Appunti di Fisica 1 - Dimostrazione dei principali teoremi e problemi

Dimostrazioni dei 2020-2021 principali teoremi e problemi Fisica I

Riccardo Bergamini

C.D.L. Ingegneria meccanica

Lavoro in un campo di forze

• Percorso rettilineo in un campo di forze uniforme: Il lavoro dato dal prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento ̅ |̅ | |̅ |ℒ = ∙ ̅ = ∙ ∙ cos ().

L’unità di misura del lavoro è il Joule; se è maggiore di 0 è detto lavoro motore, se è minore di zero è detto lavoro resistente.

• Caso generale: Semplifico il cammino curvilineo in una linea spezzata forma da n segmenti; per ̅∆̅, ogni segmento considero la forza applicata nel punto medio del segmento e suppongo che sia costante in modulo, direzione e verso. Applico la formula che già conosco ̅ℒ = ∙ ̅| ∙ cos ( )| | | ad ogni segmento j.

Sommando tutti i segmenti ottengo un’approssimazione del lavoro lungo il cammino ̅∑ ℒ = ∑| ∙ ̅| ∙ cos ( )| | =1 =1.

Per ottenere il cammino lungo la curva, scelgo un numero infinito di segmenti, ovvero faccio il limite della sommatoria 2̅ ̅)ℒ( → = lim ∑| ∙ ̅| ∙ cos ( ) = ∫ () ∙ cos () = ∫ ̅| |1 2 →∞ 1=1.

La formula finale è detta integrale di linea.

Teorema dell’energia cinetica

Il lavoro della risultante di tutte le forze che agiscono su un punto materiale è uguale alla variazione di energia cinetica.

Parto dal lavoro come integrale di linea: essendo un SRI, posso riscrivere la forza con l’equazione del moto 2 2̅)ℒ( → = ∫ ̅ = ∫ ̅ ̅1 2 1 1.

Sostituisco l’accelerazione con la derivata della velocità e porto fuori la massa che è una costante ̅2 2∫ ̅ ̅ = ∫ ̅ 1 1.

Moltiplico e divido per l’infinitesimo dt. Ora sto integrando in dt, quindi l’integrale passa da (P1 – P2) a (t1 – ̅ = ̅t2); scrivo ̅ ̅ ̅ ̅2 2 2∫ ̅ = ∫ = ∫ ̅ 1 1 1̅ ̅.

Calcoliamo il prodotto tra e : calcolo quanto vale la derivata del quadrato della velocità scalare su dt, ̅ che non è altro che la derivata del prodotto scalare tra e sé stesso, per il quale vale la regola del prodotto di funzioni (derivata del primo fattore per il secondo non derivato sommato alla derivata del secondo per il primo non derivato) 2 ̅ ̅ ̅(̅ )= ∙ ̅ = ∙ ̅ + ̅ ∙ =2 ∙ ̅.

Ottengo il doppio della quantità che mi interessa, aggiungo ½ davanti all’integrale e dentro scrivo la derivata del quadrato della velocità scalare su dt. ̅ 1 1 12 2 22 122 ()∫ ̅ = ∫ = − = ∆ 2 2 2 1 1.

L’ultimo termine è la variazione di energia cinetica, quello che cercavo.

Campo di forze centrale conservativo

Un campo di forze centrale è sempre conservativo.

̅ ̅Scegliamo O come centro del campo di forze, vettore posizione del punto rispetto ad O, vettore1 1 2 posizione rispetto ad O. Vogliamo dimostrare che il lavoro per andare da a è indipendente dal2 1 2percorso. Posso sempre scomporre lo spostamento infinitesimo (sempre tangente alla curva) nelle sue componenti radiale e azimutale 2 2̅ ̅)ℒ( → = ∫ ̅ = ∫ (̅ + ̅ )1 2 ∥ ⊥ 1 1.

Sfruttando la proprietà distributiva del prodotto scalare e la linearità dell’integrale, “spezzo” l’integrale 2 2 2̅ ̅ ̅∫ (̅ + ̅ ) = ∫ ̅ + ∫ ̅∥ ⊥ ∥ ⊥ 1 1 1̅ ̅ ̅.

Essendo un campo di forze centrale, è sempre radiale, quindi il secondo termine è 0 (l’angolo tra e è⊥̅90°, e il cos(90°) = 0). Posso adesso scrivere il primo termine sviluppando il prodotto scalare: il modulo di() ̅ non è altro che (non è detto che le forze del campo siano uniformi), il modulo di è (sto ∥ considerando infinitesimi dello stesso ordine) e il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori (campo di forza repulsivo → cos(0) = 1, campo di forza attrattivo → cos(180°) = -1).

I nuovi estremi di integrazione sono i moduli dei vettori posizione in e1 2 2 2̅∫ ̅ = ± ∫ () ∥ 1 1.

Possiamo osservare quindi che il lavoro in un campo di forze centrato dipende solo da e , ma non dal1 2cammino che li congiunge, quindi il campo è conservativo.

Teorema di conservazione dell’energia meccanica

Se tutte le forze agenti su un punto materiale sono conservative, allora l’energia meccanica (capacità di produrre lavoro variando velocità e posizione: E = Ec + U) è una costante del moto.

̅Prendiamo un punto materiale che si muove da A a B. Sia la sommatoria di tutte le forze agenti sul punto m̅ materiale, per l’equazione del moto sappiamo che tale somma è uguale a ̅ ̅= ∑ = ̅=1.

Prendiamo il lavoro della j-esima forza conservativa agente sul punto materiale: essendo conservativa, il lavoro è pari all’energia potenziale nel punto A meno l’energia potenziale nel punto b( () ()ℒ → ) = −.

Il lavoro totale di tutte le forze conservative agenti sul punto materiale lungo il cammino AB è dato da ( () ()]ℒ( → ) = ∑ ℒ → ) = ∑[ − = () − () =1 =1.

Per il teorema dell’energia cinetica, il lavoro della risultante delle forze è pari alla variazione di energia cinetica ()ℒ( → ) = − ().

Unendo questi risultati ottengo ()() + = () + ().

Ovvero il risultato che cercavo.

Riformulazione dei principi della dinamica mediante la quantità di moto

• I. Esistono sistemi di riferimento dove un punto materiale isolato si muove con quantità di moto costante.
• II. Equazione del moto con i momenti ̅ (̅ ) ̅̅ = ̅ = = =.
• III. Conservazione della quantità di moto per sistemi isolati.

Prendo un sistema isolato di due punti materiali di masse e in interazione: per il terzo principio della dinamica sappiamo che la forza di interazione che agisce sul corpo 1 per via del ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ corpo 2, , è opposta a in direzione e verso a , ossia12 21̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = −12 21.

Inoltre per il punto II sappiamo che ̅̅̅ ̅̅̅1 2̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = =12 21.

Quindi ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ 1 2 1 2 (=− ⟹ + =0 ⇒ ̅̅̅ + ̅̅̅) = 01 2.

Ovvero la quantità totale di moto del sistema si conserva.

Teorema della quantità di moto

L’impulso della risultate di tutte le forze applicate al punto materiale, è equivalente alla variazione della quantità di moto.

L’impulso è, per definizione 2̅ ̅( ) , = ∫ 1 2 1.

Siccome sto considerando tutte le forze, posso sostituire, tramite equazione del moto 2 2̅∫ = ∫ ̅ 1 1.

La massa è costante ed esce dal segno di integrale, riscrivo l’accelerazione come derivata della velocità e risolvo l’integrale. ̅2 2 2 22 12∫ ̅ = ∫ = ∫ ̅ = − = ∆̅ 1 1 1.

Ottengo proprio la definizione di quantità di moto.

Prima equazione cardinale (IEC)

• A) Considero un sistema di n=2 punti materiali non isolati ed in interazione tra loro: le forza totale agente su ciascun corpo è data dalla somma tra la forza dell’interazione con l’altro corpo con le forze esterne agenti sul corpo; tale quantità, per la riformulazione dell’equazione del moto con i momenti può essere scritta come ̅1()̅ ̅ ̅= + =1 12 1 ̅2()̅ ̅ ̅= + =2 21 2.

Sommo membro a membro queste equazione ̅ ̅1 2() ()̅ ̅ ̅ ̅ ̅= + + + = +1 12 211 2.

Le forze interne si oppongono, quindi a loro somma fa 0; ottengo quindi che la somma di tutte le forze agenti sul sistema è uguale alla somma delle forze esterne; la somma delle quantità di moto genera la quantità di moto totale del sistema. Ottengo quindi la prima equazione cardinale ̅̅ () =.

• B) Considero un sistema di n punti materiali non isolati: la risultante delle forze per la i-esima particella è data dalla somma tra le forze esterne al sistema che agiscono sulla particella e la sommatoria delle forze attrattive delle altre j-esime particelle del sistema. Questa risultante è uguale, per la riformulazione del secondo principio della dinamica (equazione del moto) tramite quantità di moto, a ̅()̅ ̅ ̅= + ∑ = =1≠.

Sommando tutte le n particelle del sistema ottengo ̅()̅ ̅ ̅∑ = ∑ + ∑ ∑ = ∑ =1=1 =1 =1 =1≠.

Le forze interne si oppongono, quindi a loro somma fa 0; ottengo quindi che la somma di tutte le forze agenti sul sistema è uguale alla somma delle forze esterne; la somma delle quantità di moto genera la quantità di moto totale del sistema. Ottengo quindi la prima equazione cardinale ̅̅ () =.

Centro di massa

Punto in un sistema di n particelle utile alla riformulazione dell’equazione del moto per tali sistemi. Può essere inteso come il punto, non necessariamente appartenente ai punti del sistema, in cui, per semplificazione, si addensa tutta la massa del sistema per studiarne il moto.

N=2

Una volta identificati i punti di massa , di massa e O origine del sistema di riferimento,1 1 2 2il vettore posizione del centro di massa rispetto al sistema di riferimento è definito come media pesata delle posizioni rispetto alle relative masse ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + 1 1 2 2̅̅̅̅ = + 1 2.

̅̅̅̅ Sviluppo questa equazione sommando e sottraendo 2 1̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + + − 1 1 2 1 2 2 2 1̅̅̅̅ = + 1 2.

̅̅̅̅ Raccolgo dai primi due fattori e dal terzo e dal quarto1 2̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + + − + ( − )1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1̅̅̅̅= +1 + + + 1 2 1 2 1 2.

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅( − ) La differenza non è altro che il vettore che congiunge i due punti2 1 1 2̅̅̅̅ ̅̅̅̅ + ( − ) 1 2 2 2 1 2̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ + = + 1 1 1 2 + + + 1 2 1 2 1 2.

Il centro di massa è quindi posizionato sul segmento che congiunge i due punti del sistema, ed in prossimità del corpo più massivo, indipendentemente dalla posizione di O 2̅ = ̅ + (̅ − ̅ ) 1 2 1 + 1 2.

N=3

̅ + ̅ + ̅1 1 2 2 3 3̅ = + + 1 2 3 , Il centro di massa G è all’interno del triangolo con vertici ,1 2 3.

N=4

4=1∑ ̅ ̅ = 4=1∑ , , Il centro di massa G è all’interno del tetraedro con vertici ,1 2 3 4.

N qualsiasi

=1∑ ̅ ̅ = Il centro di massa G è all’interno del più grande poliedro costruito dai punti.

Teorema del centro di massa

La somma di tutte le forze esterne agenti su un sistema di n particelle è uguale alla massa totale del sistema moltiplicata per l’accelerazione del centro di.