Appunti di Elettrotecnica

Risonanza

Risonanza serie

Sia dato il circuito di fig. 1 costituito da tre bipoli R, L, C collegati in serie, alimentati da un generatore sinusoidale a frequenza variabile.

Fig.1 – Circuito RLC serie

L’impedenza equivalente vista dai morsetti del generatore è data da: 1̅ ( )= + 2 − 2

Si definisce il valore della frequenza in corrispondenza del quale l’impedenza equivalente vista frequenza di risonanza f 0 dai morsetti del generatore è puramente resistiva.

In dato un sistema qualunque si dice che esso risuona da due morsetti quando l’impedenza equivalente vista da generale questi due morsetti è puramente resistiva. L’impedenza può essere puramente resistiva quando, a frequenza costante, i bipoli sono tali da rendere la reattanza equivalente uguale a zero o quando, il sistema funziona ad una con bipoli costanti, frequenza tale da rendere la reattanza equivalente uguale a zero.

Quindi per il sistema di fig. 1, essendo i bipoli costanti, la reattanza equivalente sarà nulla in corrispondenza della frequenza f tale che: 0 12 = 2 da cui: 1= 2 √

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Nel sistema in esame il vettore rappresentativo della corrente che fluisce nella maglia, è dato da: V= 1+ 2 − 2

Analizziamo adesso l’andamento, in funzione della frequenza, della resistenza, delle reattanze induttive e capacitive, del modulo dell’impedenza equivalente e del valore efficace della corrente per il sistema di fig. 1.

• Resistore = , è indipendente dalla frequenza e quindi, al variare della stessa, è costante;
• Reattanza induttiva =2, dipende linearmente dalla frequenza e quindi, al variare della stessa ⁄= 1 2 l’andamento è descritto da una retta uscente dall’origine;
• Reattanza capacitiva = −, l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera ed a noi interessa il ramo ̅ | | = + ( − ) −∞, negativo poiché la reattanza totale è .! " "| | | |+∞; ∞ +∞ +∞, per frequenza nulla la è nulla e la tende a di conseguenza
• Modulo di , ̅ = tende a per frequenza tendente a la tende a 0 e la tende a e quindi tende a come %= → ∞,. In corrispondenza della frequenza di risonanza , il modulo di ha un minimo ( ) e vale proprio .& + ( − )!$ " " vale per cui sia per frequenza nulla, sia per essendo
• Valore efficace di ,| | → ∞, = 0. = 0$ Tale andamento ha anche un’interpretazione fisica, infatti significa regime stazionario ed in questo caso il condensatore si comporta come un circuito aperto non consentendo, quindi, la circolazione ̅= della corrente; per frequenza elevata, è la reattanza induttiva che si comporta come un circuito aperto non %= = ) consentendo anch’essa la circolazione della corrente. In corrispondenza invece di , il modulo di ha un $ minimo e, quindi il valore efficace della corrente ha un massimo e vale .

Quanto sopra detto è riportato in fig. 2.

Fig. 2 – Andamento dei bipoli vs frequenza e curva di risonanza

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=La frequenza di risonanza si può anche individuare per via grafica, infatti in corrispondenza di questo valore di frequenza, la reattanza totale deve essere nulla e cioè deve essere per cui i segmenti AB (valore di ) e BD (valore di ) devono essere uguali.

È da notare che è la curva che rappresenta l’andamento del valore efficace della corrente in funzione della frequenza detta campana di risonanza.

È anche importante rilevare che in corrispondenza della frequenza di risonanza, essendo il modulo dell’impedenza coincidente con la resistenza, il circuito visto dal generatore si comporta come puramente ohmico per cui i vettori rappresentativi della tensione ai morsetti della serie RLC e della corrente che circola, sono in fase; inoltre i vettori rappresentativi delle tensioni ai morsetti di e di sono uguali ed opposti.

Fissato infatti nella maglia di fig. 1 il senso di percorrenza orario, l’equazione di Kirchhoff è: % = + − ed il corrispondente diagramma vettoriale è riportato in fig. 3.

-jX IcjX IL

Fig. 3 – Diagramma vettoriale equilibrio elettrico

In condizioni di risonanza essendo uguali le reattanze ed il valore efficace della corrente, l’equazione diventa % = ed il corrispondente diagramma vettoriale è: -jX IcjX IL

Fig. 4 – Diagramma vettoriale equilibrio elettrico in risonanza

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Esaminando questo diagramma vettoriale, si nota che l’equilibrio elettrico del sistema è sempre verificato anche se i valori efficaci delle tensioni ai morsetti delle reattanze fossero enormi, sono infatti due vettori uguali ed opposti, questa nascita di potrebbe quindi causare la rottura dell’isolamento dei bipoli induttivo e capacitivo. Questo fenomeno sovratensioni non si verifica sempre ma solo nei sistemi risonanti serie e solo se la resistenza è trascurabile rispetto alle reattanze, infatti: *+ ≪ + -./01/ ≪ (+**+012 = )%= )= + % = ). si ha un elevato valore efficace di corrente ed un conseguente elevato valore efficace della tensione ai morsetti di e di ( %

Per frequenze minori della frequenza di risonanza il generatore vede un carico ohmico-capacitivo infatti la reattanza capacitiva prevale sulla reattanza induttiva; per frequenze maggiori della frequenza di risonanza, chiaramente, il generatore vede un cario ohmico-induttivo poiché, in questo caso, è la reattanza induttiva a prevalere sulla reattanza capacitiva.

3Il (o è definito come il rapporto tra la reattanza induttiva alla frequenza di fattore di qualità coefficiente di risonanza) risonanza (o reattanza capacitiva, essendo uguali) e la resistenza: 1 12 2, 244.5+ 3 = =3 = 2% %

E questo fattore può essere anche definito come il rapporto fra il valore efficace della tensione ai morsetti della reattanza % induttiva alla frequenza di risonanza (o il valore efficace della tensione ai morsetti della reattanza capacitiva , è il 6 medesimo) ed il valore efficace della tensione ai morsetti di R , sempre in condizione di risonanza (tale valore efficace è il medesimo del valore efficace della tensione applicata), infatti: % 2 2 % 123 = = = , 244.5+ 3 = = = =% % 2 26 6

Per questo il fattore di qualità è anche detto del circuito. fattore di sovratensione (2 ) = 1,"O anche, ricordando che alla risonanza si ha: 1 73 =

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⁄ ⁄= % √2√2

È necessario ora definire altri due valori caratteristici di frequenza e precisamente quelle frequenze in corrispondenza ⁄ √2 . delle quali il valore efficace della corrente vale

Nella figura 5 si può vedere che la retta di valore interseca la campana di risonanza in corrispondenza dei punti A8 " e G di ascissa rispettivamente ed ; questi due valori di frequenza prendono il nome di frequenze di taglio.

Fig. 5 – Frequenze di taglio

Le frequenze di taglio sono anche dette frequenze di emipotenza, infatti la potenza attiva in corrispondenza dei punti A e G vale: "9= ( ) =" 2√2 mentre alla risonanza la potenza attiva vale: 9= "

È interessante sapere qual è lo sfasamento tra il vettore tensione ed il vettore corrente in corrispondenza delle ⁄ ):√2 frequenze di taglio. Per determinarlo si parte dalla definizione di valore efficace della corrente e lo si eguaglia al valore che esso deve avere in corrispondenza delle frequenze di taglio (% %= = =√2 √2+( − )! " " Con semplici passaggi si ha: % %=+ √2√ " "% %= √2":1 + "

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1 1= √2":1 + "

Affinché questa uguaglianza si verificata deve essere: "71 + = √2" Cioè " = 1 1; <./ ="

Quindi lo sfasamento tra tensione e corrente è: φ = tan = tan 1 =A8 A8 48

Risulta quindi chiaro che in corrispondenza della frequenza di taglio la corrente è in anticipo di 45° sulla tensione " (circuito ohmico-capacitivo), invece, in corrispondenza della frequenza di taglio , la corrente sarà in ritardo di 45° (circuito ohmico-induttivo).

Le frequenze di taglio individuano la cosiddetta che è definita come quell’intervallo di frequenze banda passante ⁄√2 √2 all’interno del quale la grandezza (in questo caso valore efficace della corrente) si mantiene uguale o superiore al valore che ha alla risonanza fratto (in questo caso ) fig. 6.

Fig. 6 – Banda passante

Si definisce poi la differenza fra le frequenze di taglio: larghezza di banda, C= −" 8

Dalla fig. 6 si nota che le frequenze più alte o più basse sono significatamente ridotte in ampiezza. Allora le frequenze centrate intorno alla frequenza di risonanza passano, mentre le componenti lontane dalla frequenza di risonanza sono (parzialmente) rigettate. Noi diciamo quindi che il circuito risonante si comporta come un filtro passabanda.

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Dimostriamo ora che: C= 38 " Le due frequenze ed , limiti della banda passante, devono ambedue soddisfare la relazione: % %= =1 √2 √2): + (2 − "" 2 cioè 17= + (2 − )√2 " "212 = + (2 − )"" " 21= (2 − )"" 2 1∓ =2 − 2 e, riducendo a forma intera si ottengono le due equazioni: 4 +2 −1=0" "E 4 −2 −1=0" "

Le quali hanno ciascuna due radici, una positiva e l’altra negativa. Scegliendo per ognuna di esse la radice positiva si ha: − +√ +4⎧ " " " "=⎪ 48 "+√ +4⎨ " " " "⎪ = 4⎩ " " e quindi − 2 17= = = = =" 8 14 2 3" 2 2 √ C = − ," 8 Per cui, essendo si ha C= <. K. 1.33 ≫ 1, Inoltre per in maniera approssimata, possiamo scrivere: C≅ + 2" e C≅ − 28

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Ipotizziamo ora di avere un circuito serie in cui i parametri possano variare, vediamo come dobbiamo far variare i parametri affinché il sistema abbia una curva di risonanza del tipo “verde” anziché “rosso”.

Fig. 7 - C = 3 3 =NOP

La nuova curva ha una banda passante più stretta, quindi sapendo che dobbiamo aumentare , ed essendo Q: =86 potremmo ridurre ; ciò non è possibile perché comporterebbe anche la variazione del valore alla risonanza (%) ) che invece, come è evidente dalla fig. 7, deve rimanere invariato. Possiamo quindi agire solo su o su ma dobbiamo stare attenti perché il prodotto deve restare costante poiché deve anch’essa rimanere fissa.

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Risonanza parallelo

Sia dato il circuito di fig. 8 costituito dai bipoli , , e collegati in parallelo, alimentati da un generatore sinusoidale a frequenza variabile.

Fig. 8 – Circuito parallelo

̅ = + ̅ = −1 1RS = = = −̅ + " "1 1RS = = = +̅ − " "RS RS RS= + = U − CT T TC = −T " "

Affinché si abbia risonanza parallelo (impedenza o ammettenza equivalente puramente ohmica) deve essere: C = − =0T " " da cui: −" " =0" "− =0" "( ) ( )+ − + =0" " " "

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1 1 1+ V −V −V =0" " " "V V V " "=0+ V − V −" " " " "+ V − V − =0" " " " " "V − V = −" " " " " "V ( − )= −" " "− 1"V = ( )" − "1 − "7V = −√ "

Per cui, in definitiva, la frequenza di risonanza è: 1 − "7= −2 √ " =Si può notare che qualora si verificasse la condizione , la frequenza di risonanza coinciderebbe con quella trovata nel caso di circuito risonante serie. RS UT T

In condizione di risonanza, l’ammettenza parallelo coincide, evidentemente con la conduttanza parallelo :+" "+ =U =T " " """ " dove e sono le impedenze alla frequenza di risonanza.

Il modulo dell’impedenza equivalente parallelo, puramente resistiva poiché in risonanza, è massimo e vale: ( )(1 + + )" " " " " "= = = ( )+ ( )U + + +" " " " " "T W W→ ∞, Per frequenze maggiori della frequenza di risonanza il circuito si comporta da ohmico-capacitivo, tendente al puramente → 0. capacitivo per per frequenze più piccole il circuito si comporta da ohmico-induttivo, tendente al puramente induttivo per

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Rifasamento monofase

E Z

Sia dato il circuito di fig. 1 costituito da un generatore di tensione indipendente reale di f.e.m. ed impedenza serie , = +Z (la maggior parte dei carichi sono infatti da una linea di alimentazione di impedenza e da un carico ohmico-induttivi). Con tale carico, il vettore rappresentativo della corrente che fluisce nella maglia e quindi nel carico, sarà in ritardo rispetto al vettore rappresentativo della tensione ai morsetti del generatore di un angolo .

lE LL Fig. 1

Inseriamo ora, in parallelo al carico, un condensatore di capacità , fig. 2

l LcE Fig. 2

Nel ramo derivato, costituito solo dal condensatore fluirà una corrente in quadratura in anticipo sul vettore ; di conseguenza la linea di alimentazione sarà interessata da una corrente che sarà data da: = + = + = + ωC− +

Il vettore sarà in ritardo, in fase o in anticipo su a seconda che la componente reattiva, , di sia maggiore, = ) uguale o minore del valore efficace della corrente ( fig. 3.

Lc Fig. 3

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A seconda del valore efficace di come è facile vedere dalla fig. 3, il valore efficace di varia diminuendo all’aumentare del valore efficace di .

Inserendo quindi in parallelo al carico un condensatore di opportuna capacità, possiamo fare in modo tale che la corrente di linea sia in fase con la tensione ai morsetti del generatore ed inoltre abbia il minimo valore efficace. Per = calcolare il valore di questa capacità dobbiamo imporre, ovviamente, che il valore efficace della corrente () sia uguale al valore della componente reattiva, , di cioè, essendo: "" = == sin = ed#!!! deve essere: = $ da cui: = $= == $ $ $

In tal caso, quindi, essendo la corrente di linea in fase con la tensione ai morsetti del generatore, il complesso costituito dal carico e dal condensatore risulta risonante e quindi ohmico. In questa condizione di funzionamento il carico si dice rifasato totalmente. essere

Se mettessimo invece un condensatore di capacità inferiore, il carico non sarebbe più rifasato totalmente ma sarebbe rifasato parzialmente. In tal caso ci interessa conoscere il valore dell’angolo di rifasamento . Con riferimento alla fig. 4, dal triangolo OKH abbiamo: K H G LrOc Fig. 4

'(tan = , ') = cos = , '( = '. − (. = sin − = −') da cui: − − $$ $tan = = = −$$

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= 0)se volessimo il rifasamento totale (tan si avrebbe: $− = 0 01 234 = = =$ $ $ Espressione questa già trovata precedentemente.

Viceversa, per determinare il valore di per avere un prestabilito angolo di rifasamento parziale, si ha: $ $− = tan −tan = $tan − tan = da cui C = (tan − tan ) = C = (tan − tan )$ (√ + )$ $ $

Anche il rifasamento parziale fa diminuire il valore efficace di , chiaramente in misura inferiore alla diminuzione che si avrebbe in caso di rifasamento totale. In tutti i casi questa diminuzione del valore efficace della corrente nella linea comporta dei vantaggi e, precisamente:

• Minori c.d.t. nell’impedenza serie del generatore.
• Minori c.d.t. nell’impedenza della linea.

La diminuzione del valore efficace della corrente in linea, oltre ai precedenti vantaggi, comporta anche una riduzione delle perdite per effetto Joule sia nella linea, sia nell’impedenza serie del generatore avendosi: 7 = $ 9 7 = $8 8 : :

E quindi i vantaggi del rifasamento sono:

• Minori c.d.t. nell’impedenza serie del generatore.
• Minori c.d.t. nell’impedenza della linea.
• Minori perdite per effetto Joule nell’impedenza serie del generatore
• Minori perdite per effetto Joule nell’impedenza della linea.

Il problema del rifasamento può però essere affrontato, in maniera migliore, utilizzando le potenze.

Con riferimento sempre al circuito di fig. 1, sappiamo che l’induttore necessita di potenza reattiva che gli viene fornita dal g