Appunti di Analisi matematica 2

Funzioni vettoriali

20.02-3023 funzioni vettorali:valorafi i conde,- 1.m -(f17,fz(t),....faff)).1 f(t)- =fi: XD-, 1,2,...,=cor m.=R DASSO: ,qx)(aa 1,92, .= . .(b,be, ..,ka)b = .di-d:)*a b)- =Concesso nea ·to D.di accumulazrONE PERpunto 1/A(y)11 Lil -. . . . .=DeItaly (t) 1s e f(t)0 ·= =-↑ roposizione:lim A(i) xfi(t)2* 2.== =Testo CesDire: 2) (11)r/11)(A(t) .1 tro0 ovvero 0== - -- =QuiNoi:/Diff) Xi02.1 1,2....= =- tilt)CHEEQVIVAL b :A :=DSirtoes; of to y1ff) Adolcontinuosrace sein =Se oedvale punto 0.per tutti continua= inc iDeSia e INSEVALLounSarce rela) Itricurvei n continua.unafunzione : sin *L'insieme:=ja) tell camesosteavooetcurva.siCURVA2,3 N ELLO- SPAZIO.m = 5/1)Ix() z/t)1,+cI31()x += = +Equazion parametriche:I (t)xx = Tel.E=.ESEMA/0 8 yy tei.10+=· (1,2,V-)(xa,y0,z) yf =· = -2() (z0 v3)v2t)1,(y+)1(x V + ++++= e~I infinisunco. En en ow s a l voVitd oX +=E & Io D0Ilo: e(f).See (a)re t t a chesegment v aunottenau non asmauna d aM cast14 sinR 51 +=tefoizint, a ss consen/x centrattRcast R.= RAGNO -zasinty = .2sitR2cosy212 + += = ·Se -yfosse stata:Rarints chee) lascendente. cremona)spiraleaunasarebbestatac ur vaha-=

Curve nello spazio

21-02-2023 reestrateDEF:Una tret br(t) rff)presiarces e a l c ecurva se,si == ieriVA.2Una (0;bI m(b).Chiusa x1(a)Se,PRESOcurva ancesi = = =fai b),Se faiby serieinvertiva curva e1 c a u s a .allorasales u oeUna 5seplanadice piano.curvas i a inEstenUna Jansen,e setteSENCICEE chiusecurva aANA, c u r veOperazione Fersemplice:curvaunaa !Si positivamenteSo mentata earce -Effeltrova tentesinistra↳ap a r t e ainter nas idel nostro percorso. -xf RarI Rcos Ix = = sinfReinf yy - A= =I X- III -DEF: I f(t),terofSir 1(): 1R.-continai n += -y .Tale detta areSANA.e Curvacurva I↓ fx an= ↑M If(t) Xy -=Def: to my that HollUna ofee destable sein minindesta -cravaTale m'Hula n te corresponsea *(E).Se -e') e ) eky continua, arcresseace curvasi ches e e laUna ed () vtai lsete classe.1re g o l a rese 01 eec u r va e =1(t)Se xf)1 z(t)k.y(t)= ++= fx/topflexfale...1(x ffa)) =+ -Arvisor At:per 1xte fozfeet zfo)xfal=x Ital- ... + --=1I x(i)x = effoyxfletto)E-CE)y(t)y -=z(+)2 = (t)If He del1, ArezroneINAUCAm o av l o a CURVA.= In(t)se Quinarmorchiamo 5() f)va.al con = v(t)Ecrct CrLNORCA:Rast1+sin+5 ↑erR.at11) COSANSE+==itEhat eCURVACARESIANA: -fie u(t).11 11 f(t)1 1R+ x= -=(f) f(x)I1 +=1()) ruof/)21 += pen! =z1(f) 4I42 += +I 12x =f2y = 2+i 3+ 2524 +=(2) 4944 4/4 0+)= += recorreQuivor = non0DEf: siUna des no alregolarec u r va e finitoat r a t t i unina suddivisese Ein REGOLAREIdel qualisottointervalli ciascunoEsEraro: IItie ietz -1.e = IDf:Unione R E G U h r.cur vea(=(),+c(aib) in(b) r2/1(t) = ==2(),te(b,Carsio partnersoor ·sa=(f),fe I FUNZIONE *EfC), Zee e_gel)=/y()rovel=9:Sono -e q u i va ss e=() (y(x))==Quivor =9/2).Nel fqf) ZV=o cavecaso appostesparai nve c ee aQuivor:(f) z()1.x(+)= y(t)I& + += z/y())E.(y(z))==(2) y(y/2))1== ++ =(0;25)-(1) sintReati +=y(2):we, wo1 circolt)y(t) Ze 4/peraw Yo; 2 = maredel= = Rein(wI)-(2) ra/w)i I+=Abbiamo cambiato del CRCUltre,quinor pancio motoil=() cosfur)I.rwkwsinwri +-= EnzaRw1/2)) Rw V= == fl WFATE=(2) g== gf).re))det ff.gr) ==Curveopposie:-(t) + +RsintRc I=y()1 (0;2x)2-225 -= =q(() 1 =0-= (y())=(r) 2)(25 (2x 2)i 2)Irim(2x2a= == = -- + =-= zx)/0;2-Rar21-Ren[Ino investito PercoENZADELLAVERSOil C U RVA .ar

Lunghezza e arco

22-02-2023 ↑↑ISm1 -2: - 2↑↑↑ LUNCUTEZZAEUREMA: A fraisA ↳PerEsiffy e maianche esretea lintegralel econsingapoiche a l consinUE.funzionioro che e2() te(0;25!ra+1 rim15 ck+ += ARCO8r(2()) +2 c2 ELICA=/ arechdt=of= aarch2 ch2a +O 25R.AAto*** AVRESSECIRCONFERENZAUNACURUA SANACARTE1() x1 f() f(x) ch( 1I 1,1)= = -+ == ↑(f)2() 8h(f)f(t)21= + = fachtbadd (sh()(a safd 2sh(f) -↳- e+ = == = = ·2(b)amb)/a; actebI: Sit(f) ·(t)s(I) de= OESELS(a) 0 I(a)= ·S(b) h= seriese il dia casse(1(t)si(t) v(t) 0.-= =haNoto quinaresi) sefo:)L'INVERSA:=4s).strettamenteascente,che canIs=si): tegyss.vSii =-INVERSEparametro DARCO.S: LUNCHEZZACURVilnetasciSSA-(s) m(X(s)).= s/se(s)==I = 1== 1V()Is dy:ef) elementare.uncutezzad'arco==In de1/4): afReast! mint 1 +/(f)) 3 c+=Aoswayfid-mcd=4.f cartelo;earan,s(t) a 2 0-+==(X(s))-(s) -sed0;2aea=( rin/)e/al1) ca+= +==el) etsintIe-tast; -St=Def. achssE(((0,2))1(s) WAVATURACURVAURA -SCHASSCALARE: CURVATURA SCALAre=(1(s)esk(s) = dSI Er =1; Ii krs)= ==I. 0Pro:Sew/SS (m/s)) Xs. w.m 02aE = = =Arm:/1 c2.u . == ng= c22,2 n,+ =ng) dcdu, =+M, 0= =↓SdsW,.ui Nz.u M,.ni 0+ =+1.1 0=Def: 11.64 ik(s)A/s): = = .us IKrs)*e ANCIPAE. -Morteseta d& -NotdisScurTURE:- piano ANCIPALE* * (1)↑- tangenteversorei versorenormaleprincipale= (ovvero )5 m5 vetroreNORMAnx= =Da e ecré acur vacostantechenere prana.se5 88k(s) ik(s).N(s)= =dSegs) Ersy: curvarutara c ro=Curvaturale normale parametro qualsiasicondeidsk (x(t)(d V(td= = =IS4s* c5 itve== =UrtofT(t)k(f) = vit)vit =bacr((t) n(x)/f()) w()k(t)v/)= =decomposizionea ccelerazione: 2)1(te.(f) *f)-(f) costante.1 e=(f) (()).f(x) v(x).f(t)= =v(x).e()vf).e()="(t) =+= Ataff) Art.VI7).ANG.A.- k(f)(t).x(t).a(t)[() += attena. alapertho suenelle componentiavviso a y)*a/)=a. =() +

Curva cartesiana e funzioni

27-02-2023 ee/fuff)net)) b).alt)= =Quera()) ky).m=areorok() = V3(f) ANANOAlCaso COLE: 1Iy(t)=x(ti=(t) = + y(x)(xyyyy)x(y()y-()=x()i=(1) =in k= -=+ = xfyff0() (f)i (1)=* 1yx +=Quror(efrel=vyf xy)-xylgbacu ky) - yf2/x +CURVACARTESIANA:1X()x/f)x(y) 1 0=== f(t)f()y"(t)f(t)yyyy() === f"(t)k(f) = fryzzin +PARABO: Ellisse: I ↓tebx anti-et+ Iy ax c telojust+=f(x) bxa x c+ += -f(x) b2ax= +f"(t) 2a= Pa a-2a --2a b+6otmx-2ax 0 xk() = == b)4 fax +- facast)bcart)-animtfbnint)k(f) -= =fab cafmint e=(ab bot?fanint -Funzioni pri variabilialfi- ()e,DRYx-f(x) (x,x2,....xx)1 =-f() an,x .....xn)=(n 2,3)Es. = ((x,y)hi-bf:R 1)2y)R yxf(x,y)10g:b +xx =- - += =f(x,y) 9kiy): h(x,y)ex Ey yzx2siny 1= --=rR" (0,0,0)7108V: 2 =kV(x,y,z) = y2 z2x2 + +Definizioni:fiD Sorce erE,f)) seatareR_Dei? lnsiegraficoSe f(x,y)of s u p e r a c l e DEQUAZONEchiama CASESTINAar s icatfico 2i 2= =Insiemedi nello COMEEWe ·CARTINEcc_cef(x) = f(x,y)ArCURVE WVELLO C1 2, == Ar4 CURVE UVELOb, ...=Provo ziastenco x.arxer((x r.com/rx)30(s): o-= =RIEEc(R.E = br(10)e CE.Interve↳o sean Br(10) EE 2Estero* Seasne eSe frontier t.esterno,o i n te r n e alloraneénon di:= E.i n te r asinsiemep u n t i. OE:= ep u n t i frontiest.ali n s i e m. E:= arE.EVOE, CHIUSURA.Punti E:accumunzionep e roe p e re brio earpuntiaccumulazione ogni contienep u n to se 1 0.=*. di ylera fordxtriguesEx&Definizioni:Un ecr"insieme dice:siE=seAperto. E ApertoCHIUSO SE. Re caro) qualcheper 10.seLintato· 1 e aventep e rogni estrem, punticonnesso coppia ine una vacontinuai n 2per curyx,se·fisif(x,y) yzx21= - - 1)((x,y)(x+3: y2= =1 20233- -fi- eit,Sia aaccumulazionep o r punto anEnDEF:Af(E)=2equivalent:definizioni 1)- -·. eb13m/xu) 2)k20 b/f(x) E=n· =-==f) a+=NISCE:deSifrofr/xe10 0f()x0)(x m+=r=x -Unicitàdel limse (xu,y0)Fo+y =hyo ⑧↳a contina ef unzione i ne to -f() 4(au)se = feSE eYe Dellorva l continuae Ix oy4f(x,y) (0,0))R2x k,y) (0,0)0== =2 yzx + (3)porcie 1ge·Eyz-o1 la-(0,0) Quiwor:f(x,y) 0= bre),ly)Quinor lineanche ovvero inserto ildeve a siapercheit,essere ve ro .y-... Quinor:Br·so sodiioCoordinatePOL&A- altrexatry-yo- scassator)Qurnor:A/AstPa8;Go+PrinG). Lgli=s e ima caseunigs: Pcx =u g(P)0-10:0 lsinoyo= :pargonnal_ParklaineA/P,(rima) o- = -Ix,(0,) -z)(y y+a 1+ =1/xf(x,y) kiz) b(0i)2s ==- -DxNoto c.:che 1y = DISEGSCIWARZDrz/x(x( x(yz) a()(+/y 1/E(x) z)(y mey =a-+ + -- ef(simG)=Plas) 21 -=+f) (0,0)(x,y)Tyc,y) == = SPOrE:lin esiste0-yx Non=(x,)e(0,0) 2 yz= + I =Altil)fI =x = =1- o i)f ali- Ey -= ==I Doroie him diversi intet rovo non haaristo, = (x).ligi 0 soHeroe ave ro awe2xy =lin xeKiysaro, ...Proprietà funzioni continuedellef: -, Ini nc o n t i n u i PEANENZASi br()/f(E)f(E) XeBM/Ed. O seave- 0 =Se Ro econtinuai n insiew:all1 (A) o=1 y/fe)=or diA l t ro modo- deamnenzaesprese iDES E C OSONO APER 0((f(E)Così come =Va */A) /*gidE/);=ErancheA: " continuirewie. sgomin·mi funzionl esei composteR Appropratg: e(y0f)(z) g/f/=))-= *(gof):alto),Sef Risi econtinuecontinua socontinuegi n alertin inIe =:ReRi**f: ↳A ve r ove c o re intora(f01)(x) 1/1(t))= toSe tode (om) consinuaalto)continua continua aucopt i ne ininae èf↑(*) 11.restrizionea rarze asi

Funzioni continue e derivate

06-03-2023 fileR. c(Ri=I E el i n e a rechiusoIcontinuaTeme WeresAssaI Einm assimoassume muniree*Xm,me/f(*m) E) xen) Ek e= == frem) effm)InEm. emassimopure, sowo vevore.mur ro,some oTeoremad e g l i ze kf:EwR. E connesso.I continua1 f(x)10,f(y)=x,yc 0.=Alort E/1/z) 0.ze -= W ·-IDim.: Z·Esiste1:(a;b1 = x,r()e(q) y.= = · Ifaibyfaiti) continua↳a ecompostaf u n z i o n e in((aib) f(1))Accert 0.=IArcoat z = ----- - I-~y If: MP xn)aR (x Mx2,= 3= r(xiyc) I,, . . ,. ↑f(x) I...,xx)f(x,x := , · 0;y01 i2e(xiy) f(xiy)2 == ↑ -f: .be/R2,1D c pwo ↑ EI -Hoigol vo/xoth; jol (niya)a(x;y0tk) /· ·in f(x;Art higa) e/o;yoty)f(:go E --hServer foisE:views evitecreo vero ex.ESEMIO:f(xiy) + 3yx += 2x,exf(0,0)f(xiy)* 0== = f(0,0) 1byDyf(xiy) 1 ==f(xiy) y)ex(x +sinky)+=6 2 y((xy)f(xiy) ex2xe+= + +xSyf(xiy) e+xca/xy)=CASO zn=f:Dc Dr., ED.D loeapeo(r)(x2,I x2= i-esimo. . .. ,..,0,190, ,0,0)10,0,2i = . . ..iI = Do+heil-I08. A):=Altre Dx:(Xd); );Dx. dDimorazion:Def NizroNE:SeDxif(E) = INf u n z i o n e, . . . . , Ioa c E E AVA B I Ebe a s iiSe SENVIE (o):= youf Pafffol)(Danza), atsieusePaff...., o r foseraVe r m e n e reN XSe servaref Die in02r*f(E),1 + 0f(x) x,fz)e0 xf2i enfer..+ += =-f(xiy;z) 2 y z2 rx ++= =0F 2x zz= +y220 = +x0F i: in(xiyiz) 10.0;0)E== =by f(xi;z) Ekce1 1 yx z)++= + + =- >If 1= M *VERSORE fy)-(+ fEd3xf(x)V =⑳ X O- araflec):=sk indiviovaraser vara direzionearaezronale nellaINetVERSODAL punto 10.V* I0 +=Se 4: parzialeo t t e n c e genvata inha ore : Is(x;y0)2 0xn = = t)(cost;* (in=f(x frinE)f/n12) cos; G.+ ++ = te)lfs+ fz)81,y) -= f(x2y) 20xf(xiy) f(0.0) =