Analisi multivariata, PCA e ICA per segnali biomedici – Teoria e Meta-Codice MATLAB

Introduzione all’analisi multivariata

L’analisi multivariata comprende un insieme di metodi matematici e statistici utilizzati per

studiare contemporaneamente più variabili, allo scopo di individuare relazioni tra esse,

descrivere la struttura dei dati e ricavare le informazioni più significative.

Nell’elaborazione dei segnali biomedici, infatti, è frequente acquisire contemporaneamente

numerosi segnali o canali. Per esempio, nell’elettroencefalogramma (EEG) si registrano le

attività elettriche cerebrali attraverso più elettrodi; ogni elettrodo fornisce un segnale che varia

nel tempo. Analogamente, nell’elettromiogramma (EMG) o in altri sistemi di monitoraggio si

possono acquisire più misure contemporaneamente.

Questi segnali non sono necessariamente indipendenti: possono essere correlati tra loro

perché descrivono fenomeni fisiologici comuni, perché condividono componenti del segnale

oppure perché sono influenzati da artefatti e rumore. Analizzare ogni canale separatamente

può quindi far perdere informazioni importanti sulle relazioni tra i segnali.

L’analisi multivariata permette di studiare proprio queste relazioni, considerando i dati nel loro

insieme. Tra i suoi obiettivi principali troviamo:

Riduzione della dimensionalità: rappresentare i dati mediante un numero inferiore di

 variabili, conservando la maggior parte dell’informazione rilevante. Un metodo

fondamentale è la PCA.

Individuazione delle relazioni tra variabili: capire quali segnali presentano andamenti

 simili e quali informazioni condividono.

Estrazione delle caratteristiche più significative: trasformare i dati originali in nuove

 variabili che descrivono meglio la loro struttura.

Separazione delle sorgenti: cercare di ricostruire le sorgenti indipendenti che hanno

 contribuito a generare i segnali misurati. A questo scopo si utilizza, per esempio, l’ICA

(Independent Component Analysis).

È importante distinguere questi ultimi due obiettivi: la PCA riduce la dimensionalità e

decorrela le variabili trasformate, mentre l’ICA cerca di separare statisticamente sorgenti

indipendenti. Sono quindi metodi collegati, ma non equivalenti.

2. Come rappresentare i dati multivariati

Per applicare questi metodi, i dati vengono organizzati generalmente in una matrice.

Supponiamo di acquisire segnali, ciascuno costituito da campioni temporali. Possiamo

rappresentarli attraverso la matrice di dimensioni × .

Per esempio, se registriamo quattro canali EEG per mille campioni, la matrice avrà dimensioni

Ogni colonna descriverà i valori registrati dai quattro canali in un determinato istante.

4 × 1000.

Questa rappresentazione consente di applicare operazioni matriciali per studiare

contemporaneamente tutti i segnali.

3. I due approcci principali: PCA e ICA

Due tecniche importanti nell’analisi multivariata sono la PCA e l’ICA, che rispondono a

esigenze di erenti.

Analisi delle componenti principali (PCA):

La PCA è una tecnica statistica di trasformazione lineare che permette di ridurre il numero di

variabili necessarie per descrivere un insieme di dati, conservando quanto più possibile la loro

variabilità.

Il principio di base è che le variabili originali possono essere correlate tra loro e contenere

informazioni parzialmente ridondanti. Invece di utilizzare direttamente tutte le variabili, la PCA

costruisce nuove variabili, dette componenti principali, che riassumono progressivamente

l’informazione contenuta nei dati.

Ogni componente principale è una combinazione lineare delle variabili originali. Le

componenti sono tra loro ortogonali e vengono ordinate in modo che la prima componente

principale, PC1, spieghi la massima varianza possibile; la seconda componente, PC2, spieghi

la massima varianza residua tra le