Appunti di analisi e geometria 2

Revisionato il 27/07/2026

di Pierpaolo_bonelli

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Appunti delle lezioni di analisi e geometria 2. Tutti i contenuti necessari all'esame spiegati chiaramente, in ordine con tutte le dimostrazioni.Equazioni differenziali ordinarie lineari del …

Esame Analisi e geometria 2

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Cerutti Maria Cristina

Università Politecnico di Milano

A.A. 2022-2023

104 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Equazioni differenziali - ordinarie (ODE)

1. Equazione in cui l'incognita è una funzione y(t). L'equazione coinvolge y e alcune sue derivate.

NB:

Algebraic: presenta le derivate
Funzionale: soluzione è una funzione se le equazioni differenziali sono funzionali
Ordinaria: non suppone derivate parziali

2. y = f(t) y(t) = f(t) dt + C.

Ammette infinite soluzioni al variare di c.

Modello matematico

3. Modello matematico: insieme di equazioni e/o relazioni matematiche che descrivono un fenomeno conservando le caratteristiche essenziali e la cui soluzione permette di calcolare e prevederne lo sviluppo.

Procedura di definizione:

Ricavare modello analitico
Analisi della buona posizione, soluzione deve esistere ed essere unica e stabile
Simulazione numerica, soluzione approssimata, non esatta
Validazione sperimentale

Il modello matematico è costituito da:

Leggi costitutive analitiche di leggi dipendono dall'ambito di applicazione
Parametri di carattere sperimentale

Esempio: dinamica delle popolazioni

Esempio: dinamica delle popolazioni.

N(t): numero di individui al tempo t. Si ipotizza la funzione continua.

λ: tasso di natalità, per individui per unità di tempo.

μ: tasso di mortalità.

N evoluzione di tempo [t, t + Δt].

Nuovi nati: λN(t) Δt
Nuovi morti: μN(t) Δt

Quindi N(t + Δt) - N(t) = (λ - μ)N(t) Δt.

Dividendo per se Δt → 0 → N(t) = Σ N(t).

N(t) = N₀ e^εt.

ε > 0, lim_t→∞ N(t) = ∞.

ε t→∞ N(t) = 0.

Modello logistico

Modello logistico (Verhulst).

La popolazione più numerosa con capacità minori risorse → il potenziale biologico diminuisce nel tempo K: capacità dell'ambiente, massima.

r: K(t) k=k b N(t) simile a prima.

N'(t) r N ha diviso nulla, re crescita ne decrescei(t) = Σ (1 - N(t)/ρ) ε N(t).

N(t) = N₀.

[formula]: N(t) = b N₀ e^εt b = b - N₀ + N₀ e^εt.

Equazioni differenziali - ordinarie (ODE)

Equazione in cui l'incognita è una funzione y(t). L'equazione coinvolge y e alcune sue derivate.
- Differenziale: presentano le derivate
- Funzionale: soluzione è una funzione se le equazioni differenziali sono funzionali
- Parziali (PDE): coinvolgono derivate parziali

∗ y = f(t) y(t) = ∫f(t) dt + C.

Ammette infinite soluzioni di valore di c.

Procedura di sviluppo del modello matematico

Modello matematico: insieme di equazioni e/o relazioni matematiche che descrivono un fenomeno conservando le caratteristiche essenziali e la cui soluzione permette di calcolarne e prevederne lo sviluppo.

Procedura di sviluppo:

Ricavare modello analitico
Analisi della buona posizione, soluzione deve esistere ed essere unica e stabile
Simulazione numerica, soluzione approssimata, non esatta
Validazione sperimentale

Il modello matematico è costituito da:

Leggi note analogiche o leggi proprie che non dipendono dall'ambito di applicazione
Dati costitutivi fornite i carattere sperimentale

Es. dinamica delle popolazioni

Es. dinamica delle popolazioni.

N(t): numero di individui al tempo t es. ipotizza la funzione continua λ: tasso di natalità, per individui per unità di tempo.

μ: tasso di mortalità.

Tendimento di tempo [t, t + Δt].

Nascite: λ N(t) Δt
Morti: μ N(t) Δt

Quindi N(t + Δt) - N(t) = (λ - μ) N(t) Δt ε = λ - μ.

Dividendo per ᵒt.

lim_{Δt = 0} N(t) = ε N(t).

N(t) = N₀ e^εt.

Modello ε > 0, lim_t→∞ N(t) = ∞ ε ≤ 0, lim_t→∞ N(t) = 0.

Modello logistico di Verhulst

Modello logistico (Verhulst) la popolazione più numerosa comparato minimali risorse il potenziale di biologica dinamica nel tempo (k capacità dell’ambiente massimo).

N(t) = ε(1- N(t)/k) N(t).

N(t) = N₀.

lim_{t →∞} N(t) = k/b similar a prima N(t)/N₀ diventa nulla e la crescita ne decrescta.

N(t) = (k b N₀ e^kt)/(b+ N₀ (e^kt)).

Modello preda-predatore

Modello preda-predatore, esistenza di equazioni differenziali.

x(t): prede y(t): predatori.

a: tasso relativo alla crescita delle prede in assenza di predatori, b-y descrive le predatori.

c: tasso relativo alla crescita dei predatori in assenza di prede, d-x descrive le prede.

ẋ = (a-b·y)x + condizione iniziale.

ẏ = (c-d·x)y.

Caduta libera di un corpo

Caduta libera di un corpo.

(ẍ) |_t=0 = y₀ y(t) = y₀ + V₀t - 1/2 gt².

(ẏ) |_t=0 = V₀.

(y) |_t=0 = y.

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