Appunti di Elementi finiti

Name: Appunti di Elementi finiti
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Author: DanMacBen

Revisionato il 12/07/2026

di DanMacBen

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- Introduzione - Problema continuo - Soluzioni approssimate- Elementi Finiti 1D - Problema statico - Problema dinamico- Elementi Finiti 2D - EF di lastra - Integrazione …

Esame Elementi finiti nell'analisi strutturale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Addessi Daniela

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

58 pagine

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Estratto del documento

Elementi finiti

Problema 1D - Soluzione analitica

Metodo degli spostamenti

Equazione indefinita di equilibrio
dN/dx + p_u = 0

Legame costitutivo
N = EA ⋅ ε_G

Congruenza
ε_G(x) = u'(x)

Equazioni
EA ⋅ u''(x) + p_u = 0 — Equazione di campo
u(0) = 0 — Condizioni al contorno
N(L) = P

Esempio: P = 0, ρ_u = cost e EA = cost
Dall’equazione di campo si determina:
u''(x) = - ρ_u / EA
u'(x) = - ρ_u / EA · x + C₁
u(x) = - ρ_u / 2EA · x² + C₁ x + C₂

Dalle condizioni al contorno si ricavano le costanti di integrazione:
u(0) = C₂ = 0
N(L) = - ρ_u L + EA C₁ = 0 → C₁ = ρ_u L / EA

Sostituendo nelle equazioni:
u(x) = - ρ_u / 2EA · x² + ρ_u / EA · x
u'(x) = - ρ_u / EA · x + ρ_u L / EA
N(x) = - ρ_u x + ρ_u L = ρ_u (L - x)
▶︎ N(x) = EA u(x)

Problema 1D - Soluzione approssimata

Metodo delle differenze finite

Invece di descrivere la funzione tramite una variabile continua f(x), si discretizza il dominio in N punti. I valori della funzione in questi punti f_i saranno le incognite del problema.

Per definire in forma razionale l'approssimazione della prima e della seconda derivata si sviluppa la funzione in serie di Taylor e si tronca al primo e al secondo ordine rispettivamente.

f_i+1 = f_i + f^'_iΔx → f^'_i = (f_i+1 - f_i)/Δx In avanti
f_i-1 = f_i - f^'_iΔx → f^'_i = (f_i - f_i-1)/Δx All'indietro
∑2f^'_i = (f_i+1 - f_i-1)/2Δx Centrale
f_i+1 = f_i + f^'_iΔx + f^''_iΔ²x → f^''_i = (f_i+1 - 2f_i + f_i-1)/Δ²x

Procedura del metodo

(Stesso esempio con N=3)

Discretizzare il dominio

Dominio Continuo
x ∈ [0,L]

Dominio Discreto
x = { x₁, x₂, …, x_N }

Trasformare le equazioni differenziali in equazioni algebriche.
EAu''(x) + ρu = 0
u(0) = 0
EAu'(L) = 0
u''_i = (u_i+1 - 2u_i + u_i-1) / Δx² = - ρu / EA
u₁ = 0
u₃ = 0

(u₄ - u₃) / 2Δx = 0 in avanti
(u₃ - u₂) / 2Δx = 0 all'indietro
(u₄ - u₂) / 2Δx = 0 centrale

Imporre le equazioni governanti in ogni punto discretizzato.
Ci sono due incognite: U₂, U₃

u''₂ = (u₃ - 2u₂ + u₁) / Δx² = - ρu / EA
u''₃ = (u₄ - 2u₃ + u₂) / Δx² = - ρu / EA

Dalle condizioni al contorno

U₄ = U₃ In avanti
U₃ = U₂ All'indietro
U₄ = U₂ Centrale

U₃ - 2U₂ = - C
- U₃ + U₂ = - C
2U₂ = + 2C
U₂ = (ρuL²) / 2EA
U₃ = U₂ + C = 3C
U₃ = (3ρuL²) / 4EA
U₂ = + C
U₄ - U₂ = - C
U₄ = 0
U₂ = U₃ = (ρuL²) / 4EA

u₃ - 2u₂ = -c
-2u₃ + 2u₂ = -c
u₃ = 2c
2u₂ = 3c
u₃ = ρuL² / 2EA
u₂ = 3ρuL² / 8EA

Ricordando la soluzione esatta:
Ovviamente, la formulazione centrale si approssima meglio alla soluzione esatta perché è stata ricavata troncando la serie di Taylor al secondo ordine invece che al primo.

Questa metodologia può essere naturalmente scritta in forma matriciale, essendo un problema algebrico. Aumentare la discretizzazione del problema diventa molto semplice.

Si può anche usare il metodo per problemi bidimensionali:

W_i,x = (W_i+1,x - W_i-1,x)/2Δx
W_i,y = (W_i+1,y - W_i-1,y)/2Δy
W_i,xx = (W_i+1,x - 2W_i + W_i-1,x)/Δx²
W_i,yy = (W_i+1,y - 2W_i + W_i-1,y)/Δy²

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