Appunti di Analisi matematica 2

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Author: Kalos_

Revisionato il 28/07/2026

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Appunti del corso di Analisi 2 per il secondo anno di Ingegneria elettronica alla Sapienza. Contenuto degli appunti: Serie di potenze, Raggio di convergenza, Equazione di Bessel e serie di …

Esame Analisi 2

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Loreti Paola

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2019-2020

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Appunti esame

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Matematica II

Serie geometrica

D) x < -1 possiamo scrivere che x = -|x| e sostituirlo in Sn: Sn = == - = n pari n dispari osserva che quindi per x < -1 la serie è indeterminata perché.

Possiamo riassumere i vari casi con: x ≥ 1 x ∈ (-1,1) x = -1.

Le serie geometriche costituiscono un caso particolare delle più generiche serie di potenze.

Serie di potenze

Come visto la serie geometrica è un caso particolare delle serie del tipo: dove a_n è una successione di numeri reali e X = x - x₀ e possiamo studiare il comportamento della serie.

P.e. studiamo il comportamento della serie:

1) Per il criterio del Rapporto: quindi per |x| < 1 la serie converge assolutamente.

Ma cosa succede se x = -1 o x = 1.

A) x = -1 ho che è una serie a segno alterno e per il criterio di Leibnitz converge.
B) x = 1 ho che diverge positivamente.

Quindi la serie converge per -1 < x ≤ 1 o x ∈ [-1, 1).

P.e. ora studiamo con il criterio della Radice:

Studio per x = -1 e x = 1.

A) x = -1 che converge per il criterio di Leibnitz.
B) x = 1 converge in quanto serie armonica generalizzata.

Quindi la serie converge per -1 ≤ x ≤ 1 e l’intervallo di convergenza è [-1, 1].

3) P.c. considero ^+∞∑_n=1 1/n! xⁿ.

Per il criterio del Rapporto: lim |x|ⁿ⁺¹ / ¹/(n+1)! x1/n^! = n! / (n+1)! |x| → |x| per n → +∞ quando la serie converge ∀ x ∈ ℝ.

4) ∑^∞_n=1 nⁿ xⁿ.

Lim (n+1)ⁿ⁺¹ ×|x|ⁿ⁺¹ / nⁿ xⁿ = |x| x (n+1) / e^N e.

Dagli esempi vediamo che l'insieme di convergenza è un intervallo quindi il Raggio di convergenza è metà della lunghezza dell'intervallo.

Questa definizione è estendibile anche al caso dei numeri complessi: sia z ∈ sia z ∈ ricordando che z = cosθ + i sinθ e che quindi |z| = √(Re(z))² + (Im(z))² quindi la serie converge quando |z| 2 + (Im(z))².

Proposizione

Proposizione: Se la serie ^∞∑ _n=0 a_n xⁿ converge in un punto x₀ allora converge assolutamente in ogni punto x tale che |x|0 |.

Dimostrazione: · per ipotesi ^∞∑ _n=0 a_n x₀ⁿ converge · ammetto x₀ ≠ 0 · per la condizione necessaria di convergenza: lim_{n → +∞} a_n x₀ⁿ = 0 quindi ∃ N ∈ N tale che per n > N |a_nxⁿ₁| < 1.

Allora per n > N considero |a_nxⁿ₁| = |a_nx^{n₁||^xⁿ⁄_xⁿ₁| = |a_nxⁿ₁| |^x⁄_x₁|ⁿ}.

Considerato che |a_nxⁿ₁| < 1 ho: ∞ ∞ ∑ |a_nxⁿ₁| ≤ ∑ |^x⁄_x₁|ⁿ che converge per |x| < |x₁| n = N+1 n = N+1.

Criteri per la determinazione del raggio di convergenza

Criteri per la determinazione del Raggio di convergenza (studio di coefficienti a_n).

Criterio di Cauchy (criterio della radice) 1): se esiste lim √ⁿ|a_n| = l allora r_c = ¹⁄_l n → + ∞.
Criterio di D'Alembert (criterio del rapporto) 2): se a_n ≠ 0 per ogni n e lim ^a_n+1⁄_{a_n} = l allora r_c = ¹⁄_l n → + ∞.

P. esempio: N ( ¹⁄₃ ) ⁿ = ¹⁄_N^x⁄₃ⁿ ≈ lim √¹⁄₃ⁿ = ¹⁄_n(n + 1)¹⁄_n = ¹⁄₃ ⇔ r_c = 3.

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