Appunti Bioimmagini

Bioimmagini

Le bioimmagini nascono come immagini analogiche, ma le grandezze digitali offrono molti vantaggi:

• Immunità dal rumore, stando comunque attenti alla tecnologia che sta dietro alla nostra immagine
• Memorizzazione
• Duplicazione
• Elaborazione, infatti è possibile elaborare e migliorare l’immagine per cercare quello che ci interessa

Quando generiamo un’immagine questa non nasce direttamente digitale, ma dobbiamo farla diventare tale, per questo motivo si incorre nei problemi di quantizzazione e campionamento.

Campionamento

L’obiettivo è di ottenere una sequenza di numeri che rappresenta il nostro segnale selezionando solo alcuni istanti temporali. Se l’immagine è stata campionata correttamente (512x512) risulta definita, altrimenti, riducendo la risoluzione (32x32), risulta un’immagine a quadretti, che quindi non ha nessuna utilità a livello pratico.

Teorema di Shannon: Il teorema di Shannon vale anche nelle immagini, ma si parla di frequenza spaziale e abbiamo due frequenze U (per la coordinata x) e V (per la coordinata y). Il segnale viene rappresentato come somma di sinusoidi che dipende da due componenti U e V.

Quantizzazione

Eseguito il campionamento ottengo una misura del livello di grigio dell’immagine. L’obiettivo è quello di trasformare il valore analogico in valore numerico intero, utilizzando un quantizzatore lineare che permette di conoscere l’errore massimo di quantizzazione che è possibile compiere (uguale a metà dell’intervallo tra due campioni successivi). La qualità del segnale è data dal rapporto segnale rumore.

Il numero di bit viene contato in base al rapporto segnale-rumore. Si cerca di vedere le piccole variazioni del nostro segnale, quindi è necessario conoscere tutta l’informazione possibile, per individuare il rumore, il quale però non viene campionato. Quando parliamo di un’immagine 8 bit sono ragionevoli (per esempio il televisore normale lavora con 8 bit). Su immagini molto chiare, molto scure o molto contrastate 8 bit non sono sufficienti, per questo motivo viene introdotto l’HDR che permette di avere 12 bit.

Il passo di campionamento è proporzionale alla variazione del rumore k. Di solito k=2, se calcoliamo rapporto segnale-rumore peggiore del 17%, cioè il massimo che possiamo introdurre nella quantizzazione. Nel momento in cui andiamo ad effettuare il campionamento, maggiore è il campionamento, più pixel abbiamo a disposizione e quindi abbiamo maggiori informazioni. L’immagine ottenuta con un certo passo di campionamento non è associata alla risoluzione spettrale, ossia alla dimensione dell’oggetto più piccolo che riesco a vedere, della nostra immagine. Per migliorare la risoluzione devo aumentare SNR e il numero di fotoni per pixel.

È possibile sovracampionare, ma oltre un certo limite riduce il rapporto segnale-rumore, il quale è legato al numero di fotoni per pixel e quindi la qualità dell’immagine peggiora. Il numero di fotoni deve comunque rimanere basso perché può portare danni al paziente. Abbiamo un processo chimico che produce un’immagine, attraverso una matrice n x n che è composta da numeri interi. Il singolo elemento della matrice è chiamato pixel e ha una dimensione x,y all’interno della matrice. Per convenzione la y è rivolta verso il basso e la x verso sinistra.

Elaborazione bioimmagini

Quando si va a ricostruire un’immagine possiamo avere obiettivi differenti:

• Ricostruzione da proiezioni (sintesi): Dato un insieme di misure integrali di un oggetto se ne vuole ricostruire una rappresentazione pittorica.
• Compressione (coding): Ridurre il numero di dati (bit) necessari per memorizzare e rappresentare un’immagine. È possibile effettuare questa operazione perché le immagini sono caratterizzate da ridondanza, ossia parti dell’immagine sono tra loro simili. Per esempio, se considero le immagini in jpeg, l’informazione trasmessa viene notevolmente ridotta, poiché si prendono in considerazione solo le prime informazioni della trasformata di Fourier. Posso però andare incontro a problematiche nel momento in cui devo ricostruire l’immagine di partenza, poiché potrei aver eliminato alcune informazioni utili. Infatti, in campo medico non vengono usati file in formato jpeg, ma zip, nei quali non si ha perdita di informazione, ma avrà una compressione molto inferiore.
• Ripristino della qualità (restoration): Rimozione di degradazioni dell’immagine indotte da rumore e dal processo di formazione, i quali verranno eliminati, se possibile, attraverso un’operazione di filtraggio. Il ripristino della qualità tende a minimizzare l’effetto di danneggiamento: la sua efficacia dipende dal grado di conoscenza relativa al processo di costruzione dell’immagine. I metodi più utilizzati per l’eliminazione del rumore sono metodi di filtraggio. Per esempio posso eliminare il rumore additivo attraverso un filtraggio in frequenza: se ho un rumore ad alta frequenza posso usare un filtraggio che mi elimina solo il rumore bianco. Nel caso di un’immagine con un certo grado di sfocatura applico un filtraggio inverso, problema di deconvoluzione, che mi permette di recuperare una parte dell’informazione (una sfuocatura è un filtro passa-basso, quindi taglierà certe frequenze che non riuscirò a recuperare. Se le attenua, invece, riesco ad amplificarle e a recuperarne una parte).
• Miglioramento della qualità (enhancement): Trasformazione dell’immagine per facilitarne la fruizione da parte di un osservatore (aumentando il contrasto e migliorando il SNR) o di un’ulteriore procedura di elaborazione (estraendo linee e eliminando segnali inutili). L’obiettivo non è quello di riottenere l’immagine iniziale, ma di evidenziare l’informazione di interesse, andando ad eliminare il rumore ed evidenziando subito la lesione.
• Confronto tra immagini (matching)
• Riconoscimento di oggetti rispetto al fondo (segmentation)
• Misure di parametri (analisi): Estrazione di parametri quantitativi degli oggetti rappresentati nell’immagine (immagine in cui faccio una misura che ottengo punto per punto, riuscendo, così, a rappresentarla come immagine). Per esempio, viene effettuato per calcolare l’area del cuore o la lunghezza di un vaso. Se ho una misura puntiforme, avrò un’immagine parametrica P(x,y) che mostra la misura nel punto x,y, come per esempio un istante di massimo flusso.
• Interpretazione (classificazione e/o diagnosi assistita)

Tipi di elaborazioni

Possono essere effettuate elaborazioni nel dominio: delle frequenze spaziali (trasformata di Fourier…), del tempo (per sequenze di immagini) e dello spazio (maggiormente utilizzato). Inoltre, le elaborazioni dello spazio, possono essere svolte su una sola immagine (operazioni puntuali, locali e geometriche) o su due o più immagini (operazioni algebriche e logiche) e elaborazioni automatiche interattive.

Le elaborazioni puntuali trasformano un’immagine di ingresso V in un’uscita U in modo tale che il livello di grigio di ciascun pixel di U dipenda solo dal livello di grigio del corrispondente pixel di V. Data v=I(x,y), costruiamo u=O(x,y). Si parla di operazioni puntuali se O(x,y) dipende solo da I(x,y). Quindi posso esprimere l'elaborazione con u=f(v). Questa curva va a aumentare la differenza tra i livelli di grigio nella zona intermedia (in cui non ci sarà nessuna modificazione del contrasto) e i livelli di grigio negli estremi. Questa funzione permette di regolare il contrasto dell’immagine migliorando la visibilità o della parte chiara o della parte scura. Dominio e condominio devono avere stesse dimensioni.

Il look-up table (o tabella di corrispondenza) è un metodo per rappresentare la funzione attraverso un vettore, definito solo per valori interi. L’immagine viene scandita sequenzialmente e i valori letti indirizzano la cella della look-up table, il cui contenuto è il livello di grigio in uscita. Ad esempio, si può utilizzare quando abbiamo trasformazioni non lineari, amplificando il contrasto in alcune zone e riducendolo in altre, oppure viene utilizzato in varie tecniche di visualizzazione per migliorare il trasferimento dell’informazione all’utilizzatore, il caso più semplice è dato da una trasformazione di tipo lineare (u=av+b), con a (che agisce sul contrasto dell’immagine) e b (che agisce sulla luminosità) costanti. Se a<0 e b>0 si scambiano il livello chiari e quelli scuri, ottenendo l’inversione dell’immagine (fenomeno di saturazione). In generale, una trasformazione lineare amplifica o riduce il contrasto uniformemente su tutti i livelli di grigio. È possibile, inoltre, compensare la non linearità della risposta di ampiezza di un sensore di immagini. Questa è la risposta tipica di una pellicola radiografica. In questo caso devo applicare una trasformazione puntuale, facendo in modo che la trasformazione sia lineare.

La matrice è una matrice di punti con dei livello di grigio. Un disegno, però, può essere rappresentato come immagine vettoriale, in cui l’elemento base è la linea (non il pixel). Ho il vantaggio che il disegno è sommabile ed elaborabile. Inoltre, il disegno vettoriale, contiene definitive più evolute (ha un’ottima qualità e risoluzione), ma non si vede la variazione dei livelli di grigio. Le immagini di tipo raster, sono caratterizzate da una sequenza di punti in cui ad ogni pixel corrisponde un valore. Hanno però una risoluzione spaziale limitata e una bassa qualità di linee, curve ecc… Le immagini colorate utilizzano 3 matrici (rosso, verde, blu), in cui ad ogni pixel corrispondono 3 componenti, quindi è una rappresentazione fedele alla realtà.

Istogramma

Le tecniche di esaltazione del contrasto hanno l’obiettivo di potenziare la visibilità di dettagli poco evidenti e di adattare la dinamica dell’immagine a quella del sistema di visualizzazione. Un descrittore della distribuzione dei livelli di grigio è l’istogramma di un’immagine, che rappresenta la frequenza relativa con cui appaiono i vari livelli di grigio (approssimazione della distribuzione di probabilità del livello di grigio, quindi la probabilità di trovare un pixel di un dato livello di grigio).

Si costruisce un vettore h(i) che indica il numero di pixel con Idg=i, aventi vi livelli di grigio e NL campioni di pixel totali. È possibile stimare la distribuzione di probabilità del Idg, p(vi )≈h(i)/Na)

• a) L’immagine è scura, perché i suoi livelli di grigio si concentrano nella zona vicino allo zero
• b) L’immagine è chiara, perché i livelli saranno prevalentemente verso la parte superiore dell’intervallo.

Dall’istogramma non posso risalire all’immagine, poiché non dipende dalla posizione dei pixel. Questa tecnica non altera la distribuzione relativa dei livelli di grigio, ma solo la loro collocazione. A un’immagine corrisponde un solo istogramma, ma un istogramma può essere generato a partire da infinite immagini. Dall’istogramma deduciamo che ci sono un certo numero di pixel scuri (molti) e una zona di pixel grigi e non ci sono pixel bianchi. Suggerimento su come migliorare l’immagine, poiché non stiamo sfruttando l’intera gamma: si può schiarire l’immagine rendendola più visibile riuscendo a vedere meglio le differenze. All’interno del grigio si vedono increspature che sembrano uguali, quando in realtà non è così.

Applicazioni per migliorare il contrasto

Pseudo-colore: Nell’immagine di partenza non abbiamo un colore, ma è possibile aggiungerlo, senza modificare l’informazione. Viene effettuata questa operazione perché l’occhio è più sensibile a sfumature di colore che a livelli di grigio, quindi diventa più facile evidenziare le differenze.

Amplificazione della dinamica: È possibile amplificare la dinamica usando tutto il range a disposizione. Infatti, viene portato Vmin a 0 e Vmax a 256, questo ci permette di aumentare il più possibile il contrasto, evidenziando la finestra di grigi. È una tecnica che non altera la distribuzione relativa dei livelli di grigio. Con la tac ci sono 4926 livelli di grigio.

Finestra dei grigi: Trasformazione analoga alla precedente, ma interattiva. Si tende ad aumentare la differenza tra i livelli per vedere meglio i dettagli e per consentire all’osservatore di percepire le differenze dei livelli di grigio, superando i limiti del sistema visivo umano. La tecnica fornisce più livelli di grigio di quanti l’occhio umano possa percepire, ponendo Vmin di colore nero, Vmax di colore bianco e in mezzo tutte le loro sfumature. È un metodo molto brutale, ma permette di ottenere un’idea di quello che sto osservando.

Modificazione dell’istogramma: Operazione che punta ad ottenere un istogramma piatto: conoscendo lo spettro e sapendo che vogliamo avere un certo istogramma di uscita, è possibile calcolare l’istogramma di ingresso. Nel caso discreto l’istogramma è “quasi” piatto. A destra si osserva un istogramma equalizzato, che è un’immagine con più dettagli e più bella visivamente. Questa immagine si ottiene unicamente andando a modificare le relazioni tra i livelli di grigio (Idg). Non viene introdotta alcun tipo di informazione, anzi, viene persa. L’istogramma non è tanto usato in biomeccanica, perché la differenza tra i livelli di grigio viene alterata in quanto si sovrappongono componenti.

Le elaborazioni locali studiano un’uscita in funzione dell’immagine di ingresso, calcolando l’uscita in funzione di un intorno rispetto al punto iniziale, generalmente preso simmetrico. L’esempio più tipico è considerare una finestra 3x3. Posso anche considerare delle piccole variazioni dell’intorno. In questo caso la dimensione dell’intorno è vincolata al solo numero dispari per essere simmetrico, altrimenti avrò uno spostamento di mezzo pixel dell’immagine di uscita rispetto all’ingresso. Supponendo di avere un filtro lineare si parla della risposta impulsiva del filtro lineare non impulsivo. Prendo la matrice Kernel 3x3, che ha la caratteristica di essere definita per valori specifici di indici, in modo da essere centrata nel nostro punto. Calcolo l’uscita andando a svolgere una convoluzione nel dominio dell’immagine. Viene effettuata una convoluzione tra i punti dell’immagine e i valori del Kernel.

In qualsiasi caso, ci sono dei problemi sui bordi, poiché il Kernel va fuori dalla matrice. Quindi, è possibile eliminare i pixel sul contorno (non considero quindi l’uscita del filtro sul contorno) o si considerano uguali a 0, quindi neri. Questo può dare luogo ad errori, per questo motivo si preferisce avere un’immagine infinita, che si ripete. Quando vado sulla colonna di ordine -1, faccio finta che sia uguale alla prima. In questo modo posso evitare di considerare l’effetto al contorno. Ultima strategia che è possibile utilizzare è quella di considerare l’immagine rotonda, quindi alla colonna -1 si considera l’ultima colonna.

Un esempio di operazioni locali è costituito dalle medie mobili. In esse l’uscita viene ottenuta spostando da sinistra a destra e dall’alto in basso una finestra sull’immagine. Serve per normalizzare il filtro in modo che l’uscita abbia la stessa visibilità dell’ingresso. Con le medie mobili pesate, cioè strutture che ricordano l’andamento di una gaussiana e sono più veloci (nel caso generale di filtraggio devo fare operazioni per ogni pixel. Man mano che aumento la dimensione del filtro, aumento il numero di operazioni che voglio fare. In questo modo rischio di avere un numero di operazioni che tende ad esplodere, per questo motivo l’obiettivo è di ridurre le operazioni) si possono realizzare vari tipi di elaborazione corrispondenti a:

• Filtraggi spaziali
• Filtraggi passa-basso, come lo smoothing, cioè sfuocamento. L’obiettivo è quello di ridurre le componenti a bassa frequenza, utilizzando la matrice Kernel con tutti gli elementi uguale a 1. Tutti i filtri normalmente sono normalizzati con somma dei pesi uguale a 1 (infatti, lo smoothing lo ottengo con 9 elementi pari a 1/9). Solitamente non dà risultati eccellenti dal punto di vista dell’uscita. Migliorare la velocità del filtro: se il filtro è separabile vuol dire che posso esprimere la matrice come prodotto vettore colonna per vettore riga, sfruttando le proprietà di composizione, e quindi avrò uno smoothing minore. Però, non tutti i filtri sono separabili. La gaussiana è separabile, prodotto tra vettori uguali. Quest’operazione tende ad attenuare le variazioni rapide dei livelli di grigio. L’effetto è quello di ridurre il rumore e di sfuocare l’immagine. L’effetto è tanto maggiore quanto maggiori sono le dimensioni della finestra rispetto alle dimensioni dei particolari di interesse dell’immagine.
• Filtraggi passa-alto, come lo sharpening, stima di due derivate lungo x e y dell’immagine. L’immagine riproduce il modulo del gradiente e ottengo due immagini corrispondenti alla derivata parziale lungo x e lungo y. Le matrici sono l’approssimazione della derivata e diventano una matrice 3x3, che permette di evidenziare le differenze, poiché, nel momento in cui andiamo a fare la derivata su un segnale, andiamo ad amplificare il rumore. Il laplaciano è un’approssimazione della derivata seconda dell’immagine. Non è