Appunti di Fisica generale 1

Appunti di fisica generale 1

Meccanica e termodinamica

Chino

29 settembre 2023

Indice

I Meccanica 1

• 1 Cinematica del punto materiale 2
• 1.1 Punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.2 Posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.3 Legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.4 Velocità scalare media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.5 Velocità istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.6 Accelerazione scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.7 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.8 Velocità vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
• 1.9 Accelerazione vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.10 Rotazioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 1.11 Coordinate polari in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 1.12 Trasformazioni tra sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 2 Dinamica del punto materiale 13
• 2.1 I principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.2 II principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 2.3 III principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.4 Utilizzo dei principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.5 Definizione statica di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2.6 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.7 Forze di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 2.8 Moto armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.9 Forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 2.10 Attrito viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.11 Momento di una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.12 Momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.13 Legge di gravitazione universale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 3 Lavoro ed energia 29
• 3.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 3.2 Potenza meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 3.3 Calcolo del lavoro associato ad una forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 3.4 Teorema lavoro-energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 3.5 Campi di forze conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 3.6 Criterio di conservazione dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 3.7 Studio dell’energia potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 3.8 Caso della forza di gravitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 3.9 Energia e forze non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 14 Dinamica dei sistemi di punti materiali 41
• 4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 4.2 Formulazione generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 4.3 I equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 4.4 Descrizione del moto riferito al centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 4.5 II equazione cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 4.6 Scomposizione dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 4.7 Momento angolare nel centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 4.8 Scomposizione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
• 4.9 Introduzione ai sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 4.10 Urti e collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 5 Dinamica dei corpi rigidi 57
• 5.1 Statica dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 5.2 Equazione traslazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 5.3 Rotazioni attorno ad un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 5.4 Calcolo del momento d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 5.5 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 5.6 Esempio: Il pendolo fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 5.7 Rotolamento puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 5.8 Tensore d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 6 Oscillatori armonici 68
• 6.1 Oscillatori armonici accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 6.2 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
• 6.3 Oscillatore armonico forzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 6.4 Oscillatori risonanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

II Termodinamica 77

• 7 Introduzione 78
• 7.1 Coordinate termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 7.2 Sistemi termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 7.3 Sistemi diabatici e adiabatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 7.4 Principio zero della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 7.5 Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 7.6 Misura della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 7.7 Equazione di stato dei gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 7.8 Trasformazioni termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 7.9 Lavoro adiabatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 7.10 Energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 7.11 Calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 8 Primo principio della termodinamica 86
• 8.1 Enunciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 8.2 Trasformazioni quasi-statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 8.3 Sistemi idrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
• 8.4 Trasformazioni quasi-statiche di gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 8.5 Trasformazioni cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
• 8.6 Macchine termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 8.7 Ciclo di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 8.8 Macchine frigorifere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 8.9 Esempi di cicli termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9729
• 9 Secondo principio della termodinamica 99
• 9.1 Enunciati del secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 9.2 Reversibilità e irreversibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 9.3 Teorema di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 9.4 Temperatura assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 9.5 Teorema di Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
• 9.6 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
• 9.7 Diagrammi entropici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
• 9.8 Entropia nei sistemi isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 9.9 Entropia ed energia degradata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
• 9.10 Energia libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
• 9.11 Entalpia e passaggi di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
• 10 Modelli meccanici per sistemi termodinamici 117
• 10.1 Teoria cinetica dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
• 10.2 Distribuzione di Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
• 10.3 Modello di van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
• 10.4 Entropia e disordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
• 11 Modalità di scambio termico 131
• 11.1 I meccanismi di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
• 11.2 Conduzione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
• 11.3 Convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
• 11.4 Fenomeni dipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
• 11.5 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393

Sommario

Questo file nasce dalle lezioni di Stefano Oss di Fisica Generale 1, dai miei appunti e da qualche libro e dispensa. Il testo è diviso in due sezioni: meccanica e termodinamica. È pensato solamente come ripasso degli argomenti teorici principali, senza la pretesa di essere perfetto, pertanto non consiglio di prenderlo come fonte principale delle informazioni. Nonostante tutto spero possa essere utile a qualcuno.

La parte di meccanica è divisa in 6 parti mentre quella di termodinamica in 5.

Alcuni disegni vengono dal sito di Tikz.

Parte I

Meccanica

1

Capitolo 1

Cinematica del punto materiale

1.1 Punto materiale

La cinematica è la branca della fisica che si occupa di descrivere matematicamente il moto dei punti materiali, senza interrogarsi sulle cause del moto.

Il punto materiale sarà l’oggetto principale del nostro studio e fisicamente vuole rappresentare un oggetto che ha estensione trascurabile rispetto ai suoi spostamenti.

1.2 Posizione

Per descrivere il moto di un punto materiale dobbiamo prima di tutto determinarne la posizione. Per farlo dobbiamo riferirci ad un altro oggetto o ad un’entità geometrica che chiameremo origine.

Ci interessa inoltre conoscere la posizione del punto negli istanti di tempo, ovvero la posizione dell’oggetto in funzione del tempo. Queste funzioni prendono il nome di "leggi orarie".

1.2.1 Posizione di un punto in un sistema unidimensionale

Per esempio, se consideriamo un sistema di riferimento unidimensionale possiamo rappresentarlo con una retta orientata (riferimento unidimensionale orientato) e un sistema di coordinate con valore numerico ed un'unità di misura (nell’esempio metri).

Il punto materiale è rappresentato in rosso nel riferimento. (m)x−1 0 1 2 3 4

La coordinata è un numero reale con segno che rappresenta la distanza dall’origine (dipende x quindi da esso).

Un sistema di questo tipo in genere è descritto matematicamente da:

• Una traiettoria che indica il percorso che il punto dovrà seguire (non necessariamente rettilinea)
• Una legge oraria ([x] che indica la posizione nella traiettoria.x(t) = [L])

Questi due elementi sono fondamentali e indipendenti. In genere, se la traiettoria è curvilinea la legge oraria si indica con Per esempio, potrebbe essere la parametrizzazione di una s(t). s(t) curva in R³.

[L] e [T] indicano le dimensioni rispettivamente di lunghezza e tempo secondo il S.I.21.2.2 Sistemi di coordinate a più dimensioni

In un sistema a due dimensioni si può adottare un sistema di assi cartesiani e assegnare al Oxy punto una coppia ordinata che ne denota la posizione. Questo è un esempio, ma non P = (x, y) è l’unico modo di assegnare le coordinate in un sistema a due dimensioni.

Analogamente in un sistema a tre dimensioni possiamo usare una terna di assi cartesiani come in figura, ma anche per le tre dimensione questo non è l’unico modo.z P = (P , P , P )x y zy⃗rO x

Altri sistemi di coordinate saranno discussi in seguito.

Si osserva infine che la posizione dipende dall’origine scelta, ma non lo spostamento.

1.3 Legge oraria

La legge oraria di un punto è una funzione che associa la posizione del punto ad un istante di tempo. Può essere visualizzata sotto forma di tabella o in un grafico (che ne rappresenta la storia temporale, non la traiettoria).

Dalla legge oraria segue il concetto di spostamento che non dipende dalla scelta dell’o-∆x,rigine.

La legge oraria vale anche per i sistemi di coordinate curvilinee e hanno senso anche le sue rappresentazioni.

1.4 Velocità scalare media

È necessario introdurre una grandezza che definisce il "ritmo di percorrenza" di un dato spostamento. Questa grandezza è la velocità scalare media, definita come: ∆s −1con dimensioni: (1.1)v = [v ] = [LT⁻¹]m m∆to, analogamente − −s s s(t ) s(t )2 1 2 1 (1.2)v = =m − −t t t t2 1 2 1

Questa espressione rappresenta il caso più generale con la coordinata curvilinea, ma analogamente si può definire con x.

Nel S.I. la velocità si misura in m/s.

Graficamente, in un piano x-t, a parità di tempo, linee più pendenti denotano maggiori spostamenti, quindi maggiori velocità. 3

1.5 Velocità istantanea

Se aumentiamo i dettagli della nostra legge oraria possiamo calcolare la velocità in modo sempre più dettagliato. Definiamo la velocità istantanea di un punto come la velocità media calcolata tra due istanti sempre più vicini: ∆s (1.3)v = lim v = limm ∆t∆t→0 ∆t→0

Osserviamo che è un rapporto incrementale, quindi d’ora in poi useremo la notazione più formale di derivata: d ds (1.4)v = s(t) = = ṡdt dt

La velocità è la derivata nel tempo della posizione. La notazione non rappresenta una ds/dt frazione, ma vuole rappresentare l’applicazione dell’operatore derivata rispetto al tempo, indicato con su s.d/dt,

1.5.1 Moto uniforme

Il moto a velocità costante, non necessariamente rettilineo, è chiamato moto uniforme. In questo caso se consideriamo , con allora−v = ∆s/∆t ∆t = t t t = 0,0 0−s s0 (1.5)=⇒ s = s + vtv = 0t

Osservando il grafico orario della velocità possiamo subito vedere che lo spazio percorso tra e t 0 è l’area della funzione tra cioè −t t et, vt = x x0 01.5.2 Caso generale

Questo ragionamento vale anche per i casi in cui la velocità non è costante, infatti:Z t ′ ′ (1.6)x(t) = x + v(t ) dt0 t0ed è consistente con v = dx/dt.

Si osserva che il tempo interno all’integrale è considerato una variabile muta, che non rappresenta il tempo della funzione Questo infatti è l’estremo di integrazione superiore. èx(t).necessario questo accorgimento perché l’integrale rappresenta lo spazio percorso, ovvero l’area sottesa alla funzione della velocità tra l’istante e l’istante generico Gli estremi dell’integrale t t.0devono quindi essere e t. All’interno dell’integrale invece non possiamo avere la t, perchét 0altrimenti v(t) risulterebbe un valore ben definito, quindi costante, che sarebbe il valore della funzione nel secondo estremo di integrazione. Basta pensare, per esempio, che lo spazio percorso R R2 2tra i due istanti 0 e 2 secondi si calcola e non∆x = v(t)dt, ∆x = v(2)dt.0 0

1.6 Accelerazione scalare

Si introduce l’accelerazione come grandezza che "misura" le variazioni della velocità. In un moto in possiamo quindi scrivere: una dimensione −∆v v v2 1 −2con dimensioni (1.7)= [a ] = [LT⁻²]a =m m−∆t t t2 1

Come per la velocità possiamo considerare tempi infinitesimi, ottenendo quindi l’accelerazione istantanea: 2dv d sma anche: (1.8)a = = v̇ a = = s̈2dt dt4

1.6.1 Moto uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato è il caso di moto con accelerazione costante, ma non necessariamente rettilineo. Come nel caso della velocità:−v v 0 (preso ) (1.9)t = 0, v(t ) = va = 0 0 0m t

Questo implica che Anche in questo caso possiamo interpretare come l’area sottesa v = v +at. at0al grafico dell’accelerazione dal tempo 0 a t. Inoltre rappresenta la variazione di velocità.at

In questo caso possiamo ottenere anche la legge oraria:Z Zt t 1′ ′ ′ 2 (1.10)ats = s + v dt = s + [v + at ] dt = s + v t +0 0 0 0 0 20 0

1.6.2 Caso generale

Osserviamo che se consideriamo il caso generale con un accelerazione (in funzione del tempo)a(t)generica possiamo ottenere la legge oraria, infatti integrando otteniamo:Z t ′ (1.11)v(t) = v + a dt0 t0

Integrando ancora otteniamo: Z Z ′t t ′′ ′′ ′ (1.12)− a(t )dt dts(t) = s(t ) + v (t t ) +0 0 0 t t0 01.6.3 Accelerazione in funzione della posizione

Prima di passare ai vettori, co