Appunti di Elaborazione dei segnali biomedici 2 (EDBS2) – Trasformata Wavelet (CWT e DWT), banchi di filtri e algoritmi

Trasformata Wavelet continua (CWT):

1. Introduzione e principio di funzionamento

La Continuous Wavelet Transform (CWT), o trasformata Wavelet continua, è una

tecnica di analisi tempo-frequenza utilizzata per studiare i segnali non

stazionari, cioè segnali le cui caratteristiche frequenziali cambiano nel tempo. È

particolarmente utile nell'elaborazione dei segnali biomedici, come EEG, EMG e

potenziali evocati, nei quali è importante individuare non soltanto quali

componenti frequenziali siano presenti, ma anche quando compaiano.

La trasformata di Fourier permette di individuare le frequenze presenti in un

segnale, ma non fornisce informazioni precise su quando queste compaiano. La

Short-Time Fourier Transform (STFT) affronta questo problema analizzando il

segnale attraverso finestre temporali, ma presenta un limite: la risoluzione

temporale e quella frequenziale dipendono dalla dimensione della finestra, che

rimane fissa durante l'analisi.

La trasformata Wavelet, invece, utilizza una funzione chiamata wavelet madre,

cioè una piccola onda localizzata nel tempo, che viene modificata attraverso

due parametri: la scala e la traslazione. In questo modo è possibile analizzare il

segnale a differenti scale temporali, ottenendo una risoluzione adattiva.

2. Scala, traslazione e coefficienti Wavelet

La CWT si basa sul confronto tra il segnale da analizzare e copie della wavelet

madre opportunamente scalate e traslate.

La scala, indicata con a, determina quanto la wavelet viene dilatata o

compressa:

Se a aumenta, la wavelet diventa più larga e lenta e risulta sensibile alle

 componenti a frequenza più bassa.

Se a diminuisce, la wavelet diventa più stretta e rapida e risulta sensibile

 alle componenti a frequenza più alta.

La traslazione, indicata con b, determina invece la posizione temporale in cui la

wavelet viene confrontata con il segnale. Facendo scorrere la wavelet lungo il

segnale è quindi possibile individuare gli istanti in cui una determinata

componente è maggiormente presente.

La trasformata può essere espressa matematicamente come:

+∞ ( )

−b

1 t

∫ ¿

( )= ( )

W a , b x t ψ dt

√

x | | a

a −∞

Dove x(t) è il segnale da analizzare; \(\psi(t)\) è la wavelet madre; \(a\) è il

parametro di scala; \(b\) è il parametro di traslazione; \(\psi^*\) indica il

complesso coniugato della wavelet; il fattore \(1/\sqrt{|a|}\) serve a

normalizzare l'energia delle wavelet scalate.

Il risultato è una serie di coefficienti Wavelet, che quantificano quanto il

segnale assomigli alla wavelet utilizzata in una determinata posizione

temporale e a una determinata scala. Coefficienti di maggiore modulo indicano

generalmente una maggiore corrispondenza tra la forma d'onda e il segnale in

quel punto.

La wavelet madre deve soddisfare la condizione di ammissibilità, che in

particolare implica che la sua media sia nulla:

+∞

∫ ( )

ψ t dt=0

−∞

Questa proprietà significa che la wavelet presenta oscillazioni positive e

negative che si compensano, consentendo di evidenziare variazioni e

componenti locali del segnale.

3. Interpretazione della rappresentazione tempo-scala

I coefficienti della CWT possono essere visualizzati mediante una

rappresentazione grafica in cui un asse corrisponde al tempo, un altro alla scala

e il colore rappresenta il valore o il modulo dei coefficienti.

È importante sottolineare che la CWT non rappresenta direttamente la

frequenza sull'asse verticale, come avviene normalmente nello spettrogramma

della STFT. Rappresenta la scala, che è inversamente correlata alla frequenza:

scale grandi corrispondono a frequenze più basse, mentre scale piccole

corrispondono a frequenze più alte.

Il legame preciso tra scala e frequenza dipende dalla wavelet scelta e dalla

frequenza di campionamento. Di conseguenza, non è possibile ricavare

direttamente la frequenza osservando soltanto il valore numerico della scala

senza una conversione appropriata.

Un altro aspetto importante è che l'intensità dei coefficienti non coincide

necessariamente con l'ampiezza della componente originale. Il valore dipende

anche dalla scala, dalla forma della wavelet e dal grado di somiglianza tra la

wavelet e il segnale. Per questo motivo, nell'interpretazione della CWT

interessa soprattutto osservare dove e a quali scale si concentrano i coefficienti

più intensi, piuttosto che confrontarne direttamente i valori assoluti tra scale

differenti.

La CWT offre quindi una rappresentazione dettagliata dell'evoluzione temporale

delle componenti del segnale, ma non elimina il principio di indeterminazione

tempo-frequenza: anche in questo caso esiste un compromesso tra risoluzione

temporale e frequenziale, sebbene la risoluzione sia adattiva.

Dalla trasformata Wavelet continua alla trasformata Wavelet discreta

(DWT)

Un limite della trasformata Wavelet continua è che utilizza valori continui dei

parametri di scala e traslazione, generando una grande quantità di coefficienti.

Questa caratteristica permett