiunti tinasAn aiseAz ≠sono J∅=, .. .

Partizione ApartizioneAa di tiA An Aiuna S n ≠se Jsono ∅≥ ]: =,. ...d- 3#' As ARÈ )Osservazione ( ()A BB A uan: = À )( A)B. ( BnBn U=s

Probabilità

Spazio campionario contiene tutti possibili esitii {il( }diPer) lancio croceSs testauna moneta: • = ,,({ ( )Per (falancio /il dadidue faS )di sonofa) fa )fa fa fa93• =, , ,, . . ., ,,,,( fa diversi()fr )96fa, ... ,,i. I. . . }(( ) )goSaSo So. .. ..infinitaserieSerie lanci di monetadi →• .in cuidi lanci testa lanumero Volta^^esce per .}{S 3 IN21= =, ., ., . di +RSrotturadi elettronicoIstante componentein• =.

• Per) lancio croceSs testauna moneta: • = ,,({
• Per (falancio /il dadidue faS )di sonofa) fa )fa fa fa93• =, , ,, . . ., ,,,,( fa diversi()fr )96fa, ... ,,i. I. . . }(( ) )goSaSo So. .. ..infinitaserieSerie lanci di monetadi →• .in cuidi lanci testa lanumero Volta^^esce per .}{S 3 IN21= =, ., ., . di +RSrotturadi elettronicoIstante componentein• =.

Infinito discreto finito numerabile spazio ècampionario se O:(E) ciòE IndicaS accadeEvento che≤: .. }{"pari faè fauscito" numero faE in= = , .,lancio 3eddado {es }Eun esce: 93=.{ è certo eventoS fa unfa }85fafs So →= . , , .,Evento impossibile∅ =E verificasi enon= . eventidegliverificasiEUF almeno uno= .Si verificano sia cheNF eETE= verificasi FverificaRF sise none∅ →= si verificaverificaF Fse siEc allorae= siF- verifica een non Fma=

Probabilità Acs diAssiomifinitoS Kolmogorov: -. ..probabilità è1) negativo )PCAnonnumerola un 0≥ Ó)PCS2) 1= PCAUBeventi ) )an )A alloraB PIA PCBBH3) sono con ∅e += =,ÌN esclusivi

Proprietà

Proprietà PSA.) PLAT )dimostrazIOneA AUÄAn =S=0,PLAUÄL PCAPCA += )7 )l l PCA =7IPCS PLAL PLAI1 -1 -- )+) (2] =1-PLA)(Pcorollario: (4l-O d-5)PLAUBo +PCA=) ) PCB)-PLANB)) Dimostrazione:AUB=AULBAAL esclusivimutuamente +(PCAUB = PCAPLAO =) BAAD) ) PCBAA)(3]B AßB-AAESUSiVimutuamente OOPCBIT PIBAAL ADTPIB)A PLAUBPLB +PLAPCBAAL =)-PCB)- ) PCB)-PLBAAL) esclusiviPCAPLAUB PCB mutuamenteosservazione se+-: )) )BPCA EPCBof ACBse s o)) @Dimostrazione:B-AUCBAAL esclusivimutuamentePCB PCAL P PCA- ;=) [B)+PCBAÄ) )Osservazione ACS EPCSSPCA =1: ) )o Disuguaglianta PCANB +PCABonferronidi : PLB)-I): ))Dimostrazione : PLALPIBPCAAOB PCBPCAL= PLANBPC +PCB)-PCARB)- -) + )-I) )-PLAOB);,) (}Osservatione PLANBANBCA PLAAB PCBIJEMIN: =3)EPCAS ) PCAD,ANBCB PCANB EPCBJ)EsPLAl 312 =318- )PCBPLANB)+?BonferroniApplicoPLANB 3 18314+318-A-) })

Osservazione )( PIAUB )P AUB(AUB PCBAc ( PCA )(A) ) )MAXP: ≤ ≥ ,→AUB P( ()Bc ( p) B)B au≤probabilità 3es a: (B) )/ PCKU) PCC PC) ))(=PPIAUBUC Av UC KIC-= =d-K ) B)) PCB PlanPIA + -()( )) (AncAUBknc Bnccn u= = ]Pf )()Plknc Bnc)PCBNC )AncPlan c) n+= - ↓ Bacan= B) c)Plan c) PlanA)) PlanPIAUBUC B)PCPC PCC ) Bn+ + +- -=

Famiglia di eventi

Famiglia di eventi eventi(F) cui elementiinsieme i sono: .proprietàseguentiValgono le :-5 a-A) f-se EE° →5-S) E◦ è( )ovvero chiuso rispettoAUB) complementare5- F alA Bse c- E° →,osservazione -5RBa E:Dimostrazione : ARTEa3B-Ase FF5-B 5-A-E EE E→ →→, . IlMorganDe( )DaIIBARBESansuccessivilanci della moneta. lancioprima paritesta involtaK unlaesce per= lancioTn testa alesce n=Cn lancioalcroceesce n= lanciotesta voltaen alesce la prima nper= Can Cn↳CanEn Tnn in= . .. -ÙK E an= 1n " Sigma algebra= "g- di Seventi associataalgebra a-valgono proprietàseguentile :A-AEF) se FE→◦ SEF)◦ À(È )Fai) EFAaa ase F EE◦ →→≥, , .. , i a↓ = anch'l' appartieneelementi 5-unione degli essaovvero see a)diFunzione probabilità (P :RfP : → )PCAA 1-tale che :)) PCA AEJo0≥◦ ) )P ( s 1=) tiFdi alloraaelementi ≠an nSono aiconAzse ∅ J◦ =]. . .., ,FI È( )aiP PCA )i=, 9i =

Leggi e assiomi

DiLeggi de Morgan :À B-Aa) VB n= ÀUB2) BA n =Assiomi Kolmogorov :1) PCA) 0≥ esclusiviMutuamente=PCS) p2) 1= )PCAUB )B PCBSe PCA )3) an ∅ +== ,Proprietà derivanoche ne :corollarioPIÀ )1) 1701PCA) 01 :;-= =B))PIAUB P (PCB2) an)(a)P + -=ACBSe PCA3) ) PCB)≤, Ferroni didisuguaglianza Bon :B) ) 1Plan )PCA PCB≥ + - )Osservazioni )B) ( PCBPCA )Plan min≤•: ,PCAUB )() PCA )PCB)≥ Max• ,Probabilità eventididell' unione 3 )Plau ) PlanB PIA (() PPlan PPCC(B) )))BP BncC ) BacC anU +++ - --= (F)Proprietà eventifamiglia didellASE1) F A-f- F2) ASe EE . ( B)A an FosservazioneB CAUB)3) 5-se 5- c-E :E ;, ,

Di associataeventi salgÈ una 6-5- A SE :F1) SE À2) fSe a 5-f E À(, È )Fai EF3) aan ase F EE →→≥, . .. , i 1= anch'l' appartieneelementi 5-degli essaovvero unione 5-e a

Funzione di probabilità

Probabilitàassiomi difunzione di Kolmogorov EFunzione restituisceprobabilitàdi prende unevento numeroun e:R5-P : → ) )PCA (A Associa a numeroun↳ atale che :1) 5-fa)PCA 0 E≥ ,PCS) 12) = tiFdi3) alloraaelementi ≠an nSono aiconAzse ∅ J=]. . .., ,PHI È)ai PCA )i=, 9i = ] ()( )Spazio PSscampionario 5- èla dettaterna ,,Spazio(F) probabilitàdieventidegliG- algebra →probabilità ( )P talicompostieventielementareevento cuida elemento perunicoun: :n { {} }S }¥{ si eventi esclusiviSa si elementariSnsa mutuam• = , .=., .. . ,Sin S ti J≠• ∅] = , / )probabilità {PA elementare }ogni associoelemento una si pi= ,i 1 n= ,., .. È { }Sasa {Ac s Sai Saz sara }= =. . ,, ., ,KÈP §(A) ){(P Sas ) PA== ]5=4 ,cuitale per }Pi tio 2≥ n• = , . ,.. 0mi KolmogorovÈn :& PC ){PCS }Dim )1E 1 si poipoi ÷• - → = == i ,, =i 1= eventi Stutti probabilitàhannogli

Equicaso

Probabile stessa ovverodelloequicaso : ,si hacui tiin n2pi =p = , ,...tale che0p① ≥ n1 E① pnp 1poi →= == i 1 n= probabilitàipotesi definiscoConsiderando vere le cosi la :K favorevoliM dicardinalità A casin°PIA )PCA EP) in-gameKP → == lanci=] n°= possibilino casi 2gF- naaaaa,^ →, presentiCalcolare laChe nonla prob3 si sequenza CTlanci monetaLE .. .{S }TTT CCTTTC TCT CTT TCC CCCCTC= ,, ,, , , ,✓✓ r×✓ ××× {A- } )PCA §" TTTTTClasi" TCCCTpresenta sequenza ↓CCCnon →= == , =,probCalcolarelanci Talmeno5 lamoneta esca unaChees : .. ."A "esce almeno una T= }{a- "" CCCCCnessuna Tnon esce= =PCÀ ) § %= =)PCÀ PCÀ )) §) 1-PLAPCA 2- 3£1 → =-= ==

Esercizi con dadi e probabilità

Dadi colcolaredi probLaucio leovees .7 sommaD comeottenere2) 4siasomma amenola Kne3) sommaaaccomeotenerenon 7 ne )3u somma dieuca multiplo) dei nomerie dispari5) Il -prodotto ave DC57- C ( (5,2),(3,4),{2) 2.5), u.3),C1.6), 6,1)}PCS7)-82-EŞF (12),(21)})(1), =PCE ++2= PCK)) I-PCE)36 E2S morganthe HPISI S3) )-PLSZUSu)((5.0), 16,51} PCSPCS SuQ 236s= ==36 .)7)PCSaUS 9-S- PCSa1) IPCSal 1-B6-7+PCS1) 53={(2,1), (1.2)}4) A 9,12"3,6,ésomma-"La (5.17499-$16,31, (3,673 (4.2),15.4), S(4.5). { (3,3),(2.4),6= CA.5),Siz=-{16,6)}PCA 1 5- -) 36D (1.3), (1.5), (3,3),5) (5.1),(3,1), }(5.3), 15,5)(3,5),=ŞC11),-9=PCD) 36Tizto Tizes 20e: 1d dscommette scommettesul disparisulpari inTiz trucca 5il lasciadado modo 52 prob ugualiche coulesce0 e.probabilitésnon equiprobabileetra un casoloro autre eP PCEPCEBPCE 61 PCEC }) == 33)- PCE- P({5]) 3)-25 3)SVa Ti=vince 2OA- 2,4,63[1, 3,5}Va 2-tizo-viucePCV 3= p2)PCV §2 += P2)A 5 P- P+-1eJP+2-PCS) .25!PCUD-3.F- 25PCU -2) 25④ È più tolticuccioli probabile4faUn dello stessovenganochecane . ?dell'diÈ dell'3 altro 2 altrosessomsesso o 2e,, 224 % G-PCA){ }1) "A "stesso MMMMsesso =FFFF === = , }{ MMFMMMMF FMMRMFMM" MFFFFFMF2) FMFF3 "A FFFM1e= = , , ,, ,, ,P (A) V28116= = }{ FFMM ¥" FMFMMFMF3) MMFFA ↓"22 e= = =, , , =

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata Plan B)verificatodell' ( B)/PB.ècerco prob Aevento Ala sichesoe → =. PCB))PCBcon o>di dadolancioes m .. )PCA}"A {4 ↓" 2,3esce numero 1in < →= == , }{uscito di sparinumeroIo è 3so 1che 5in = , ,2-3# probabilità PCAIBcondizionata(A)P )= = =} [{ B)43 #Plan← = 316)PCB lafigliFamiglia maschiCalcolare siano3cones prob Che :. . .1) infosenza nessuna maschio2) èalmeno unosapendo che3) il maschioprimogenitoche èsapendo{S }MIM MIT FFMMIM FMM IIIFMF FFF= ,, ,, ,,1) )PCA f-=2) PCA ) ¥=③ PCA ) %=

Funzione probabilità condizionata

PBFunzione condizionataprobabilità)B PCBevento 0con > PBPB KolmogorovR assiomisoddisfafu # ne◦→: → .A)( alPps =p B)( Dimostroal :-a) ?(A)Assioma PB tace1° o≥: ↓ DIM . S soddisfa KolmogorovperchepPB B))((A) PlanPB AIB 0 0≥ ≥= = PCB) 0>Bdi dadi S -2pprob con ..a) ?(PisASSIOMA2º )s 1: = SOTOIUSèperché di sinµ↓ DI M ..PBCS ) )PCBP) ( SNB ^= = =PCB))PCBEAFASSIOMA: E30 .FEFCOU-ia = CF+LEPBCEUF PB OG) )?PB)IDIM. - ABIPBLEVFL PLEOFPCEOFIB)- -PCLEBIVLFRBIT)(P PCB BB) ) MUT.PLFABPLEAB PCFABPCEOB esclusivi- -)+ )) X) - PCBPCBPCB ))) -+PLEIB PBCF+PLFIB )- PBCE)) ) PLEUFIBPLEIBLPCAIBosservazione -PLFIB)-PLEAFIB )-: )-1-PLAIBSPB 1-=CA ) PBCA)regola mottiplicationedellaPCAnB PCAIB PCB).= )) sadopollineNrua numerate5cones . 5.estrazioni rimpiazzeFaccio 2 senza . eche2Calcoo probdiaver il secondodispantw estralto numeronparie sic.tratto . estrazioneparialliPi no eu numeroestratto ci-esima- -t,2)dispariDi {" i-""""PCPa =5 PCDa =5) 1PCPzlDqJPCPzlPa PCP PCDalDL)- 2lPal-t .