Appunti di Analisi 1 con esercizi svolti

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• Area di un quadrato di lato l è A = l² (l > 0)
• Dato triangolo rettangolo con i_c = i_c
• Funzione gradino di Heaviside

H(k) = 1, se x = 00, se x < 0

Funzione segno

sgn(x) = 1, se x > 00, se x = 0-1, se x < 0

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• Funzione parte intera

[x] = max { z ∈ ℤ, z ≤ x }, x ∈ ℝ

[0.2] = 0

[3.7] = -4

• Funzione parte frazionaria

frac (x) = x - [x], x ∈ ℝ

frac (0.2) = 0.2 - [0.2] = 0.2

frac (1.5) = 1.5 - [1.5] = 0.5

frac (3.7) = -3.7 - [-3.7] = -3.7 - (-4) = 0.3

0 ≤ frac x < 1 ∀ x ∈ ℝ (vero ∞)

Definizione di funzione

Dati x, y una funzione f da x a y è una corrispondenza unica che associa ad ogni elemento x uno e un solo elemento del secondo insieme

Analisi

f : X → Y

Dominio

Codominio

Immagine di f

Im(f) = f(X) = {f(x), x ∈ X}

N.B. gli elementi fondamentali di una funzione sono due

• Dominio
• Legge (relazione funzionale univoca)

Il codominio non è importante

La rappresentazione grafica di f

Dati X e Y, il prodotto cartesiano di X e Y è l'insieme delle coppie ordinate (x,y) x ∈ X, y ∈ Y e quindi (esempio) la coppia ordinata (1;3) ≠ (3;1) se invece consideriamo l'insieme B = { 1;3 } = { 3;1 }

Consideriamo sempre funzioni con dominio D = R e codominio Y ⊆ R e prodotto cartesiano di X = R e Y ⊆ R: R × R = R²

Analisi

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ℝ² = {(x, y); x ∈ ℝ, y ∈ ℝ}

Data f: X → Y, x ↦ f(x)

Denotiamo grafico di f

graf (f) = {(x, y) ∈ X × Y | y = f(x)}

= {(x, f(x)) | x ∈ X}

Se X ⊆ ℝ, Y ⊆ ℝ, graf (f) ⊆ ℝ²

X → Y rappresenta ℝ² nel piano cartesiano individuato da due coordinate ortogonali

g(t)

m(s)

Γ = graf (f)

Un sottoinsieme di ℝ × ℝ è il grafico di una funzione f: X → Y

X, Y ∈ ℝ ⇔ qualsiasi parallela all'asse y lo interseca al più in un punto

Dominio naturale di f è l'insieme X ⊆ ℝ più grande in cui vale la legge funzionale (tutte le sue espressioni sono ben definite)

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y = e^x

y = x

y = ln(x)

es. n

f(x) = 3x se x ≥ 0

1/2x se x < 0

y = 3x

g = 1/2x →2x = 1/y

y = x/3

y = 1/2

Era già simmetrica rispetto alle bisettrice del 1^o e 3^o quadrante.

Nota: Im(f( (0; +∞) ) = (0;+∞)

f^-1(y) (∈→xy = f(x) = 1/2x ⇔ x = f^-1(y)

Analisi