Appunti Comunicazioni elettriche

OpAmp Folded Cascode: CMRR

OpAmp Folded Cascode: CMRR.

Comunicazioni elettriche. Riassunti ~ ~ ~(g ~(g2 2 3 3R ed R R ged rR , CMRRg r , CMRRr ) ! r ) !o4 o6 o4 m o o6 m o m o m o Si avrà dunque Si avrà dunque un CMRR molto elevato, CMRR molto elevato, OpAmp a due stadi. OpAmp a due stadi.

Elettronica II - D. Manstretta Sedra/Smith © 2010 by Oxford Univ. Press, Inc. 27. Elettronica II - D. Manstretta Sedra/Smith © 2010 by Oxford Univ. Press, Inc. 27.

Argomenti

• Serie di Fourier
• Trasformate di Fourier
• Modulazione di ampiezza
• Modulazione di frequenza
• Variabili causali
• Segnali aleatori
• Rumore nelle modulazioni analogiche
• Modulazione impulsiva
• Segnali digitali
• Modulazioni digitali
• Bit Error Rate
• Teoria del filtro ottimo

Docente: Paolo Ettore Gamba AA 2022/23 Satriano Riccardo.

OpAmp Folded Cascode: CMRR

Questo file è stato scritto con l’intento di voler riassumere quanto possibile pur rimanendo abbastanza discorsivo e raccontare le slide del Prof. Gamba per il corso di Comunicazioni elettriche. Sono state incluse alcune dimostrazioni fondamentali del corso richieste anche in seduta di esame orale.

Qualsiasi imprecisione, inesattezza è gradita la segnalazione. Sperando che apprezziate lo sforzo fatto per scrivere queste pagine vi auguro un buono studio di un corso molto affascinante!

~ ~(g2 3R ed R g r , CMRR r ) !o4 o6 m o m o Si avrà dunque un CMRR molto elevato, OpAmp a due stadi.

Elettronica II - D. Manstretta Sedra/Smith © 2010 by Oxford Univ. Press, Inc. 27.

Docente: Paolo Ettore Gamba AA 2022/23 Satriano Riccardo.

OpAmp OpAmp Folded Folded Cascode: Cascode: CMRR CMRR.

Qualche idea iniziale

Un generico sistema di telecomunicazioni è composto dal seguente schema a blocchi:

In trasmissione abbiamo la sorgente dell’informazione, ad esempio la voce, l’oggetto da trasmettere. Il codificatore permette di tradurre la sorgente in un codice più opportuno per la trasmissione (PCM, criptato).

~ ~ ~(g ~(g2 2 3 3R ed R R ged rR , CMRRg r , CMRRr ) ! r ) !o4 o6 o4 m o o6 m o m o m o Si avrà dunque Si avrà dunque CMRR un molto CMRR elevato, molto elevato, opportuno per la trasmissione (PCM, criptato). Il modulatore adatta il segnale eventualmente codificato al canale trasmissivo secondo opportuni criteri: ampiezza, fase, frequenza ad esempio AM per le comunicazione wireless.

OpAmp a OpAmp due stadi. a due stadi.

Il canale trasmissivo è la causa di tutti i mali poiché introduce tipicamente del rumore provocando distorsioni ai segnali. In ricezione si effettua il processo inverso. Il segnale modulato, a cui verrà aggiunto del rumore, verrà demodulato e decodificato per ottenere il segnale modulante, ossia l’informazione trasmessa.

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Segnali

Un segnale è una funzione o distribuzione di una variabile indipendente generalmente identificata con il tempo. Tra i più comuni abbiamo: ( ) ( )( ) t − t t − t 2π t 0 0 s(t) = B r ect s(t) = B t r i a ng s(t) = cos W WT0 s(t) s(t) s(t) B B t t 0 0 t T t t 0 W W.

Una prima classificazione:

• Segnali tempo continui, ossia che possono assumere valori continui nel tempo s(t) = f (t), t ∈ ℝ.
• Segnali tempo discreti, ossia che possono assumere valori discreti nel tempo s(t ) = ( f (t ), f (t ), f (t ), . . . ), t ∈ ℝ, n ∈ ℚ n 1 2 2 n.
• Segnali periodici, ossia che ripetono periodicamente.

Qualche idea iniziale CE 1.

Classificazione dei segnali

OpAmp Folded Cascode: CMRR.

s(t) = s(t + nT ), ∀n ∈ ℤ0.

È utile definire anche la quantità inversa del periodo, lunghezza d’onda c λ = cT =0 0 f0.

• Segnali aperiodici, non si ripetono periodicamente s(t) ≠ s(t + nT ), ∀n ∈ ℤ0.
• Segnali deterministici, ossia che sono completamente prevedibili sapendo il loro insieme di definizione.
• Segnali casuali, ossia che non si conosce l’uscita ma solo la probabilità che assuma un certo valore (il rumore).
• Segnali di potenza, segnali non di energia per cui esiste l’integrale finito.

~ ~(go2 3R ed R g r , CMRR r ) !o4 o6 m m o Si avrà dunque un CMRR molto elevato, OpAmp a due stadi.

T 01 ∫ 2 2 | | P = lim s(t) dt, E = ∞s sT Elettronica II - D. Manstretta Sedra/Smith © 2010 by Oxford Univ. Press, Inc. 27 T →∞ −T 000 2.

• Segnali di energia, segnali non di potenza per cui esiste l’integrale finito.

T 0 ∫ 2 2 | | E = lim s(t) dt, P = 0s sT →∞ −T 00 2.

Qualche idea iniziale CE 2.

Serie di Fourier

OpAmp OpAmp Folded Folded Cascode: Cascode: CMRR CMRR.

Definizione

I segnali rappresentano l’ingresso del nostro sistema di telecomunicazione atto a trasmetterli nella maniera più efficiente e recuperarli infine con la massima fedeltà e minima distorsione possibile, in conseguenza anche del canale trasmissivo che sappiamo essere fonte di distorsione.

~ ~ ~(g ~(g2 2 3 3R ed R R ged rR , CMRRg r , CMRRr ) ! r ) !o4 o6 o4 m o o6 m o m o m o.

Dato un segnale reale periodo, Fourier dimostrò che è sempre possibile scrivere lo stesso segnale in forma di sommatoria di infiniti termini complessi, chiamati coefficienti di Fourier moltiplicati per degli esponenziali complessi, secondo la formula in forma esponenziale:

Si avrà dunque Si avrà dunque CMRR un molto CMRR elevato, molto elevato, OpAmp a OpAmp due stadi. a due stadi.

T 0 ∞ 1 ∫ 2 2π nt 2π nt j j ∑ s(t) = c e c = s(t) e dt T T 00 nn T −T 00 n−∞ 2.

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Conoscendo l’andamento sul periodo è possibile ricostruire tutto l’andamento del segnale. L’andamento in frequenza, ossia il suo spettro è descritto dal modulo e fase dei coefficienti di Fourier. B = 3f0.

Lo spettro è bilatero poiché esistono anche frequenze negative. Esiste dunque un legame diretto tra tempo-frequenza poiché il segnale definito nel tempo ha una descrizione anche in frequenza. Si nota inoltre che se il segnale nel tempo è continuo allora avrà uno spettro discreto (sia modulo che fase).

Si parla dunque di frequenza fondamentale e di armoniche, ovvero multiple intere della frequenza fondamentale per cui lo spettro esiste. Si deduce che non servono tutte le frequenze. Infine un’ultima quantità importante è la banda di un segnale, ossia la massima frequenza positiva per cui lo spettro esiste, nell’esempio precedente la banda è 3 volte la frequenza fondamentale.

Esempio serie di Fourier: rettangolo periodico

Prendiamo un generico segnale periodico composto da un rettangolo di ampiezza A decentrato periodico e ne calcoliamo i coefficienti di Fourier per poi descriverne lo spettro (generalmente con spettro si intende il modulo dei coefficienti di Fourier, la fase viene trascurata).

Serie di Fourier CE 1.

OpAmp Folded Cascode: CMRR.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier con il seguente integrale:

( )πnτ sin T 0 ~ ~(g2 3R ed R g r , CMRR r ) ! 1 A A nτ ∫ 2 T2π nt o4 o6 m o m o j 0 c = Ae dt = = sinc( ) T 0 n πn Si avrà dunque un CMRR molto elevato, T T T T −T 00 0 0 0 T2 0 OpAmp a due stadi.

Abbiamo definito una funzione molto importante nella teoria dei segnali, il seno cardinale.

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Il seno cardinale è una funzione continua nel tempo o frequenza e si annulla tutte le volte che l’argomento assume un valore intero diverso da zero. Se l’argomento si annulla, l’ampiezza vale unitaria. Inoltre è una funzione decrescente definita su tutto l’asse delle ascisse.

Tornando al nostro esempio. Lo spettro, ossia il modulo dei coefficienti di Fourier è rappresentato da quei segmenti verticali esistenti alle frequenza multiple della fondamentale. In accordo con il legame tempo-frequenza lo spettro è bilatero discreto, inoltre essendo il nostro segnale reale pari allora i coefficienti di Fourier esistenti saranno reali dispari.

Esempio serie di Fourier: coseno

Partendo da un segnale coseno periodo nel tempo possiamo sfruttare qualche proprietà trigonometrica per riscriverlo come somma di esponenziali complessi dimezzati in ampiezza.

Serie di Fourier CE 2.

OpAmp OpAmp Folded Folded Cascode: Cascode: CMRR CMRR.

Come vedremo più avanti esiste una proprietà delle serie di Fourier per cui se un segnale generico viene moltiplicato per esponenziali complessi multipli del periodo allora i coefficienti di Fourier verranno traslati di ugual posizioni.

s(t) A 2π nt 2π nt j −j s(t) = Acos(w t) = (e + ) T T0 00 2 ~ ~ ~(g ~(g2 2 3 3R ed R R ged rR , CMRRg r , CMRRr ) ! r ) !o4 o6 o4 m o o6 m o m o m o tT0 Si avrà dunque Si avrà dunque CMRR un molto CMRR elevato, molto elevato, OpAmp a OpAmp due stadi. a due stadi.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier: | | c AnT 0 A{1 c = n = − 1,1 ∫ 22 2π nt j nc = s(t) e dt = 2T 0n T 0 altrimenti −T 00 2 1 1 f−.

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T T0 0 è un risultato atteso poiché il segnale è pari reale dunque i coefficienti sono dispari reali.

Esempio serie di Fourier: seno

Partendo da un segnale coseno periodo nel tempo possiamo sfruttare qualche proprietà trigonometrica per riscriverlo come differenza di esponenziali complessi dimezzati in ampiezza e complessa. Come vedremo più avanti esiste una proprietà delle serie di Fourier per cui se un segnale generico viene moltiplicato per esponenziali complessi multipli del periodo allora i coefficienti di Fourier verranno traslati di ugual posizioni.

s(t) A 2π nt 2π nt j −j s(t) = Acos(w t) = (e − ) T T0 00 2j tT0 | | c An.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier: 2T 0 A{1 c = n = − 1,1 ∫ 2 2π nt j nc = s(t) e dt = 2jT 0n T 1 1 f−T 0 altrimenti 00 −2 T T0 0.

È un risultato atteso poiché il segnale è dispari reale dunque i coefficienti sono dispari immaginari.

Serie di Fourier CE 3.

Serie di Fourier forme alternative

OpAmp Folded Cascode: CMRR.

Esempio serie di Fourier: delta di Dirac

Studiando il segnale rettangolare periodica precedentemente visto possiamo pensare di considerare rettangoli sempre più stretti riducendo la durata ma sempre avente area unitaria, ~ ~(g2 3R ed R g r , CMRR r ) ! passando al limite dunque definiamo un segnale molto importante che è la delta di Dirac, non o4 o6 m o m o Si avrà dunque un CMRR molto elevato, è una funzione ma una distribuzione. OpAmp a due stadi.

Calcoliamo i coefficienti di Fourier, sfruttando il risultato del segnale rettangolare.

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Relazione tempo - frequenza

Analizzando i grafici precedenti si vede che aumentando la durata dei rettangoli e dunque la durata in cui vivono nel tempo e maggiore sarà la componente in continua diminuendo le armoniche e difatti la banda del segnale. Analogamente più si restringe la durata nel tempo e più la sinc si allarga aumentando in ampiezza le componenti spettrali delle armoniche aumentando così la banda del segnale.

Serie di Fourier CE 4.

OpAmp OpAmp Folded Folded Cascode: Cascode: CMRR CMRR.

Si deduce una importante proprietà che lega il tempo con la frequenza secondo cui idealmente un segnale a banda infinita equivalentemente molto grande è un segnale di durata infinitesima ossia molto piccola.

Proprietà serie di Fourier

~ ~ ~(g ~(g2 2 3 3R ed R R ged rR , CMRRg r , CMRRr ) ! r ) !o4 o6 o4 m o o6 m o m o m o.

Esistono proprietà molto importanti che ci verranno utili quando si faranno operazioni tra segnali, l’idea è di trovare un modo per capire cosa accade in frequenza allo spettro e dunque ai coefficienti di Fourier quando combino tramite operazioni segnali nel tempo.

Si avrà dunque Si avrà dunque CMRR un molto CMRR elevato, molto elevato, OpAmp a OpAmp due stadi. a due stadi.

• Linearità: ss(t) = as (t) + s (t) ⇒ c = ac + bc1 2 n n1 n2.

Se il segnale nel tempo può essere scritto come combinazione lineare di sotto-segnali aventi lo stesso periodo del segnale originale allora i suoi coefficienti di Fourier sono pari alla combinazione lineare dei coefficienti di Fourier dei sotto-segnali che lo compongono.

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• Ritardo/anticipo: 2π nt 1j ss(t − t ) ⇒ c e T 01 n.

Se il segnale nel tempo subisce traslazioni nel tempo allora i coefficienti di Fourier saranno quelli del segnale centrato nell’origine moltiplicato per un esponenziale complesso che terrà conto del ritardo o anticipo. La traslazione nel tempo farà cambiare solo la fase dei coefficienti e non il modulo.

• Sfasamento nel tempo: 2π n t1j v sv(t) = s(t) e ⇒ c = cT 0 n n−1.

Se al mio segnale nel tempo ne faccio il prodotto con un esponenziale complesso multiplo del periodo allora i coefficienti di Fourier subiscono una traslazione in frequenza pari all’intero multiplo del periodo.

• Integrazione t T∫ 0 v sv(t) = s(τ)dτ ⇒ c = − j cn n2π n0.

Effettuare l’operazione di integrazione su un segnale periodico per cui il risultato è ancora periodico allora i coefficienti di Fourier sono quelli del segnale originale moltiplicati per un coefficiente negativo inversamente proporzionale alla frequenza fondamentale.

• Derivazione d 2π nvv(t) = s(t) ⇒ c = j cn ndt T0.

Serie di Fourier CE 5.

OpAmp Folded Cascode: CMRR.

Effettuare l’operazione di derivazione su un segnale periodico per cui il risultato è ancora periodico allora i coefficienti di Fourier sono quelli del segnale originale moltiplicati per un coefficiente positivo direttamente proporzionale alla frequenza fondamentale.

Risposta di un sistema lineare

Supponendo di avere un segnale periodico e di farlo passare attraverso un sistema lineare ~ ~(g2 3R ed R g r , CMRR r ) ! o4 o6 m o m o avente funzione di trasferimento H(f). Dalla teoria di controlli Automatici sappiamo che un processo di questo tipo mi restituirà un segnale avente lo stesso periodo che sarà al più attenuato/amplificato in ampiezza e sfasato in fase ed essendo lineare non produrrà distorsione togliendo o aggiungendo componenti spettrali.

Si avrà dunque un CMRR molto elevato, OpAmp a due stadi.

( ( ))∞ ∞ ( )n 2π nt ns(t) v(t)2π nt j − θj ∑ s(t) = c e T T∑ v(t) = c H eT 0 0H(f)0n n T0.

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n−∞ n−∞.

Potenza di un segnale periodico

Supponendo di avere un segnale composto dalla combinazione di due coseni di ampiezza diversa e aventi periodo multiplo. Per il principio di linearità possiamo calcolare la combinazione delle potenze dei singoli sotto segnali, la sua potenza sul periodo è definita come:

( ) ( )2π t 4π t s(t) = A cos + B cos T T0 0 T 0 2 21 A B ∫ 2 2 | | P = lim s(t) dt = +s T 2 2 −TT →∞ 000 2.

Questo è un risultato molto importante perché permette di definire una nuova strada risolutiva per il calcolo della potenza di un segnale periodica senza passare dal tempo, ma bensì servendosi solo della descrizione in frequenza. Secondo il teorema di Parseval:

T 0 ∞ 1 ∫ 2 22 ∑ | | | | P = lim s(t) dt = cs n.