Appunti di Fondamenti di automatica - primo parziale

Sistemi e modelli

Sistema dinamico

• Numero variabili di stato = ordine del sistema
• Se m=1 e p=1, detto SISO
• Se m>1 e p>1 detto MIMO
• Se u=0, quindi ingresso nullo, si dice autonomo

Classificazione dei sistemi

Tempo continuo: ci sono derivate.

Tempo discreto: non ci sono derivate.

Tempo-invarianti: equazione di stato e uscita non dipendono direttamente dal tempo, ne dipendono solo x e u.

Lineare tempo-variante: Lineare se x(t), sia nel continuo che nel discreto, è una combinazione lineare del vettore di stato x e u.

Lineare tempo-invariante: sempre combinazione lineare ma qui le matrici sono costanti.

Non lineare: quando non è una combinazione lineare ma ci sono prodotti es.

Modelli ingresso-uscita

Modelli dove compaiono solo ingresso e uscita e non il vettore di stato.

Se lineare tempo-invariante:

Trasformata di Laplace

Si applica a sistemi lineari tempo-invarianti causali.

Definizione

Procedimento logico:

• Se il gradino è unitario
• Se il gradino non è unitario
• Segnale esponenziale
• Segnale armonico
• Rampa unitaria
• Potenza
• Segnale prodotto

Osservando la trasformata di Laplace:

• Radici del polinomio a denominatore della TdL = poli della TdL, importanti per il comportamento del segnale.
• Radici del polinomio a numeratore della TdL = zeri della TdL.

Se i segnali sono limitati (né div né conv), come seno coseno o gradino, i poli stanno sull’asse immaginario. Altrimenti, vedi esponenziale, sull’asse reale, se a<0 → parte reale<0 → converge, stabile | se a>0 → div.

TdL della derivata di f(t):

TdL dell’integrale di f(t): Se derivare vuol dire moltiplicare per s, integrare vuol dire dividere per s.

Proprietà delle TdL:

• Lineare = trasformata della somma di funzioni uguale alla somma delle trasformate dei singoli addendi.
• TdL della derivata.
• TdL dell’integrale.

Quando le condizioni iniziali sono nulle e il sistema è lineare tempo-invariante causale a derivata finita posso scrivere:

Formula dei residui (o sviluppo di Heaviside): si cerca di mandare a 0 il denominatore sia di A che di B.

Osservazione: il residuo del polo p è il coniugato del residuo del polo p.

Anti trasformata fratta: Si procede con lo sviluppo in fratti semplici: Questo ci permette di scrivere l’antitrasformata di F(s):

Riassumendo: Se F(s) è una funzione razionale fratta strettamente propria con tutti poli semplici, allora la sua antitrasformata sarà una combinazione lineare di esponenziali i cui esponenti sono proprio i poli di F(s). Se i poli non fossero tutti distinti, i poli diventeranno sempre gli esponenti ma i coefficienti non sono più costanti e saranno polinomi di grado la molteplicità del polo -1.

Analisi della risposta di un sistema e analisi modale

Modello I-O: obiettivo: Date le condizioni iniziali e l’andamento dell’ingresso u(t) si vuole determinare l’andamento incognito dell’uscita y(t).

3 passi:

• Dato u(t) determinare la sua TdL
• Determinare Y(s)