Appunti Fisica generale 1

Fisica generale 1

1 m: distanza percorsa dalla luce in un Δt tempo.

Grandezze fisiche

• Devono essere quantificabili, campo R ordinato.
• Utilizzo di strumenti di misura affidabili e non discutibili.
• Si ricorre alla metrologia per definire grandezze fisiche e unità di misura.

1 m = c ∗ Δt. Dove c è la velocità della luce, 1 Δt = s / 299792458.

La misura del tempo è definita dagli orologi atomici.

Def: 1 s: è il tempo per avere 9192631770133 oscillazioni della riga (?) del Cs.

Una grandezza è la proprietà di un fenomeno che può essere misurata quantitativamente.

Le unità di misura si definiscono operativamente.

Def: La massa è una “quantità di materia”. È una costante di proporzionalità tra la forza applicata e l’accelerazione. La massa dipende dalla costante di Planck: h = 6,626 ∗ 10⁻³⁴ [J ∗ s].

Un'unità di misura è una quantità prestabilita di una grandezza fisica che viene utilizzata come riferimento condiviso per la misura di quella grandezza.

Proprietà dei campioni delle U.M.

• Invariabilità, non cambia nel tempo.
• Riproducibili, semplice, facilmente accessibile.
• Preciso, misurabile con pochissima incertezza.
• Ci deve essere accordo.

Da queste grandezze fondamentali si ottengono quelle derivate:

[Δs] = [m] / [Δt] = [m/s] = V.

[ΔV] = [m/s] / [s] = [m/s²] = a.

[Kg] [m/s²] = m ∗ a = F = N.

Sistema internazionale sulle U.M.

Il Sistema internazionale sulle U.M. è il sistema comunemente usato, aggiornato periodicamente.

• È un sistema decimale.
• Si basa su MKS(A).
• M, metro, lunghezza.
• K, chilogrammo, massa.
• S, secondo, tempo.
• A, ampere, corrente elettrica.

Con queste 3 si possono costruire tutte le grandezze della meccanica Newtoniana.

Ogni U.M. ha un “campione”, la metrologia quindi è la scienza della formazione dei campioni.

Passaggio da Km/h a m/s:

[Km/h] ∗ 1000 [m/Km] ∗ 1 [h] / 3600 [s].

1 Km/h = V ¿ [m] ∗ 10 / 36 [s].

Def: Le cifre significative sono le cifre che hanno un riscontro reale.

Es: se la lunghezza di un tavolo l = 1,2365, l ha 5 cifre significative.

Per il prodotto/rapporto si mantiene il numero di cifre significative del numero che ne ha meno.

Vettori

Considero E(R³), lo spazio euclideo tridimensionale, che è una terna destrorsa.

Ogni vettore è descritto da 3 numeri reali, le coordinate rispetto all’origine.

Il vettore cambia coordinate in base al sistema di riferimento. La somma tra vettori si esegue con la regola del parallelogramma.

Per rappresentare la direzione di un vettore si usano i versori, che sono vettori di modulo 1.

Si indicano con i^.

ŕ P ⃗r ≡ O P, dove O è il punto iniziale.

Se ⃗A è un vettore con punto di applicazione O e punto finale ⃗A ≡ OP, P(x_a, y_a, z_a), posso esprimere quindi il vettore ⃗A come combinazione lineare dei versori normali.

⃗A ≡ OP = x_a i^ + y_a j^ + z_a k^.

Dove i^, j^, k^ sono i versori normali sugli assi X, Y, Z.

Se ⃗C = (x, y) è un vettore, allora il modulo: |⃗C| = √(x² + y²).

In E(R²), se α è l’angolo tra C e l’asse X allora: tan α = y / x.

Cinematica

Def: La cinematica è quel ramo della meccanica newtoniana che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi, indipendentemente dalle cause del moto stesso.

Riduzionismo

Si cerca di individuare tra tutti i fenomeni che accadono all’oggetto quelli necessari, si isolano quelli superflui e si tiene conto di quelli essenziali, per uno studio semplificato, approssimazioni.

Se le dimensioni dell’oggetto studiato sono molto piccole rispetto all’area su cui agisce, allora le dimensioni sono trascurabili e lo si associa a un punto materiale.

Variabili per lo studio dei corpi

Serve un sistema di riferimento cartesiano. La posizione dell’oggetto, punto materiale, è definita da un vettore posizione ⃗r ≡ OP.

Devo trovare come varia nel tempo il vettore posizione.

Se al tempo t₁ l’oggetto si trova nel punto P₁, allora il vettore posizione nell’istante t₁ è ⃗r ≡ O P₁.

Se conosco tutti i punti che l’oggetto attraversa in tutti gli istanti ottengo la traiettoria dell’oggetto stesso, formata da tutti i punti.

La descrizione del moto è contenuta nei vettori posizione ⃗r(t). Dove t è l’istante temporale.

Def: Lo spostamento è la differenza tra due vettori posizione calcolati in due istanti.

Δ⃗s = ⃗r₁ − ⃗r₀.

Δ⃗s = ⃗r(Δt) − ⃗r(0).

¿ ⃗r(t + Δt) − ⃗r(t).

t è il “tempo iniziale”, Δt è la differenza tra il tempo iniziale e finale.

Definiamo quindi la velocità media: ⃗V > ¿ = Δ⃗s / Δt [m/s].

Legge oraria

Equazione che indica il modo in cui variano le coordinate dell’oggetto x in funzione del tempo t.

Usando la legge oraria si può costruire il grafico spazio-tempo.

Sulle ordinate lo spazio x, sulle ascisse il tempo t.

Riduco l’intervallo di tempo sempre di più, facendo tendere a 0 l’intervallo di tempo, facendo quasi coincidere t₂ con t₁, quindi la traiettoria dello spazio tempo diventa tangente al grafico della funzione dello spazio tempo.

Δt → 0, t₂ ≈ t₁.

v_x = lim Δx / Δt = lim (x₂ − x₁) / (t₂ − t₁), con Δt → 0.

v_x = lim [x(t + Δt) − x(t)] / Δt, con Δt → 0.

v_x ∈ R, v_x = tan α.

dx(t) / dt = dr / dt = x́ …

Cioè la derivata della funzione legge oraria nel punto, rapporto incrementale.

Dove α rappresenta l’angolo tra la “tangente” al grafico nel punto e l’asse del tempo t.

La velocità istantanea rappresenta la rapidità con cui varia la funzione, velocità, intorno al punto. [..]

Essendo le coordinate ortogonali tra loro, possono essere studiate separatamente.

La velocità media nel grafico è proporzionale alla tangente dell’angolo α tra il segmento tra i punti e la parallela al tempo.

v_x = (x₂ − x₁) / (t₂ − t₁) ⇒ tan α, v_x ∈ R.

dx / dt = v_x, dy / dt = v_y, dz / dt = v_z.

Per calcolare la velocità in E(R³), se ⃗r(t) = x(t) i^ + y(t) j^ + z(t) k^. Calcolo la derivata.

d⃗r / dt = d/dt [x(t) i^ + y(t) j^ + z(t) k^].

d/dt [x(t) i^] = dx/dt i^ + x ∗ d i^/dt, con d i^/dt = 0.

d⃗r / dt = dx/dt i^ + dy/dt j^ + dz/dt k^ = ⃗V(t).

⃗V(t) = V_x i^ + V_y j^ + V_z k^.

Si può dimostrare che questo vettore è tangente al vettore nello spazio nel punto considerato.

Rappresento il grafico velocità-tempo come la derivata della funzione spazio-tempo.

Accelerazione

d²x / dt² i^ + d²y / dt² j^ + d²z / dt² k^ = d²⃗r / dt².

Che è l’accelerazione istantanea.

Variabili cinematiche: d⃗r / dt = ⃗V(t), d²⃗r(t) / dt² = ⃗a(t).

Se il grafico della funzione spazio tempo è una parabola, allora il grafico della velocità è rappresentato da una retta, quindi l’accelerazione è costante, vedi funzioni convesse e derivate.

Questo moto è detto uniformemente accelerato. Non tutti i moti sono uniformemente accelerati. Questo in particolare è il moto di un oggetto che cade.

Osserviamo quindi il caso dell’accelerazione costante.

La variazione della velocità nel tempo si chiama accelerazione. Quindi il grafico della Δ velocità in funzione del tempo rappresenta il grafico dell’accelerazione.

a_x = [V_x(t + Δt) − V_x(t)] / Δt.

È l’accelerazione media sull’intervallo di tempo Δt.

Se voglio calcolare l’accelerazione istantanea nel punto calcolo il limite:

a_x = lim [V_x(t + Δt) − V_x(t)] / Δt = dV_x / dt, con Δt → 0.

Che è la derivata della funzione velocità-tempo, quindi la derivata seconda della funzione spazio-tempo.

Quindi il vettore accelerazione è:

⃗a(t) = d⃗V/dt = d/dt [V_x i^ + V_y j^ + V_z k^].

⃗a(t) = d/dt [dx/dt i^ + dy/dt j^ + dz/dt k^].

Per “tornare indietro” dall’accelerazione allo spostamento, è necessario integrare.

Moto uniformemente accelerato

Supponiamo ⃗a(t) = (a_x, 0, 0), a = a_x.

a_x(t) = a_x.

Sapendo che a_x = dV_x/dt, si può fare l’integrale facilmente.

a_x ∗ dt = dV_x ⇒ ∫ a_x dt = ∫ dV_x.

∫_t0^t a_x dt = ∫_V0^V(t) dV_x.

V_x(t) = V_x0 + a_x t, se t₀ = 0.

∫_t0^t V_x(t) dt = ∫_t0^t a_x dt t.

Moto uniformemente accelerato in 1D

Se ⃗a = (a_x, 0, 0), a_x costante, per ricavare la legge oraria si procede con integrazioni successive.

a_x = costante.

V(t) = V₀ + a t.

x(t) = x₀ + V₀ t + 1/2 a t².

Il parametro in questo caso è t, il tempo.

Si può eliminare il tempo da una delle equazioni.

Dato che V(t) = V₀ + a t, allora t = [V(t) − V₀] / a.

x(t) = x₀ + V₀ t + 1/2 a t².

x(t) = x₀ + V₀ [V(t) − V₀] / a + 1/2 a [V(t) − V₀]² / a².

Svolgo i calcoli…

V_x²(t) − V_x0² = 2 a_x [x − x₀].

Allo spostamento corrisponde una variazione di velocità V_x²(t) − V_x0².

Con punto iniziale x₀ e finale x, velocità iniziale V₀ e velocità finale V_x.

Non è detto che un corpo si muova in questo modo!

Supponiamo a > 0.

Primo caso: a = costante > 0.

Se V_x0 = 0, la velocità cresce linearmente.

x(t) avrà invece una forma parabolica, convessa o concava.

Caduta libera

Chiamato anche “moto di caduta dei gravi”.

Il moto supponiamo sia influenzato solo dall’attrazione terrestre. È importante sempre avere presente le influenze in gioco sul moto, forze.

⃗a = −g j^.

g = 9,81 m/s².

g è un numero che varia in funzione della posizione sulla superficie terrestre, sulla terza cifra decimale.

g può essere chiamata “costante” se siamo in condizioni ottimali, laboratorio.

Cosa più importante, se consideriamo due corpi differenti, piuma e sasso, senza considerare gli attriti, gli oggetti cadranno in maniera sincrona, se siamo nel vuoto.

g è completamente indipendente dalla forma se siamo nel vuoto. Quindi è un’accelerazione universale.

Applicando quindi le formule:

a_y = −g.

V_y(t) = V_0y + a_y t = V_0y − g t.

y(t) = y₀ + V_0y t − 1/2 g t².

Esempio

Vogliamo trovare la profondità di un pozzo h. Quindi prendiamo un sasso e lo lasciamo cadere finché non udiamo il “toc”, ossia quando il sasso tocca il fondo.

Sapendo quindi che h − y(t) = 1/2 g t².

E che quando udiremo il “toc” il sasso dalla posizione iniziale si troverà y nella posizione 0, e che conosciamo il tempo trascorso Δt:

0 = h − 1/2 g Δt² ⇒ h = 1/2 g Δt².

In tutto ciò però andrebbe anche considerato il tempo di propagazione del suono “toc” da quando avviene l’impatto a quando udiamo il suono.

Ma dato che questo tempo sarà decisamente inferiore a Δt possiamo trascurarlo, come si può osservare:

Δt_s = h / V_s.

Con V_s = 330 m/s, e se h = 10 m ⇒ t_s = 30 ms.

Che è abbastanza trascurabile.

Moto di punti materiali in 2 dimensioni

Identifico un punto P nello spazio e lo posso identificare col vettore posizione ⃗r(t).

Se in un istante successivo l’oggetto occuperà il punto P₁, avrò un vettore posizione ⃗r(t + Δt).

Il luogo dei punti occupati dal corpo in movimento in tutti gli istanti si chiama traiettoria.

La velocità media per definizione è ⃗V > ¿ = Δ⃗r / Δt.

La velocità istantanea si otterrà al limite considerando intervalli di tempo sempre più piccoli.

⃗v = lim Δ⃗r / Δt, con Δt → 0.

Δ⃗r = ⃗r(t + Δt) − ⃗r(t).

Δ⃗r = (r_fx − r_ix) i^ + (r_fy − r_iy) j^.

⃗V > ¿ = [(r_fx − r_ix) / Δt] i^ + [(r_fy − r_iy) / Δt] j^.

⃗V = lim Δx / Δt i^ + lim Δy / Δt j^, con Δt → 0.

⃗V = dx/dt i^ + dy/dt j^.

La velocità media è un vettore parallelo a Δ⃗r.

Per quanto riguarda l’accelerazione:

⃗a > ¿ = Δ⃗V / Δt = (⃗V_f − ⃗V_i) / Δt.

L’accelerazione è parallela a Δ⃗V. Se stringiamo gli intervalli di tempo Δt otteniamo quindi l’accelerazione istantanea.

⃗a = lim Δ⃗V / Δt = lim [(ΔV_x / Δt) i^ + (ΔV_y / Δt) j^], con Δt → 0.

⃗a = dV_x/dt i^ + dV_y/dt j^ = d²x/dt² i^ + d²y/dt² j^.

Si osserva quindi che il vettore dell’accelerazione istantanea è diretto verso la concavità.

Per studiare l’accelerazione la si scompone in 2 componenti secondo 2 direzioni relative alla traiettoria.

⃗r(t) = ⃗r₀ + ⃗V₀ t + 1/2 ⃗a t².

Scomponiamo la terza equazione lungo gli assi cartesiani:

x(t) = x₀ + V_x0 t + 1/2 a_x t².

y(t) = y₀ + V_y0 t + 1/2 a_y t².

Si osservano 2 direzioni: una tangente alla traiettoria nel punto di applicazione di ⃗a, e un’altra perpendicolare a questa.

Quindi ⃗a si scompone nelle due componenti: ⃗a_t, tangenziale, e ⃗a_c, centripeta.

Notiamo che queste due sono indipendenti. Quindi i due moti possono essere studiati separatamente. Questa viene chiamata separazione dei movimenti.

Nel moto del proiettile si studia il movimento che fa un corpo sotto la forza della gravità.