Appunti Analisi elementi finiti

Analisi matriciale delle strutture

Trasformare il problema da diagrammi di corpo libero ecc. ad analisi matriciale permette di sistematizzare il problema. Fornendo le matrici al calcolatore, questo risolve il problema senza necessità di conoscere la struttura (ovviamente è necessario fornire tutte le condizioni al contorno, di contatto ecc.).

L’analisi matriciale consente un’analisi accurata e rapida di strutture anche complesse sottoposte sia a carichi dinamici che statici. Si basa sul concetto di sostituire la struttura reale con un modello equivalente fatto di elementi strutturali discreti aventi proprietà elastiche ed inerziali note ed esprimibili sotto forma di matrici.

Il calcolo in campo elastico delle strutture è generalmente riconducibile a delle operazioni matriciali. Mentre, nel metodo delle forze, le incognite primarie del problema sono le reazioni iperstatiche di una struttura, nel metodo degli spostamenti, le incognite primarie del problema sono le componenti di movimento (spostamenti e rotazioni) dei nodi della struttura.

Quando si opera per via automatica, il metodo degli spostamenti è preferibile. Esso non richiede infatti alcuna scelta delle incognite, poiché sono fissate univocamente dallo schema strutturale nel quale si opera. Il metodo dell’analisi matriciale si basa pertanto sul metodo degli spostamenti.

Concetto di rigidezza di una struttura

Concetto di una struttura: (spesso la considereremo in N/mm) rigidezza.

In meccanica dei materiali, la rigidezza è la capacità che ha un corpo di opporsi alla deformazione elastica provocata da una forza applicata. Il suo inverso è detto cedevolezza o flessibilità. La rigidezza dipende da materiale, forma e vincoli della struttura.

Se si abbandona l’ipotesi di problema monodimensionale, considerando ad esempio il troncone di trave orizzontale dove si hanno 3 corpi e 4 nodi (due a terra bloccati e 2 mobili di collegamento tra le travi), si possono definire diverse rigidezze (causa/effetto).

Applicando una forza le travi si deformeranno generando spostamenti e rotazioni. Ad una sola causa esterna corrispondono diversi effetti, indicando con e i nodi, si ha che:,

Aggiungendo altre componenti di forza si ottengono altri valori di :

La rigidezza di una qualsiasi struttura può essere rappresentata da una matrice:

Se si hanno più gradi di libertà e più forze, il concetto di rigidezza non è più un concetto scalare, ma può essere rappresentato sotto forma matriciale.

Elemento trave

Elemento trave. Estraiamo la trave orizzontale dalla struttura vista inizialmente e ci concentriamo sull’elemento trave.

Tre gradi di libertà per nodo. Due nodi per elemento. Quindi nell’elemento trave base si hanno 6 gradi di libertà per l’elemento trave nel piano (l’andamento interno è lasciato alla linea elastica, a noi interessa il nodo). Vettore forze nodali [6 x 1] = Matrice rigidezza [6 x 6] ∙ Vettore spostamenti nodali [6 x 1] ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∙ & ∙ & ∙ & ∙ & ∙ & ∙

Es:

La somma di tutti questi spostamenti mi dà la forza complessiva per ottenere la deformata finale della struttura.

Implicitamente questo mi dice come calcolare i 36 termini della matrice di rigidezza, ovvero imporre alla struttura una deformata (spostamento noto) tale per cui volta per volta si ha un solo grado di libertà diverso da 0 e tutti gli altri nulli. La relazione forza spostamento che ottengo mi permetterà di ricavare la rigidezza in una determinata direzione.

Componenti assiali

Componenti Assiali:

Imponendo lo spostamento nodale, mantenendo vincolati tutti gli altri gradi di libertà dell’elemento (blocco rotazioni e spostamenti verticali su e tutti i gdl su ), si generano le forze nodali ed :' →) → area della sezione

• * → Lunghezza
• Modulo di Young
• *' *',) )+(i segni non rappresentano la condizione di tirante o puntone, ma è semplicemente una convenzione di spostamenti positivi se verso destra o verso l’alto)

In modo analogo si possono legare ed ad : *' *',) )

La relazione tra forze e spostamenti nodali dell’elemento può essere scritta in forma matriciale considerando anche la sovrapposizione degli effetti: *'*' , ))- . 201/ *'*', ))

La matrice di rigidezza dell’elemento trave, nel piano, ha dimensioni 6 x 6. Conviene quindi espandere la matrice 2 x 2, relativa alle sole componenti assiali, in una matrice 6x6. I coefficienti non definiti sono per il momento nulli.

Componenti flessionali

Componenti Flessionali:

Si consideri una trave incastrata ad un estremo e libera dall’altro, la deformeremo con forze che danno taglio e flessione. Per convenzione il momento e le rotazioni si considerano positivi se ruotano in senso antiorario.) →3 → lunghezza

• * → Momento di inerzia della sezione
• Modulo di Young

Applicando all’estremo libero una forza, normale all’asse della trave, si otterrà uno spostamento nell’estremo libero e una rotazione, dati dalla relazione:) ),3*3 2*3

Per ottenere queste equazioni basta controllare le soluzioni delle linea elastica nell’estremo libero:86 → 6 → 6 8 &9 → 6 8 &9 8&977 7 7*3 *3 2*3 6*3

Sapendo che: );)< 0 9 ,6 7 2*3) ) )6;)< 0 9 , &6*3 2*3 3*3

Quindi che: ) )6 8 , 8&2*3 3*36*3

A noi interessa il nodo iniziale: )) ;0< ,6;0< 6 73*3 2*33 è il momento di inerzia della sezione rispetto l’asse neutro.

Applicando invece un momento costante, i valori dello spostamento e della rotazione sono calcolati dalle relazioni:) ), 2*3 *3

Applicando all’estremo libero sia la forza che il momento si ottengono lo spostamento e la rotazione. (vale la sovrapposizione degli effetti) ) ) )) , , & *33*3 2*3 2*3 > @.

Gradi di libertà e coefficienti di rigidezza

Si consideri l’elemento trave compreso tra i nodi e . Si supponga di lasciare libero il solo grado di libertà? mentre tutti gli altri sono bloccati. In particolare, deve essere Si imponga ora uno spostamento verticale nel nodo .

(la struttura è sbagliata nella realtà a sinistra avrei un pattino e a dx un incastro)

è legato alla forza ed al momento dalla relazione vista precedentemente: Lo spostamento verticale ) ),3*3 2*30

Per congruenza con i vincoli deve essere:) ) ) ) ) ) ), & 0 → → ,*3 *32*3 2*3 3* 4*3 12*

In funzione dello spostamento :

Per calcolare il coefficiente di rigidezza è necessario esprimere la forza CDEFGH.

Per avere questa deformata non ho applicato solo, altrimenti avrei un’altra tipologia di deformata. Per avere questa deformata è necessario applicare altre forze. Quindi, analogamente a quanto fatto precedentemente esprimiamo il tutto in funzione di :) ) 2 2 ) ) )→ → ,*32*3 ) 3* 4*3 6*

Per calcolare il coefficiente che lega a basta esprimere diversamente la relazione che lega a ed: IEFGD J @.?

Si supponga ora di lasciare libero solo il grado di libertà . In particolare, deve essere Si imponga ora una rotazione nel nodo .

è legata alla forza ed al momento dalla relazione: La rotazione ) ), & *32*30:

Per congruenza dei vincoli deve risultare) ) ) ) 3, 0 → → 2)3*3 2*3 3*3 2*3

Sostituendo si trova il coefficiente che lega a :) )3 ), &4*3 *3 4*3

Quindi: KEFG nota, bloccando . Per avere questa deformata non basta È la coppia che serve per imporre una rotazione il momento, ma serve anche una forza. Possiamo trovare il coefficiente che lega e risolvendo per una variabile diversa l’equazione:2) ) 2) 1 )→ , &3 62*3 3*3 *3

Quindi: IEFG?,I coefficienti calcolati per il relativi ai gradi di libertà e, possono essere espressi in forma nodo matriciale: L

Per il si procede in modo analogo, a meno del diverso segno dei momenti e delle rotazioni: nodo

In questo caso, applicando all’estremo libero sia la forza che il momento si ottengono le seguenti relazioni per lo spostamento e la rotazione : ) ) )) & & & *33*3 2*3 2*3

(rispetto il nodo cambia qualche segno, semplicemente dovuta alla convenzione quindi alla direzione del momento e forza dati)

Operando come nel caso precedente si giunge alla seguente relazione matriciale:

I coefficienti di rigidezza flessionali possono quindi essere rappresentati in una matrice 4 x 4 come segue L ? M 0

La forza ed il momento relativi al e dipendenti dallo spostamento e dalla rotazione del possono nodo nodo essere calcolati utilizzando le equazioni di equilibrio. Infatti, è una struttura in cui in un caso ho dato M 0). e, grazie all’equilibrio posso determinarmi ee se per quella struttura ho determinato (analogamente nel caso

Dall’equilibrio alle traslazioni si ottiene:∑ & 0 → O ,O? L

Da cui si ricava immediatamente che: CDEF IEFO , J ,G GL ?H D

Dall’equilibrio dei momenti si ottiene:∑ , )& & 0 → P O G , PL ? ?12*3 6*3 6*3 4*3 IEF DEF) & Q , , J & >P ) ) ) ) G GL ? ?D

Quindi i coefficienti calcolati per il nodo, relativi ai gradi di libertà e, possono essere espressi in forma matriciale: ed in funzione di

In modo del tutto simile si calcolano gli ultimi quattro coefficienti, ovvero le forze. e

Si ottiene quindi:

Ora sono noti tutti i coefficienti di rigidezza dell’elemento trave e può essere scritta l’intera matrice di rigidezza dell’elemento:

La presenza degli 0 indica che non vi è accoppiamento tra la rigidezza assiale e quella flessionale, quindi che sforzi di trazione e compressione determinato allungamenti o accorciamenti ma non ingobbimenti o flessione della trave (e viceversa).

Sistema di riferimento locale e globale

La matrice di rigidezza ottenuta è scritta nel sistema di riferimento locale. Ci interessa calcolare la matrice di rigidezza nel sistema di riferimento globale, poiché quando ho una struttura complicata definirò un sistema di riferimento globale, ma non tutte le travi che costituiscono quella struttura hanno quel sistema di riferimento favorevole. Per calcolare la matrice nel sistema globale è necessario eseguire il prodotto matriciale: ) )R 7) S

Dove è la matrice di rotazione, che può essere scritta in funzione dell’angolo che dipende dalle coordinate nodali dell’elemento, scritte nel sistema globale.

T 7

La matrice di rigidezza ottenuta è scritta nel sistema di riferimento 6 ,6 locale.

S arctan 8 ,8 S)

(le grandezze nodali sono quindi valori fondamentali per determinare l’angolo

Considerando il nodo, il suo vettore degli spostamenti nodali nel sistema locale è:7Z [ \77 7

Mentre il suo vettore degli spostamenti nel sistema globale è:Z ^])

Indicando con la matrice di rotazione dal sistema globale al sistema locale: cos S sin S 0) _ c, sin S cos S 00 0 1

(essendo nel piano potremmo non considerare la terza riga e la terza colonna, ci rimane comodo mettere per fare direttamente le operazioni tra matrici 3x3 e vettori 3x1)

Vale la seguente relazione: G dd 7

Analogamente, considerando il nodo, il suo vettore delle forze nodali nel sistema locale è:7[ \77 7

Mentre il suo vettore degli spostamenti nel sistema globale è:] ^

Vale la seguente relazione: e G e7Z′7 7Z ) Z )7 7, sostituendo le relazioni tra i vettori spostamento nei vari Sapendo che nel sistema locale sistemi di riferimento e le relazioni tra le forze, si ottiene che:) ′ ) Z → T G T GR g 7)) )R h

Essendo una matrice di rotazione (ortogonale), si ha che .)

La matrice di rotazione scritta nel piano, per due gradi di libertà di traslazione ed uno di rotazione, ha la forma:

La trasposta si ricava molto semplicemente scambiando le righe con le colonne: i cos S

Questa è dunque la matrice di rigidezza 6 x 6 di un elemento trave nel piano. Per calcolarla è necessario sin S) conoscere la caratteristica elastica del materiale e i dati geometrici dell’elemento: (9, rappresentano e

Il fatto che rispetto il sistema di riferimento del materiale nella matrice non troviamo degli 0, non significa che ci sia accoppiamento tra caratteristica flessionale e quella assiale ecc.; la questione è che ora ho un S M 0. sistema di riferimento globale e una possibile forza diretta lungo l’asse x, mi dà sia flessione che sforzo assiale se il telaio è inclinato con

La matrice è simmetrica, di conseguenza, non è necessario calcolarsi 36 elementi.2 .

Esempio applicativo

Esempio: vogliamo studiare una struttura di questo tipo (in realtà al posto della cerniera ci sono incastri) sollecitata con una forza

Ci si calcola inizialmente la sezione e il suo momento di inerzia. Prima cosa rilevante è di valutare se è presente simmetria (al posto del nodo centrale ci sarà un pattino, in quanto la rotazione sarà nulla per via della simmetria, non vi è spostamento assiale, ma sono consentiti solo spostamenti verticali), si discretizza la struttura tramite elementi notevoli e nodi.

Si costruisce poi la ovvero una matrice di connettività, con il nome dell’elemento e i nodi che connette. Si definisce il sistema di riferimento (x, y) globale e si scrivono le coordinate dei nodi.

Dalle connessioni degli elementi, dalle coordinate nodali e dalle caratteristiche elastiche e geometriche di ogni elemento si ricavano le quattro matrici di rigidezza 6 x 6. Per ogni elemento ci si calcola le matrice di rigidezza, prima nel sistema di riferimento locale, poi in quello locale.

Le matrici degli elementi devono essere assemblate nella che avendo 4 matrice di rigidezza della struttura, nodi per 3 g.d.l. per nodo ha dimensioni 12 x 12.

Nelle parti sovrapposte si sommano gli elementi delle matrici che si sovrappongono. Infatti, questi elementi concorrono e si può sfruttare la sovrapposizione degli effetti.

Gradi di libertà non vincolati (non noti a priori):

Gradi di libertà vincolati

Dal punto di vista matriciale si può vedere quello scritto sopra sotto forma matriciale, dove si ha un sistema di 12 equazioni in 12 incognite, dove sono incognite i gradi di libertà non vincolati e le forze nei vincoli (le forze dei gradi di libertà non vincolati sono noti).

(avere una struttura labile porta all’impossibilità di risolvere il problema matematico)

Dal momento in cui i gradi di libertà vincolati valgono 0, posso semplificare il sistema di equazioni cancellando 12 colonne (perché quei termini moltiplicano sempre 0) e 12 righe (perché sono equazioni disaccoppiate rispetto le incognite che voglio risolvere) della matrice globale.

Togliendo le equazioni che non mi servono, arrivo ad un sistema risolutivo di 4 equazioni in 4 incognite; k quindi, se la struttura è meno isostatica, togliendo queste righe e queste colonne, la sottomatrice che ottengo deve essere invertibile. (si nota che è completamente scarico, quindi non entra nel risultato),

Le forze e sono note, in quanto il nodo 2 è libero e non ci sono forze esterne. Risolvendo si possono trovare gli spostamenti dei nodi non vincolati:

(le righe orizzontali che abbiamo scartato sono poi le reazioni vincolari da determinare)

Soluzione generale

Soluzione Generale

Il metodo risolutivo visto con MatLab non è per nulla generale, infatti, molto spesso abbiamo implementato manualmente per ottenere la soluzione (come nel caso della riduzione del problema a 4x4) e se avessi cambiato i vincoli, lo stesso script non sarebbe stato valido.lJ

In generale, se indichiamo con il pedice le forze e gli spostamenti dei nodi soggetti a carichi esterni, e con il pedice le forze e gli spostamenti dei nodi sede di vincolo esterno, si possono riorganizzare i vettori nel seguente modo: ZZm p m pnn Zo o

Anche le righe della matrice di rigidezza possono essere in modo da avere: riarrangiate dZ → p m pm Jn nn noe Zl on oo on

n è quel termine della matrice globale della struttura avente righe e colonne individuate dagli indici (analogamente per le restanti componenti).e dl J Z

Le componenti note sono (forze esterne) e (cedimenti vincolari). Posso sfruttare la seconda riga dallo sistema scritto sopra per ricavare gli spostamenti dei nodi : ,Z & Z → d Zq rho on n oo o l oo o on n

oo deve essere invertibile (determinante diverso da 0), quindi che la struttura non deve essere labile.o Z

Una volta noti gli spostamenti e o si trovano le reazioni vincolari: ZZ & RJ nn n on oRon no ) ovvero che anche la matrice riarrangiata è simmetrica.(o s

Una volta trovati tutti gli spostamenti, è possibile calcolare il vettore delle forze nodali elemento per elemento: (dove sta per elemento) Zo o o

Il vettore così trovato è espresso nel sistema globale, e può essere riportato nel sistema locale per esprimere in modo più esplicito le azioni interne dell’elemento trave:)7 o o , t, u .

Questo risultato può essere rappresentato come diagramma di

Dopo aver scritto la soluzione generale, se cambiassimo qualcosa nella struttura è facile ottenere la soluzione semplicemente cambiando le impostazioni iniziali. Ad esempio, se al posto della cerniera in 4 mettessimo un carrello, significa lasciare liberi i gradi di libertà diversi, quindi cambiare unicamente i vettori e .