Appunti di Analisi matematica I

Ingegneria Informatica

Appunti di

ANALISI I

A cura di Baldi F. e Sangeniti C.

2025-2026

Indice

1 Insiemi 7

1.1 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Ordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Proprietà degli ordinamenti . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Insieme numerabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Insieme limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Maggiorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 Minorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Funzioni 9

2.1 Suriettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Iniettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Biettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Funzioni pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Funzioni crescenti e decrescenti . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Grafico di f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8.1 Continuità di . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

sin(x)

2.8.2 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8.3 Teorema della permanenza del segno . . . . . . . . . 16

2.8.4 Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8.5 Teorema dei valori intermedi . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8.6 Teorema continuità funzione inversa . . . . . . . . . . 21

2.8.7 Teorema continuità funzione composta . . . . . . . . 21

2.8.8 Teorema della monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8.9 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Numeri 24

3.1 Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Operazioni sui numeri naturali . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Divisione fra polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.3 Principio d’identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Proprietà degli interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1

3.4.1 Proprietà dei razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.3 Periodici Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

=

3.4.4 Perché ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

0.9 = 1

3.4.5 Progressione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 35

√ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.6 Perché ∈

2 / Q

3.5 Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Calcolo cifre decimali di . . . . . . . . . . . . . . . 39

π

3.6 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6.1 Teorema fondamentale dell’algebra . . . . . . . . . . 44

3.6.2 Forma trigonometrica di . . . . . . . . . . . . . . . 45

C

3.6.3 Potenze dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . 46

3.6.4 Radici di un numero complesso . . . . . . . . . . . . 47

3.6.5 Disequazioni in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

C

3.6.6 Forma esponenziale di . . . . . . . . . . . . . . . . 49

C

4 Disuguaglianze particolari 50

4.1 Disuguaglianza di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Disuguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.1 Disuguaglianza triangolare inversa . . . . . . . . . . 51

4.3 Disuguaglianza delle medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Minimo e massimo 54

5.1 Definizione di minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Definizione di massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Minimo e massimo relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Massimo Comun Divisore 56

6.1 Algoritmo di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2 Algoritmo di Karatsuba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Estremo superiore e inferiore 59

7.1 Definizione di estremo superiore . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Definizione di estremo inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Radicali-Potenze-Logaritmi 62

8.1 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.1.1 Trovare radice n-esima di un numero . . . . . . . . . 62

8.1.2 Algoritmo di Erone per trovare radice n-esima . . . . 63

8.2 Formula di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.3 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2

8.4 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4.1 Proprietà dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9 Goniometria 68

9.1 Unità di misura degli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.1.1 Gradi sessagesimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.1.2 Radianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.2 La circonferenza goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.2.1 Funzioni goniometriche fondamentali . . . . . . . . . 68

9.3 L’identità fondamentale della goniometria . . . . . . . . . . 69

9.4 Funzione goniometriche opposte . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.5 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.6 Formule di duplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.7 Formule di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.8 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Limiti 72

10.1 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2 Cambio di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.3 Gerarchia degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11 Limite di una successione 75

11.1 Teorema dell’unicità del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.2 Teorema algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.3 Teorema permanenza segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.4 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.5 Limite di una successione decrescente o crescente . . . . . . 78

11.6 Successioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.6.1 Principio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.6.2 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.7 Infinitesimi per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12 Limite fra polinomi 81

12.1 Caso infinitesimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

12.2 Caso divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2

13 Equazioni fondamentali delle rette in 84

R

13.1 Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

13.2 Coefficiente angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

14 Derivate 85

14.1 Definizione formale (calcolo differenziale) . . . . . . . . . . . 85

3

14.2 Definizione derivata con successioni . . . . . . . . . . . . . . 86

14.3 Notazioni comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

14.4 Algebra delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

14.5 Derivata delle funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . 88

14.6 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

14.6.1 Derivata seconda della funzione inversa . . . . . . . . 89

14.7 Derivate notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

14.8 Continuità delle funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . 94

14.9 Derivata funzioni a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

14.10 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

14.11 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

14.12 Teorema di Lagrange (o del valor medio) . . . . . . . . . . . 98

14.12.1 Conseguenze del teorema di Lagrange . . . . . . . . . 100

14.13 Teorema di de l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

14.14 Formula di Taylor e resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . 102

14.14.1 Alcuni sviluppi di Taylor-Mac Laurin . . . . . . . . . 104

14.14.2 Resto di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.14.3 Risolvere limiti con Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.15 Ricerca punti di massimo e di minimo . . . . . . . . . . . . 108

Applicazione di Taylor allo studio dei max e min locali108

14.15.1

14.16 Punti di flesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

14.17 Metodo delle tangenti di Newton . . . . . . . . . . . . . . . 110

14.18 Convessità e concavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

15 Integrali 113

15.1 Partizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.1.1 Ampiezza massima della partizione . . . . . . . . . . 113

15.2 Somma di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.2.1 Somma inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

15.2.2 Somma superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

15.2.3 Confronto fra partizioni . . . . . . . . . . . . . . . . 114

15.3 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

15.4 Algebra degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

15.5 Primo teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . . 116

15.6 Secondo teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . 117

15.7 Primitiva di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15.8 Funzione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

15.9 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . 118

15.10 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

15.11 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

15.12 Integrale di funzioni pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . 121

4

15.13 Integrali di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

15.13.1 Caso 1: gr(A) gr(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

≥

15.13.2 Caso 2: gr(A) gr(B) . . . . . . . . . . . . 124

≥

< ∆ 0

15.13.3 Caso 3: gr(A) gr(B) . . . . . . . . . . . . 127

< ∆ < 0

15.14 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.14.1 Metodo dei rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

15.14.2 Metodo della tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

15.15 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

15.15.1 Teorema del confronto per gli integrali . . . . . . . . 135

15.15.2 Teorema del confronto asintotico . . . . . . . . . . . 137

15.15.3 Integrali impropri con di segno qualsiasi . . . . . . 138

f

15.16 Derivata di un integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15.17 Somma di Riemann angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

16 Serie numeriche 141

16.1 Algebra delle serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

16.2 Condizione necessaria per convergenza . . . . . . . . . . . . 142

16.3 Criterio dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

16.4 Criterio del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

16.4.1 Criterio del confronto (versione asintotica) . . . . . . 143

16.5 Criterio del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

16.6 Criterio della radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.7 Criterio di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.8 Serie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.8.1 Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

16.8.2 Serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . . 145

16.8.3 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

16.8.4 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

16.9 Serie di integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

16.10 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.10.1 Raggio di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16.10.2 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

16.10.3 Teorema di derivazione per serie di potenze . . . . . 150

16.10.4 Teorema di integrazione per serie di potenze . . . . . 151

16.11 Serie a termini negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16.12 Serie a termini di segno qualunque . . . . . . . . . . . . . . 151

16.12.1 Criterio di assoluta convergenza . . . . . . . . . . . . 151

16.12.2 Criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

17 Equazioni differenziali 154

17.1 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5

17.1.1 Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . . . . . 155

17.1.2 Equazioni lineari NON omogenee . . . . . . . . . . . 155

17.2 Tecniche risolutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

17.2.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . 156

17.2.2 Equazioni lineari di ordine n omogenee . . . . . . . . 158

17.2.3 Equazioni lineari di primo ordine NON omogenee . . 158

17.2.4 Equazioni lineari di ordine n NON omogenee . . . . . 159

17.3 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

17.3.1 Baffo di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

17.4 Riduzione a sistema del primo ordine . . . . . . . . . . . . . 166

6

1 Insiemi

Si indicano con lettere come nell’esempio:

maiuscole, { }

A = a , a , . . .

1 2

1.1 Simbologia

Gli insiemi utilizzano una simbologia specifica:

• : inclusione è sottoinsieme di

⊆ →

A B A B

• : insieme vuoto;

∅

• : appartenenza;

∈

a A

1

• : appartenenza;

∈

b / A non

1

• : intersezione elementi comuni ad A e B;

∩ →

A B

• : unione elementi di A + elementi di B.

∪ →

A B

• : cardinalità numero elementi di A

→

#A

ESEMPIO

Consideriamo l’insieme: { ∈ | ≤ ≤ }

[0; 1] = x 0 x 1

R

Possiamo notare che: 1

• ∈ [0; 1]

2

• ∈

2 / [0; 1]

1.2 Prodotto cartesiano di due insiemi

con

× {(a,b) ∈ ∧ ∈ }

A A = a A b A

Definizione: 1 2 1 2

In altre parole, il prodotto cartesiano di due insiemi è l’insieme contenente

tutte le coppie ordinate dei valori del primo insieme e del secondo.

Notare che perché sono coppie ordinate. Quindi non bisogna

̸

(a,b) = (b,a),

confondere con la coppia (non ordinata) che è scrivibile anche

{a,b},

(a,b)

come poiché non conta l’ordine con cui si elencano gli elementi di un

{b,a},

insieme. 7

1.3 Ordinamento

Dato un insieme diremo che è una relazione d’ordine

A, r

Definizione:

(oppure un ordinamento) in e la indicheremo col simbolo (oppure

⪰

A x y

, se verifica le proprietà:

∗

⪯

y x)

• riflessiva: ∀x ∈ ⪯

A : x x

• antisimmetrica: ∀x ∈ ∀y ∈ ⪯ ∧ ⪯ ⇐⇒

A, A : (x y) (y x) x = y

• transitiva: ∀x ∈ ∀y ∈ ∀z ∈ ⪯ ∧ ⪯ ⪯

A, A, A : (x y) (y z) =⇒ x z

Un insieme in cui sia stata introdotta una relazione d’ordine si dirà ordinato.

1.3.1 Proprietà degli ordinamenti n + k <m + k

con e

∈ ∈

n < m n,m k =⇒

N N · ·

n k <m k

1.4 Insieme numerabile

Un insieme è numerabile se biettiva

∃f →

A : A

Definizione: N

Posso dire con certezza quale posizione occupa un determinato elemento

dell’insieme all’interno dell’insieme dei numeri naturali.

A,

1.5 Insieme limitato

Un insieme è limitato se ∃k ∈ | |x| ≤ ∀x ∈

A k A.

Definizione: R

• è limitato dall’alto se ∃k ∈ | ≤ ∀x ∈

A x k A;

R

• è limitato dal basso se ∃k ∈ | ≥ ∀x ∈

A x k A

R

1.5.1 Maggiorante

è maggiorante per se ≤ ∀x ∈

α A x α A

Definizione:

I maggioranti sono propri degli insiemi limitati superiormente.

1.5.2 Minorante

è minorante per se ≥ ∀x ∈

β A x β A

Definizione:

I minoranti sono propri degli insiemi limitati inferiormente.

∗ x y, y x

si legga: precede oppure, segue 8

2 Funzioni

Dato un insieme chiamato dominio(D), e un insieme

A, B,

Definizione:

chiamato codominio(C), una funzione è una relazione che associa

∀a ∈ A

uno e un solo ∈

b B.

L’insieme di tutte le relazionate ad almeno un elemento di è detto

∈

b B A

immagine. { ∈ ∃a ∈ | } → ⊆

b B, A f (a) = b Im(f ) B

Definizione di immagine:

ESEMPIO • f (Rosso) = #

• f (Blu) = #

• f (Giallo) =?

• f (V erde) =∼

2.1 Suriettività → ∀x ∈ ∃a ∈ |

Im(f ) = B = f (a) = x

Definizione: C C, D

In altre parole, significa che ogni elemento del codominio deve essere in rela-

zione con almeno un elemento del dominio.

In realtà una funzione è sempre suriettiva, perché basta ristringere il suo

codominio a soltanto i valori della sua immagine.

2.2 Iniettività

∀a ∈ ∧ ̸ ̸

,a A a = a =⇒ f (a ) = f (a )

Definizione: 1 2 1 2 1 2

In altre parole, ogni valore dell’immagine di una funzione deve essere in

relazione con uno e un solo elemento del dominio.

2.3 Biettività (o bigettività)

Funzione sia suriettiva che iniettiva, perciò è invertibile.

Definizione: Data biettiva, allora

→ ∃g →

f : :

Definizione f(x) inversa: D C C D.

Da notare inoltre che ∀a ∈

g(f (x)