Appunti di Analisi e geometria I - Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE

UN 28/10/24

DEF SIA f:(a,b)->IR E x0e(a,b)

DICO CHE f E' DERIVABILE IN x0 SE ESISTO FINITO IL LIMITE PER lim (f(x0+h)-f(x0))/h

DICO CHE f E' DERIVABILE IN (a,b) SE f E' DERIVABILE VxE(a,b)

DENOTIAMO LA DERIVATA DI f IN x0 IN UNO DI QUESTI MODI:

f'(x0); Df(x0); d f/dx x=x0 E LA CHIAMIAMO DERIVATA PRIMA DI f IN x0.

(f(x0+h)-f(x0))/h LO CHIAMIAMO RAPPORTO INCREMENTALE

OSS 1)PONENDO x1=x0+h POSSO RISCRIVERE f'(x0): lim x1->x0 (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

2)RICORDIAMO CHE LA RETTA CHE PASSA PER DUE PUNTI (x0,f(x0)) E (x1,f(x1))

y=f(x0)+((f(x1)-f(x0))/(x1-x0))(x1-x0)

PENSO ALLA DERIVATA COME L'INCLINAZIONE

DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI f

NEL PUNTO x0, QUANDO QUESTA ESISTE E NON E' VERTICALE

REGOLE DI CALCOLO

D(c)=0 => lim h->0 (c-c)/h = 0

D(x)=1 => lim h->0 (x+h-x)/h = 1

D(x²)=2x => lim h->0 ((x+h)²-x²)/h = 2x+h = 2x

D(sin x)=cos x => lim h->0 (sin(x+h)-sin x)/h = sin x(cos h-1)/h + cos x(sin h)/h = cos x

D(cos x)=-sin x => lim h->0 (cos(x+h)-cos x)/h = cos x(cos h-1)/h - sin x(sin h)/h = -sin x

D(loga x)=log_ae/x => lim h->0 (loga(x+h)-loga x)/h = loga((x+h)/x) 1/x

1/x lim y->0 loga(1+y)/y = loga e/x lim y->0 ln(1+y)/y

y = h/x

GIO 31/10/24

PROPRIETA'

TEOR se f:(a,b)->IR e' derivabile in x₀e(a,b) allora e' anche continua in x₀.

DIM lim_x->x0 f(x)-f(x₀) = f(x)-f(x₀) / x-x₀ = f'(x₀) . 0 = 0

PROP (ALGEBRA DI DERIVAZIONE)

SIANO f e g DUE FUNZ DERIVABILE IN x, ALLORA:

1. f+g e' derivabile e D(f+g)=Df+Dg
2. f g e' derivabile e D(f g)=Df g+f Dg
3. SE g ≠ 0, f/g e' derivabile e D(f/g)=(Df g-f Dg)/g²

DIM 1) D(f+g)(x)= lim_h->0 [(f+g)(x+h)-(f+g)(x)]/h = [f(x+h)-f(x)]/h + [g(x+h)-g(x)]/h = f'(x)+g'(x)

2) D(fg)(x)= lim_h->0 [f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)]/h = [f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)]/h

= f'(x+h)[g(x+h)-g(x)]/h + g(x)[f(x+h)-f(x)]/h = Df(x)g(x)+f(x)Dg(x)

3) BASTA FARLO PER 1/g, D(1/g)(x)= lim_h->0 [1/g(x+h)-1/g(x)]/h = [g(x)-g(x+h)]/[g(x+h)g(x)] / h = - [g(x+h)-g(x)]/h . 1/[g(x+h)g(x)] = -g'(x)/g²(x)

TEOR (DERIVAZIONE DELLA FUNZ COMPOSTA)

SIA g UNA FUNZ DERIVABILE IN x E SIA f UNA FUNZ DERIVABILE IN g(x), ALLORA f o g e' derivabile E VALE

(f o g)'(x)=f'(g(x))g'(x)

TEOR (DERIVAZIONE INVERSA)

SIA f:(a,b)->IR CONTINUA E INIETTIVA IN (a,b) E f DERIVABILE IN x CON f'(x)≠0

ALLORA f^-1 E' DERIVABILE IN y=f(x) E VALE (f^-1)'(y)=1/f'(f^-1(y))

REGOLE DI CALCOLO #2

D(x^m) = mx^m-1 => PER INDUZIONE, CASO m = 1 GIA' VISTO

ASSUMO CHE D(x^m-1) = (m-1)x^m-2

D(x^m) = D(x x^m-1) = x^m-1 + x(m-1)x^m-2 = mx^m-1

D(kf) = 0 · f + kD(f) = kD(f)

KER

D(tg x) = D(sin x/cos x) = (cos²x + sin²x)/cos²x = 1/cos²x (SEMPRE POSITIVA)

= 1 + sin²x/cos²x = 1 + tg²x

D(a^x) = a^xln a => lim_h->0 (a^x+h - a^x)/h

PER LA REGOLA DI DERIVAZIONE DI UNA FUNE INVERSA D(a^x) = 1/(log_ae)' = a^x/log_ae = a^x·ln a

D(arcsin x) = 1/(cos y)|_{y=arcsin x} = 1/(sqrt(1-sin²y))|_{y=arcsin x} = 1/sqrt(1-x²)

sin(arcsin x) = x

cos x = sqrt(1-sin²x) SE y E (-pi/2, pi/2)

D(arccos x) = -1/sqrt(1-x²)

D(arctg x) = 1/(1+tg²y)|_{y=arctg x} = 1/(1+x²) (SEMPRE POSITIVA)

PUNTI DI NON DERIVABILITA'

DENOTIAMO f'⁺(x₀) = lim_h->0⁺ [f(x₀-h)-f(x₀)]/h (DERIVATA SX E DX SE QUESTO LIMITE E FINITO)

ASSUMIAMO CHE f SIA CONTINUA IN x₀E(a,b)

SUPPONIAMO CHE f NON SIA DERIVABILE IN x₀E(a,b). DISTINGUIAMO QUESTE CASISTICHE:

1) SE f'⁺_x0 != f'^-_x0 CHE E ANCH'ESSO, DICIAMO CHE x₀E' UN PUNTO ANGOLOSO

ES: f(x)=|x| IN x₀=0    f'⁺x₀=1, f'^-x₀=-1

CHIAMO P.TO ANGOLSO ANCHE IL CASO IN CUI f'⁺(x₀) E f'^-(x₀) E INFINITO O VICEVERSA

2) SE lim_h->0 [f(x₀+h)-f(x₀)]/h = +>+> DICO CHE x₀ HA UNA tg VERTICALE O ANCHE CHIAMO x₀ P.TO DI FLESSO VERTICALE

ES: f(x)=x^1/3 IN x₀=0

3) SE _{lim h->0⁺} (f(x+h)-f(x₀))/h = +∞ E _{lim h->0^-} (f(x+h)-f(x₀))/h = -∞

es: f(x) = |x|^1/3

x₀ = 0

x₀ DICO CHE E' UNA CUSPIDE

4) SE _{lim h->0⁺} (f(x+h)-f(x₀))/h O _{lim h->0^-} (f(x+h)-f(x₀))/h

es: f(x) = { x sin^-1 x se x!=00 se x=0 }

x₀ = 0

NOTIAMO CHE 0 < |f(x)| < |x| → PER IL TEOR