Appunti di calcolo numerico

Errore assoluto

Errore assoluto E_a = |x - x̄| dipende dall'ordine di grandezza.

Errore relativo E_R = |x - x̄| |x| non dipende dall'ordine di grandezza.

x = ± 0,a₁a₂a₃...a_m ... * β^b a₁ ≠ 0 β = base.

Numero in virgola mobile normalizzata.

a₁a₂a₃...a_mm ... = Mantissa a₁ ≠ 0.

β = base di numerazione.

b = Caratteristica (esponente della base).

Dati x e x̄ in V.M.N (virgola mobile normalizzato).

|x - x̄||x| ≤ 10^-k, x ≠ 0.

x̄ approssima x con K cifre significative. (attendibili non esatte)

Norma vettori

p=1   ||x||₁ =   ∑ |x_i| Norma 1 i=1.

p=2   ||x||₂ = (∑ x_i²)^1/p Norma 2   ||x||_p = [∑ |x_i|²]^1/p.

p=∞   ||x||_∞ = max |x_i| Norma inf.   p > 1.

L'errore relativo e assoluto tra vettori si calcola usando la stessa norma.

Norme matrici

p=1   ||A||₁ = sup   ||Ax||₁ =   max    ∑ |a_ij|   Il massimo delle somme.

x∈R^m   ||x||₁   j=1,...,n   i=1,...,m dei valori assoluti degli.

x≠0       elementi pesi per colonna.

p=2   ||A||₂ = sup   ||Ax||₂ =   max λ_i (A^TA).

x∈R^m   ||x||₂   i=1,...,m x≠0      

p=∞   ||A||_∞ = sup   ||Ax||_∞ =   max    ∑ |a_ij|   Il massimo delle somme.

x∈R^m   ||x||_∞   i=1,...,m j=1,...,n dei valori assoluti degli.

x≠0       elementi pesi per riga.

Norma Frobenius   ||A||_F = √( ∑ ∑   a_ij² ) i=1,...,m j=1,...,n.

Errore assoluto e norme

Errore assoluto E_a = |x - x| dipende dall'ordine di grandezza.

Errore relativo E_R = ^{|x - x|}/_|x| non dipende dall'ordine di grandezza.

X = ± 0.a₁a₂a₃...a_m... . β^b a₁ ≠ 0   β = base.

Numero in virgola mobile normalizzata.

a₁a₂a₃...a_m... = Mantissa   a₁ ≠ 0.

β = base di numerazione.

b = Caratteristica (esponente della base).

Dati x e x in V.M.N (virgola mobile normalizzata).

|x - x| / |x| ≤ 10^-k, x ≠ 0.

x approssima x con K cifre significative. (attendibili non esatte)

Norme vettori

p=1    ||x||₁ = ∑_i=1ⁿ |xi| Norma 1.

p=2    ||x||₂ = ( ∑_i=1ⁿ |xi|² )^1/p Norma 2.

p=∞    ||x||_∞ = max_i=1...n |xi| Norma inf. P≥1        ||x||_p = ( ∑_i=1ⁿ |xi|^p )^1/p.

L'errore relativo e assoluto tra vettori si calcola usando la stessa norma.

Norme matrici

p=1   ||A||₁ = sup_x∈R^m ||Ax||₁ / ||x||₁ = max_j=1...n ∑_i=1^m |a_ij|        Il massimo delle somme dei valori assoluti degli elementi pesi per colonna.

p=2   ||A||₂ = sup_x∈R^m ||Ax||₂ / ||x||₂ = √max_i=1...n λ_i (A^TA).

p=∞   ||A||_∞ = sup_x∈R^m ||Ax||_∞ / ||x||_∞ = max_i=1...m ∑_j=1ⁿ |a_ij|        Il massimo delle somme dei valori assoluti degli elementi pesi per righe.

Norma Frobenius ||A||_F = √(∑_i=1^m ∑_j=1ⁿ a_ij²).

Definizione di norma vettore

Def (Norma vettore).

Una norma vettoriale è una funzione ||·|| che associa ad un vettore x ∈ ℝⁿ un numero reale ||x|| t.c. ||x|| ≥ 0      ||x|| = 0 ⇔ x = 0̅.