Appunti di Fisica 1 sulla seconda parte sui moti relativi e sulla forza di attrito viscoso

ottengo

sono voglioli, l’uguaglianza è soddisfatta

Quindi la LEGGE ORARIA della VELOCITÀ È:

la velocità iniziale è proprio la costante che avevo trovato prima.

La velocità è diversa da 0, quindi sicuramente la bici non si ferma.

Per sapere se arriva all’∞, scrivo la legge oraria della posizione e faccio il limite per x →∞.

Per trovare x(t) sapendo ṡ(t), integro ṡ(t)

Facendo lim x(t), il termine e^{-_h/_m t} → 0

Ottengo quindi che lo spostamento complessivo (massimo) è:

IN CONCLUSIONE:

La bici non si fermerà mai ma non si potrà mai andare oltre la quantità ṡ(0) _h/_m

La bici avrà una ṡ sempre diversa da 0 ma non arriverà all'infinito.

ottengo

sono uguali, l'uguaglianza è soddisfatta

Quindi la legge oraria della velocità è:

La velocità iniziale è proprio la costante che avevo trovato prima.

La velocità è diversa da 0, quindi sicuramente la bici non si ferma.

Per sapere se arriva all'infinito, scrivo la legge oraria della posizione e faccio il limite per x → ∞.

Per trovare x(t) sapendo ẋ(t), integro ẋ(t)

e trovo

Facendo lim x(t), il termine → 0

Ottengo quindi che lo spostamento complessivo (massimo) è:

In conclusione:

La bici non si fermerà mai ma non si potrà mai andare oltre la quantità ẋ(0)/h/m.

La bici avrà una v sempre diversa da 0 ma non arriverà all'infinito.

Es. Paracadutista

Supponiamo di avere un paracadutista che si lancia da un aereo.

sottoposto alla forza peso e la forza di attrito viscoso

Scelgo un sistema di riferimento verso il basso

y₀(0) = 0

v_fluido = 0

ẏ(0) = 0 suppongo che la velocità iniziale del paracadutista sia 0

Scrivo le forze in gioco in forma vettoriale in coordinate cartesiane: ossia la forza peso e la forza di attrito viscoso.

F⃗_p = mg ŵ_y

Perché il sistema è rivolto verso il basso

F⃗_{attrito viscoso} = -h (v⃗_{punto materiale} - v⃗_fluido) = -h v⃗_{punto materiale}

Scritta in coordinate cartesiane: F⃗_v = -h ẏ(t) ŵ_y

Dopo aver scritto le forze in gioco, scrivo F⃗ = ma⃗

mg ŵ_y - h ẏ(t) ŵ_y + ẋ(t) ĩ_x = m (ẍ ĩ_x + ÿ ŷ_y)

n.b. Se mi viene richiesto anche il moto lungo x, oltre a quello lungo y, ad esempio mi viene chiesto di considerare la gittata di un proiettile in presenza di attrito viscoso dell'aria, devo considerare sia la componente x che la componente y:

Aggiungo la componente x alla velocità e all'accelerazione

quindi lungo l'asse x ottengo:

mẋ(t) = -h ẋ(t)

MOTO SMORZATO

moto in cui è presente la forza di attrito viscoso.

e lungo l'asse y, ottengo:

mẏ(t) = mg - h ẏ(t)

MOTO SMORZATO CON FORZANTE

perchè c'è un termine costante nella formula.

In questo caso, mi interessa solo lungo l'asse y riscrivendola e dividendo per la massa:

ẏ(t) = g - h/m ẏ(t)

Per la soluzione grafica, devo ricordare che la pendenza della curva ẏ(t) è data ad ogni istante dal valore della derivata di ẏ(t) rispetto al tempo, ossia l'accelerazione ẍ(t).

So che il paracadutista parte da fermo, quindi a t=0, sono nell'origine e ẏ(t)=0.

Dalle eq. del moto trovata prima: ẍ(t) = g - h/m ẏ(t) ⇒ ẍ(t) = g.

quindi la pendenza della retta è uguale a g, abbiamo un moto uniformemente accelerato.

Per tempi brevi, l'andamento è lineare con pendenza l'accelerazione g.

Dopo un po', la velocità ẏ(t) non è più 0 (perché il paracadutista

inizia a prendere velocità), ma è > 0.

Allora, nell' eq. del moto ÿ(t) = g – h/m ⋅ ẏ(t)

L'acceleratore non è più 9.81, ma sarà

leggermente minore, quindi di conseguenza la

pendenza della retta diminuisce.

La velocità del paracadutista continua a crescere finché il valore di

ẏ(t) annulla il valore di g - facendo diventare - ÿ(t) = 0

Infatti, ad un certo punto per t molto grande, le 2 forze si

eguaglicano e ẏ(t) è tale per cui

g – h/m ⋅ ẏ(t) = 0 ⇒ ÿ(t) = 0

Si ha quindi una velocità costante del paracadutista e un moto

rettilineo uniforme.

COME SI CALCOLA LA VELOCITÀ FINALE DEL PARACADUTISTA?

Impongo ÿ(t) = 0

Ossia g – h/m ⋅ ẏ(t) = 0 ⇒ ẏ(t) = mg/h = v_finale

(ESEMPIO INTUITIVO ATTRITO VISCOSO)

Se lasci cadere una pallina in acqua, non accelera all'infinito: raggiunge una

velocità limite.

Questo perché l'acqua esercita una forza di attrito viscoso crescente man mano

che la pallina va più veloce.

A un certo punto, la forza verso il basso (peso) e la forza verso l'alto (attrito

viscoso) si bilanciano, e la pallina va a velocità costante.