Appunti dettagliati del corso triennale Bioimmagini

Bioimmagini

Energia e immagini

In generale è necessaria una fonte di energia che può essere data da:

• Emissione spontanea da parte del corpo
• Emissione stimolata da parte del corpo
• Interazione di energia inviata dall’esterno sul corpo

Per esempio:

• Emissione spontanea di energia termica o magnetica
• Emissione stimolata di energia elettromagnetica di sostanze radioattive o energia luminosa di sostanze fluorescenti
• Interazione con energia fornita dall’esterno come luce visibile, raggi X, ultrasuoni, onde radio, correnti elettriche

L’energia si può distinguere in:

• Elettromagnetica, che a sua volta si divide in ionizzanti (raggi X e gamma) e non ionizzanti (luce visibile)
• Meccanica, come gli ultrasuoni

Processo decisionale

Acquisizione immagini mediche:

1. Radiografia del torace
2. Digitalizzazione (se l’immagine non è già in forma digitale)
3. Pre-elaborazione (correggere dati da rumore o altre distorsioni, esaltare caratteristiche, rilevare eventi, delimitare oggetti)
4. Analisi quantitativa (estrazione o misura di caratteristiche ovvero trasformazione dei dati alle caratteristiche)
5. Interpretazione (elaborazione di alto livello, cioè da caratteristiche numeriche a simboli)

Le bioimmagini

Immagini numeriche

Molte delle moderne tecniche di imaging producono direttamente immagini in forma numerica. Molte non nascono subito digitali. Si pone comunque il problema della discretizzazione di immagini memorizzare su supporti analogici e quello della conversione analogico-numerica dai segnali prodotti dai sensori del rilevatore.

Le grandezze digitali offrono molti vantaggi, come l’immunità dal rumore, la memorizzazione, la duplicazione e l’elaborazione. Il campionamento e la quantizzazione sono processi fondamentali in questo ambito.

In generale la discretizzazione è il risultato di due processi:

Campionamento — Lo scopo del campionamento è di rappresentare un’immagine mediante una successione di matrici o numeri. Possiamo immaginare che il processo di campionamento di un’immagine sia idealmente il prodotto di I(x,y) per un pettine bidimensionale di impulsi spaziati deltax e delta nelle due direzioni. Se l’immagine I(x,y) è a banda limitata, ossia il suo spettro è nullo.

Teorema di campionamento o di Shannon: per u>U e v>V campionando a frequenze 2V2V, l’immagine analogica può essere recuperata dai suoi campioni.

Quantizzazione — Il processo di quantizzazione consiste nella trasformazione irreversibile dei valori analogici dei campioni di un’immagine in livello di grigio discreti. Quindi il valore analogico campionato deve essere rappresentato come numero intero.

Si utilizza un quantizzatore lineare che permette di conoscere l’errore massimo di quantizzazione che è possibile compiere che è uguale a metà intervallo tra due campioni successivi. Il numero di bit viene contato in base al rapporto segnale-rumore. Si cerca di vedere le piccole variazioni del nostro segnale, quindi è necessario conoscere tutta l’informazione possibile, per individuare il rumore che però non viene campionato.

Il passo di campionamento è proporzionale alla variazione del rumore k. Di solito k=2 se calcoliamo rapporto segnale rumore peggiore del 17%, cioè il massimo che possiamo introdurre nella quantizzazione. Più campioniamo, più l’immagine ha informazioni. Attenzione però a non sovracampionare perché si riduce la qualità delle informazioni.

Quindi si è formata la matrice I(x,y) composta da interi 0…2^Nb. Per immagini a 8 bit: 0…255.

Elaborazione di un’immagine

Gli obiettivi principali sono:

• La ricostruzione dell’immagine da proiezioni (sintesi)
• La compressione (coding)
• Ripristino della qualità (restoration)
• Miglioramento della qualità (enhancement)
• Confronto tra immagini (matching)
• Riconoscimento di oggetti rispetto al fondo (segmentation)
• Misure di parametri (analisi)
• Interpretazione (classificazione e/o diagnosi assistita)

Compressione

Per compressione si intende la riduzione della quantità di dati che dobbiamo memorizzare o trasmettere. Posso farlo perché sfrutto la ridondanza delle immagini. Può avvenire:

• Perdita - Con immagini jpg molto diffuse e con grosse riduzioni di dati per immagini convenzionali. In più l’immagine costruita non è identica all’originale, quindi avrei potuto perdere delle info che erano utili.
• Senza perdita - Immagini tiff (LZW), lossless jpg qui la compressione è minore e l’immagine è identica all’originale.

Restoration

Cerco di recuperare errore per eliminarlo. Quindi avviene il ripristino della qualità. Cerco di separare l’informazione dal rumore. Per esempio se ho un rumore che si somma all’immagine posso effettuare un filtraggio che elimina solo il rumore. O per esempio se ho distorsione geometrica (es. scacchiera) si può applicare la distorsione inversa. O ancora la sfocatura a cui posso applicare un filtraggio inverso. Non è detto sia possibile eliminare il rumore.

Enhancement

Consiste nel migliorare l’immagine, rendere più visibile l’informazione. È solo una modifica dell’immagine, non voglio riportare all’originale. L’enhancement può essere:

• Per operatore, con aumento contrasto e miglioramento dell’SNR
• Per decisione, con estrazione di linee e eliminazione di dettagli inutili

Analisi di immagini

Consiste nell’estrazione di parametri quantitativi da un’immagine (per esempio area del cuore, lunghezza di un vaso, massima area del cuore). Se la misura è puntiforme, l’immagine parametrica P(x,y) mostra la misura nel punto x,y (per esempio nel meteo che ci dice dove piove è info punto punto).

Elaborazioni, operazioni sulle immagini

Le elaborazioni possono essere nel dominio delle frequenza spaziali, del tempo e dello spazio (elaborazioni su una sola immagine come operazioni puntuali, locali e geometriche, o elaborazioni su due o più immagini come operazioni algebriche e logiche).

Elaborazioni puntuali

Queste elaborazioni trasformano un’immagine data v=I(x,y) in u=O(x,y), in modo che il livello di grigio di ciascun pixel di O(x,y) dipenda solo dal livello di grigio del corrispondente pixel di I(x,y).

Il generico livello di grigio u è mappato in un livello di grigio v mediamente la trasformazione: u=f(v). Dove è rappresentata l’elaborazione puntuale “virtuale” e alteri solo l’immagine visualizzata ma non quella in memoria.

Il ldg v è intero e quindi u=f(v) è descritta da un vettore. La matrice non è l’unico modo per rappresentare per esempio un disegno. Questa può essere rappresentata come un’immagine vettoriale con un certo numero di linee. Abbiamo un’ottima qualità e risoluzione con solo aree uniformi e pochi livelli di grigio.

Un’immagine per esempio attraverso un raster image con un valore per pixel. Qui la risoluzione spaziale è limitata con tanti ldg. Bassa qualità per linee, curve.

E infine il colore con True color (3 componenti per pixel) e Indexed (un unico ldg, 3 LUT per i tre colori base) quindi una matrice 3x3 con i colori base rosso, blu e verde.

Istogramma

L’istogramma è un utile descrittore della distribuzione dei livelli di grigio molto usato nella pratica. Questo rappresenta la frequenza relativa con cui appaiono i vari livelli di grigio. Si costruisce un vettore h(i) che indica il numero di pixel con Ida=i aventi vi livelli di grigio (probabilità di avere livelli di grigio) e Nl campioni di pixel totali.

Indichiamo con p(vi)= h(i)/N la distribuzione di probabilità del ldg. Il primo istogramma rappresenta un’immagine scura perché i suoi livelli di grigio si concentrano nella zona vicino allo zero. Mentre l’altro istogramma rappresenta un’immagine chiara perché si concentra con livelli prevalentemente verso la parte superiore dell’intervallo.

Nota che ad un’immagine corrisponde un solo istogramma, ma ad un istogramma possono corrispondere infinite immagini. L’istogramma ci può quindi dare un suggerimento anche su come migliorare l’immagine. Per esempio, nella figura, l’istogramma ci fa capire che stiamo lavorando solo sul grigio. Quindi possiamo pensare di allargare immagine e di schiarirla così da avere più contrasto.

Operazioni puntuali

Per fare ciò si utilizzano operazioni. Il caso più semplice è quello lineare che amplifica o riduce il contrasto u=av+b con a che agisce sul contrasto dell’immagine (a<0 negativo) e b la sua luminosità. Se il livello di grigio supera 255 c’è saturazione (u<0 o u>255).

Possiamo anche usare trasformazioni non lineari che amplificano il contrasto in alcune zone e lo riducono in altre, per esempio u=av^2.

Miglioramento del contrasto

Pseudo-colore

Nell’immagine di partenza non abbiamo un colore ma è possibile aggiungerlo senza modificare l’informazione. Viene fatta questa operazione perché l’occhio è più sensibile a sfumatura di colore che a livelli di grigio, quindi diventa più facile evidenziare le differenze. L’immagine è la stessa ma la percezione non è più lineare.

Amplificazione della dinamica

Questa non modifica la distribuzione dei livelli di grigio ma solo la loro collocazione. V è il valore corrente del livello di grigio che viene trasformato in u. Il livello di grigio più scuro presente nell’immagine (v in) assume il valore uinf, mentre quello chiaro vmax assume il valore usup. Questo ci permette di aumentare il più possibile il contrasto, evidenziando la finestra di grigi. È importante perché il numero dei ldg resta uguale a quello dell’immagine originale.

Finestra dei grigi

È una trasformazione simile alla precedente ma interattiva. Ci permette di evidenziare la zona che ci interessa. Si tende ad aumentare la differenza tra i livelli per vedere meglio i dettagli e per consentire all’osservatore di percepire diversi livello di grigio, superando i limiti del sistema visivo umano.

Sogliatura

È un metodo “brutale” per segmentazione. È il caso estremo e vmin=0.

Equalizzazione

È l’ultima operazione puntuale. Punta ad ottenere un istogramma (numero di pixel rispetto ai livelli di grigio) “piatto”. Definisco la densità di probabilità. L’istogramma si chiama istogramma equalizzato, ed è un’immagine con più dettagli e più bella visivamente. Questa immagine si ottiene unicamente modificando le relazioni tra i livelli di grigio. Questo istogramma però non è molto usato in biomedica perché i diversi livelli di grigio sono diventati lo stesso livello, quindi ho perso informazioni.

Operazioni locali

È il secondo tipo di operazioni. Le operazioni locali studiano un’uscita in funzione dell’immagine d’ingresso, calcolando l’uscita in funzione di un intorno rispetto al punto iniziale, generalmente preso simmetrico. Data V=I(x,y), costruiamo u=O(x,y). Un’operazione è locale se O(x,Y) dipende da I(w,z) in un intorno di (x,y).

L’esempio più tipico è considerare una finestra 3x3. Posso anche considerare delle piccole variazioni dell’interno. In questo caso la dimensione dell’intorno è vincolata solo dal numero dispari per essere simmetrico, altrimenti avrei uno spostamento di mezzo pixel dell’immagine di uscita rispetto all’ingresso.

Supponendo di avere un filtro lineare si dice Kernell del filtro una matrice che ha caratteristica di essere definita per valori specifici di indici in modo da essere centrata nel nostro punto. Calcolo l’uscita facendo una convoluzione nel dominio dell’immagine. Il kernell può però uscire dal bordo, per questo si fa si di avere una colonna che si ripete all’infinito. Oppure considero l’immagine rotonda. L’ultima colonna diventa la prima e così via. E come fare la cross relazione tra la matrice della funzione e quella del kernell.

Medie mobili

Un esempio di operazioni locali è costituito dalle medie mobili. In esse l’uscita viene ottenuta spostando da sinistra a destra e dall’alto in basso una finestra sull’immagine. Le medie mobili pesate sono più veloci, ma man mano che aumento la dimensione del filtro, aumento il numero di operazioni che voglio fare. In questo modo però rischio di avere un numero di operazioni che tende ad esplodere, perciò l’obiettivo è di ridurre le operazioni.

Con le medie mobili si possono realizzare vari tipi di elaborazioni corrispondenti a filtraggio spaziale in particolare:

• Smoothing, lo riconducibili a filtri passa basso
• Sharpening, appartenenti alla classe dei filtri passa-alto

Smoothing

È l’operazione più comune con passa basso. L’operazione di smoothing tende ad attenuare le variazioni rapide dei livelli di grigio e quindi le alte frequenze spaziali. L’effetto è di ridurre il rumore ma anche di sfocare l’immagine, effetto tanto maggiore quanto maggiori sono le dimensioni della finestra rispetto rispetto alle dimensioni dei particolari di interesse dell’immagine.

Se si assumono i pesi tutti uguali a 1 si ottiene il valore medio dei 9 pixel che compongono l’intorno. Se il filtro non è separabile sono 25 operazioni/pixel. Se il filtro è separabile le operazioni si riducono a 10 quindi è più veloce.

Sharpening

L’effetto di sharpening può essere ottenuto attraverso operatori differenziali di vario ordine. Quindi è la stima delle due derivate lungo x e y delle immagini. Il modulo del gradiente e ottengo due immagini corrispondenti alla derivata parziale lungo x e lungo y. In ogni punto abbiamo quindi un vettore diretto secondo la direzione di massimo accrescimento dei livelli di grigio dell’immagine. E il suo modulo tenderà ad essere “grande” in corrispondenza di variazione brusche dei livelli di grigio quali quelle associate ai contorni. Il gradiente è ortogonale al contorno ci dice in che direzione sta andando il contorno in quel punto dell’immagine. Quest’immagine si ottiene andando a fare la derivata in una direzione e lo smoothing dall’altra.

Laplaciano

Il Laplaciano è un altro operatore differenziale importante che è approssimazione della derivata seconda. E approssimando lo diventa questa matrice, che però non è separabile. Quindi uso il Laplaciano quando la dimensione della matrice è molto piccola. È utilizzato per l’estrazione di contorni, perché ha la caratteristica di cambiare segno in corrispondenza di esso.

Inoltre si tratta di un operatore isotropo: cioè che la sua risposta a una variazione di livelli di grigio è indipendente dalla direzione in cui questa avviene. Esempio di Kernell non normalizzato, infatti la somma di tutti i pesi è uguale a 0.

Edge detection

Il modulo del gradiente dell’immagine fornirà il solo contorno della T. Il gradiente vale zero dove il livello di grigio dell’immagine è uniforme e assume un valore maggiore di zero solo in corrispondenza dell’interfaccia della lettera T e dello sfondo. In b) è riportato il modulo del gradiente di a). In c) si può osservare il Laplaciano: il grigio medio dello sfondo corrisponde al valore zero dell’immagine filtrata, grigi più chiari corrispondono a valori positivi, quelli più scuri a valori negativi.

Elaborazioni non lineari - filtro mediano

Nella classe degli operatori locali rientrano anche numerose trasformazioni non lineari. Un esempio è fornito dai vari operatori di tipo statistici quali il filtro mediano. Fissate le dimensioni dell’intorno (solitamente la matrice 3x3) si sostituisce al valore del livello di grigio del pixel centrale, il valore della mediana dei livelli di grigio presenti sulla finestra.

Questo filtro è spesso più efficace del semplice smoothing lineare nel rimuovere il rumore con un effetto più moderato di sfocatura. In particolare esso è adatto ad attenuare il cosiddetto rumore “sale e pepe” che corrompe l’immagine con alcuni punti bianchi e neri isolati.

L’immagine a) viene contaminata con l’aggiunta di rumore “sale e pepe”. Essendo un rumore ad alta frequenza si applica un passa basso dunque uno smoothing c) come se i chicchi si spalmassero. In d) si applica il filtro mediano che riesce a togliere completamente il rumore e non sfoca il completamento delle barre.

Elaborazioni geometriche

Con le operazioni geometriche si effettua una trasformazione di dominio di definizione dell’immagine. Riferendoci al caso continuo, in generale esse assumono una forma del tipo: Cioè il valore del pixel risultato alle coordinate (x,y) è funzione del valore del pixel avente coordinate diverse (x’,y’), calcolandole entrambi in funzione di (x,y).

Non modifico il valore del pixel, ma lo “sposto”. Sono importanti nella registrazione di due immagini quando si voglia renderle sovrapponibili.