Appunti di Elaborazione dei segnali biomedici (EDBS2) – STFT, spettrogramma e Wigner-Ville con MATLAB

La Short-Time Fourier Transform (STFT):

La Short-Time Fourier Transform, abbreviata STFT, è una tecnica di analisi dei

segnali che permette di studiare come varia il contenuto frequenziale di un

segnale nel tempo. È particolarmente utile quando si analizzano segnali non

stazionari, come i segnali EEG, nei quali le componenti frequenziali possono

cambiare nel corso della registrazione.

Per capire perché è necessaria, bisogna partire dalla trasformata di Fourier

classica. La trasformata di Fourier permette di scomporre un segnale nelle sue

componenti sinusoidali, mostrando quali frequenze sono presenti e con quale

ampiezza e fase. Tuttavia, presenta un limite importante: considera il segnale

nella sua interezza e, nella rappresentazione spettrale complessiva, non ci dice

direttamente quando una determinata frequenza si manifesta.

Questo problema è particolarmente evidente nei segnali non stazionari, cioè

nei segnali le cui caratteristiche statistiche o il cui contenuto frequenziale

cambiano nel tempo.

1. Il principio di funzionamento della STFT

L'idea fondamentale è quella di prendere una porzione del segnale, analizzarla

con la trasformata di Fourier, spostare la finestra in avanti e ripetere il

procedimento. In questo modo si ottiene una successione di spettri, ciascuno

relativo a un intervallo temporale specifico.

La STFT produce valori complessi, che contengono informazioni sia

sull'ampiezza sia sulla fase delle componenti frequenziali.

Per visualizzare come varia l'energia del segnale nel tempo e in frequenza, si

utilizza comunemente lo spettrogramma, definito come il modulo quadro della

STFT: 2

| | Il modulo quadro permette di rappresentare la potenza

( ) ( )

=

S t , f X t , f

spettrale locale, secondo la normalizzazione adottata.

Lo spettrogramma è un grafico bidimensionale:

sull'asse orizzontale troviamo il tempo;

 sull'asse verticale troviamo la frequenza;

 il colore rappresenta l'intensità della componente frequenziale.



In genere, i colori più intensi indicano una maggiore potenza, mentre quelli più

scuri indicano una potenza minore.

Per esempio, se un segnale contiene una sinusoide stabile a 10 Hz e una

seconda a 40 Hz, nello spettrogramma possiamo osservare due bande

orizzontali alle rispettive frequenze. Se invece la frequenza aumenta

progressivamente nel tempo, come accade in un segnale chirp, ci aspettiamo

una banda inclinata verso l'alto.

Lo spettrogramma ci consente quindi di individuare non soltanto quali

frequenze sono presenti, ma anche in quali intervalli temporali diventano più o

meno rilevanti.

Il limite fondamentale: il compromesso tra tempo e frequenza

Il limite principale della STFT è il compromesso tra risoluzione temporale e

risoluzione frequenziale. Questo compromesso deriva dalla lunghezza della

finestra utilizzata.

La risoluzione temporale indica quanto precisamente riusciamo a localizzare un

evento nel tempo. La risoluzione frequenziale indica quanto bene riusciamo a

distinguere componenti con frequenze vicine.

Queste due risoluzioni non possono essere migliorate contemporaneamente

semplicemente scegliendo una finestra diversa.

Finestra corta Se utilizziamo una finestra corta, analizziamo un intervallo



temporale molto limitato. Il vantaggio è che possiamo localizzare meglio eventi

rapidi, come un transiente o una variazione improvvisa dell'attività EEG. Lo

svantaggio è che abbiamo meno campioni per caratterizzare le frequenze: le

componenti tendono quindi a essere più larghe nello spettro e risu