Appunti di Analisi 2

Funzioni, analisi e spazio metrico

R" R"(daR2 R(delle dafunzionianalisi - + spazio metrico cui definita funzione diinsieme distantasu xXuna è x -↳ norme, RUX RP IR1 E&(A, BI 0= proprietà della distantad(A, d(B,A)B1 =d(B,()d(A, B1 =d(A,2)+d(x,y) 11X y11= - BrCxEX, dA,Xacrysterica.

Intorno sferico e insiemi aperti

Interno 4 dell'intorno sferico centrocircolare, disco intorno anche bolla, si chiama completoaperto, sottoinsieme aperto IfU7rs0/Br(x)quando aperto EV~Exe Uile spericointornoundiu=ogni indicentro contenutocompletamentepunto ENEchiuso-complementaresottoinsieme quellodi aperto" z)(xfR/x chiuso è apertoR seu0 e4 v x=== - )/x2 y (xc1) 02 1yy((X,y)B 10)u == -= + +=- ~degliapertiproprietà(totalità edx apertisono1. aperti apertounione di2. e3. di apertietotintersezione aperto1, h) nUn=10bneNco4 = +BYn 10 chiusiproprietàdei(totalità chiusiedx sono1. diintersezione chiusachiusie2.3. di chiusitot chiusaunione e.

• Aperti: totalità ed x aperti sono 1. aperti; unione di aperti; intersezione di aperti e tot intersezione aperto.
• Chiusi: totalità chiusi ed x sono 1. di intersezione chiusa chiusi e 2. 3. di chiusi tot chiusa unione e.

Interno, esterno, frontiera e accumulazione

IntornoAinterno: in sottodi insiemecontenutocompletamente Eup unl'esterna contenutopunto interne puntiha diE,did nelup eche complement.nonadi contiene almeno diteintornoV up delfrontiere: almenopunto compl.unounpunto di accumulazione distintodiintorno da.contiene almeno diE,ogni puntoup unxall'insiemecrispetto generale di accumulnon~ziyyyji(0,2]e = cisolatolfudiepunto0 Maacc. ox= Lfrontieradi dipunto accumulazionepuntidiaccumulazioneinsieme chiuso sesolo suoicontienese tuttieun e iE dei puntiinterniinsieme=E acc.)(punti diEu=insieme convesso nell'insiemepunti dell'insieme contenutoildi A, segmentoA ABBcoppia e nonconvessO E ConvessO↓ C·connesso connessoe ⑳· no .. .⑦.archilinsieme perconnesso continuasull'insieme dal è funzionearco puntoEIX,continuo B,alA puntoun una"FinisP T0,17-E↓: 0A B 1COn e =0 1 =semplicementeinsieme connesso·verif* 000) 00RusR += -

Limiti e continuità

"Definitivamente" che intornosuopuntoproprieta ilvale per pereun=limite CIR,dominiorealidin variabili definitafunzione De.reale DRARData suuna unXot" accumulazione.consideriamo disiachepuntounLE*e limf(x)=Llimite xofRndif(x)il tendechex aper x x-1X-xolc6 SPolS0Cd(P, 0<1IP-Poll0 < >- +PAR" -limf(P)F(PA)ER limf(Pk)= L1 === kP PO 0-Teoremi corollariosegnodel-permanenza +L0 f(x)0 deF. A+to· +f(x) alloradef.X-No,/0 O· limiteunicità del- corollariodel confrontoieorema- +limitidei ugualeAlgebra a AG1continuitacontinua qualsiasi isolatopuntoinfe- di-fe'continua in accumulazione DAlimpunto f(x0)f(x)sese soloe xoun =x x0=ediinfinitimodi arrivare puntoalsolo sinistradestra enonTeoremacomposizione Sommalles.continuela di continuafunzioni e1,,8.

Composizione e calcolo dei limiti

Rn R RF: ~x2).x3 continuecontinuay di funzionien(1 composiz.F(x,y) arctane e per= + ++x36(x,y) =(x,y) proiezione sux yprxx,x x=3(x,y) Ixpr 1x(3limiticalcolo dei arctanetlim en (2).1+F(x,y) =(x,y) (2,0)- cauchyfunzione di-(y in(x, y) F10,0 4scon yxE y=?-eco,f(x,y) = =con(x,y)10 (0,0)==l 1limese orengo 0· =20t ++ -il ilimite perché esistenon={ orengo!" lim diversisonovalorise· o= ={ !=1orengose· limite cuiarrivarescrivo il direzioniconsiderando varie da4f(t) 222xtx 0B= == +y Bt= 2 3xB +f(xt,Bt) t reta0= =at222 B+ + E curvay F(y),y))x === = 2814e di distintidi Pdeaccumulazione quando cadonop intorno dipuntiognixE Einradiallmaggiorazione difunzioniTeoremaRRP-R cosiasia unadefinita taleIoF. che:LER. - funz.realeSe ein g.e x0)),g(1Xe(f(x) p=1X-xol, limf(x)()limg(P) allora= =L0 con- -= x x0p 0 -+ polariTeorema-coordinate LER*,R2 Yo)definita intornoalmeno-R disia (o, allorasiainF: eunsololim f(x,y)=L limf/xo+ rispettoyotosinul-L aplosv, uniformementeseese v-(Xo,Yol 0(x,y) p =- I ydifunzione cauchyFryz &Ilim n=10,0x,y) - plosOpsino sino cosa sino-limiim cosoI(cos0+sincol0(PCOSOl+(psind2 pp 0 = 2= --1il 8,limite dipende diversi risultati quindicono diversi inizialeil limitehannoda siesiste.non sinox psina postosif(x,y) (pcoso,f(x,y) af= --=him/poscosina) uniformemente srispetto a0= 90POSOSInO1/NB: =P esiste**8- to non)=it *in !4 1x0,0-PoP -iiil limite uniforme per to fissatoosserviamo rispetto o,che perché ognie anonbiseo, nanosp==,150/sindtol si si esiste.conoha lim.ma p non=continuitaltopologiaTeorema e- insiemeI continua DOM, apertoSu econtroimm. aperto- insiemeA continua chiuso chiusosubom. econtroimm.-topologiche di continueproprieta (Compano): f(x)-limitatoweierstrass f(xm)sottoinsieme f(xm)chiusosu· eun -Lsottoinsiemedegli compattaimmagineteri laconnessoteorema su suaun e· valoriintermedideiteorema sottoinsieme connessosu un·

Differenziabilità e derivabilità

Differenziabilitàderivabilitàe↳ ↳ nell'intorno localmentedelreta punto,-Rf:Rf(p+ f(t)7) alladirrestrizione parametricaretta= - parametricadieq. I Pc ++=az fissati, dipendef dat-4(tsolopo sono· exy(t)~ incrementale:rapportocalcolo ilf(t) 4(t) 10) (P0)4 (P + Def(P0)+ 4'(0)+- -f== =-t tO t- 11XIIversore 1=derivata direzionale direzionedif nella versoredel v*t 1V ) f(P)+(P0= +-A Dyf(P)=nel y(0)limPo: + -punto =td 0 t+ -dipende anche dal verso--v----- derivatachiama partiale versoriprendosi ise yol Yolf(xott, -f(xa,Fondamentali Decf(x,Y) lim=- 1 0 t-(x0,40) +t(1,0) xott,= yoDefinizione dellainderivabile parzialiderivatequando funzfunzione punto leesistono tutteUna e un OFIP) ......(IP, Pparzialidellegradiente, derivatevettore =InablaxBy 215f(x,y) eny= + composizione-continua per# f(P) calcolox gradientePf(=,2) il= +⑦ (xy(x,y) eny) 3xy +== +costante(xy2Fxx,y) x3 1eny)* +=+by y1) (6,2)<F(z,2) (3.12.2,23 derivabileanchee= + = -funzione di cauchyGyf(x,y) (x,y) (0,0)F= 10,0)(x,y) =le restrizioni10,0) assiagliprendoPF - arâtinune0t. O=10,0) fl0+t,0); f -1100) Es-Olimlim = == 2 02tt 0 +0 +++ tf(x,0)x(0,0) =0* = =continua differenziabile, derivabilee e nonma Ifix1-(x0,y) fissatoIxo,y)y0);(im+(xott, == x= dXxy enyp(1,2)f(x,y) += (nz)(x 6x)xf(x,) (2x-(2,2 6= === + 11 =2 == Zo(h)variabiledifferentiale in 1 primotaylor ordinealsviluppo Ia(h)h)f(x0 (h)f(x0) o-=- ++ (0-piccolodin)f(Xo)-f(xoth) ah 0- = I -anh "errore differenz.alloradadifferenziabile inco,se -Rf econtinuafe in Xo;- felderivabile in xo;- f(xo) approssimazione lineare-a =df f(xo)dxe funzione lineareah alcorrisponde differenzialeuna e== variabilida piùdifferenziabilita a *f.RPf(p) Pof(p0) intornoR considerandoPoltP dix x.errore con- -= ahR (h)lineare fissatoRa: x numero=- a.pare-matriceR* hn)(nz,lineareR cn achz+......., anhna2: a =++= =definizione variabiliin a scalareRPR,differentiabilefel lineare alin funzione x. xse esiste una a.to ++xh,k)risulti(n,k) f(xx,Yo10,0), f(xoth,Yotk)Tale perché, =-(o+h,y0 kl+ puntil'errore 2e tradistanzadellauno↳ i(x0,40)ARR*_RR infunzionef differenziabile esistesia seSiaf: A, laaperto,ConA e toex. 0(1)(1)* x(h)funzione x(L) a.A f(10)f(10 h)chelineare nR, tale peruna 0X: = += ++ =dadifferentiabile allorainto,se f ècontinuafe in do;- derivabilefe in Lo; (...).- n+ ht hf(xd(gradiente) bf(xdx(h)-a ...= == =-Dimostrazione f(dota.b+o(hll), limitehin faccioquindif(Xth) ilSia differenziabile per neto, to,F =fXotIlA) cioeflim f(1oth) continua.f(10)lim+(Xo == =+1 1 00- +40 f(dota.b+o(hll),in teiquindif(Xth) h consideroSia differenziabile hperto, to,F = =canonici) quindi t l'uguaglianzate riscriveeversori e ottengocon per to,It |-o(lltel)e) ta.tecf(10) lof(x0 divido tutto scalare+ pere+ - += flotted-f(Xo8/z),f(x)te) calcolof(x0 limite:il him a.ea.e1 ne ==+ +- t 0 t-t IXbl alquindiconsiderando quindilamache alexasand,a as. . . ↳ fissatovettore'equazione dall'approssimazionetangente deriva dellachedel superficiepiano eltangente differenziabilepiano, ednell'intorno funzionedel solo quando lapunto con un a+(x0,y0)(X-x0l (X6.ht(x0,y0)(yf(x0,y0) 302 f(x0+z= =+ - - C1lele partialiFunzioni classediderivate anch'esse