Appunti completi per Analisi matematica II

Revisionato il 02/11/2026

di maurizio.costa.03

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Gli appunti di Analisi matematica II affrontano i seguenti argomenti: spazio Rn, funzioni di più variabili, limiti e continuità di funzioni di più variabili, calcolo …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria dell'informazione iii

Dal corso del Prof. Lancelotti Sergio

Università Politecnico di Torino

A.A. 2026-2027

53 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

DISPENSA

ANALISI MATEMATICA 2

INDICE

1. Spazio Rn 3

2. Funzioni di più variabili 7

3. Limiti e continuità di funzioni di più variabili 9

4. Calcolo differenziale di funzioni di più variabili 12

5. Integrali multipli 21

6. Integrali curvilinei 28

7. Integrali di superficie 33

8. Teoremi di Green, Stokes e Gauss 36

9. Campi vettoriali conservativi 38

10. Serie numeriche 41

11. Serie di funzioni. Serie di potenze 48

2 N

1 SPAZIO R

1.1 DEFINIZIONE E PROPRIETÀ n

Si considerino i naturali n N : n ≥ 1. Si denota con R (letto ”erre enne”) il prodotto cartesiano

∈

dell’insieme dei numeri reali n volte. Dunque si scrive

R R R

n = × ⋯ ×

volte

n n

Gli oggetti dell’insieme R sono detti n− uple o, a seconda del contesto, punti o vettori di R .

R R}

n = {(x , … , ) : , … , ∈

x x x

1 1

n n

I numeri reali contenuti all’interno dei vettori sono detti componenti di x , dove x = (

, … , 0

). Se tutte le componenti del vettore sono nulle, il vettore è definito come .

x x R

1 n

Richiamando dall’Algebra le nozioni sui vettori, è possibile definire le operazioni di somma e

prodotto per scalare come segue

+ = (x , … , ) + (y , … , )

x y x y

1 1

n n

= (x + , … , + ),

y x y

1 1 n n

= (λx , … , )

λx λx

1 n

La somma tra vettori gode delle proprietà associativa, commutativa ed esistenza dell’elemento

neutro 0. Il prodotto per scalare invece gode delle proprietà associativa, commutativa,

distributiva rispetto alla somma ed esistenza dell’elemento neutro 1.

1.2 SPAZIO VETTORIALE. NORMA n

La presenza delle precedenti operazioni definisce lo spazio R come uno spazio vettoriale su

R di dimensione n . Essendo uno spazio vettoriale, è possibile scrivere ogni vettore

appartenente ad esso mediante una sua base e degli opportuni coefficienti, creando cosi una

combinazione lineare. Si definisce base canonica di R l’insieme dei vettori ei tali per cui ogni

vettore ha componenti tutte nulle tranne la i− esima che vale 1, facendo scorrere indice i =

u n

1 , . . . , n . Dunque generico vettore v dello spazio sarà

u n n

∑

= (v , … , ) =

v v v e

1 n i i

i=1 n

Come nei generici spazi vettoriali introdotti in Algebra Lineare, anche in R è definita

l’operazione di prodotto scalare . Dati due vettori si definisce il prodotto scalare come

∑

⋅ =

x y x y

i i

i=1

Si definisce in R la norma , detta modulo o valore assoluto se n = 1, come

3 1/2

( )

∑ 2

2 2

∥x∥ = ⋅ = +⋯+ =

x x x x x

1 n i

i=1

Si dice che x e y sono ortogonali se x · y = 0.

La norma rappresenta la distanza del punto x da 0. Se la norma è 1, il vettore si dice anche

versore .

La norma gode di alcune proprietà: R n

∣∣x∣∣ ≥ 0∀x ∈ ;

∣∣x∣∣ = 0 ⟺ = 0;

2. x R n

∣∣λx∣∣ = ∣λ∣∣∣x∣∣∀λ ∈ ∀x ∈ ;

3. R,

R n

∣∣x + ≤ ∣∣x∣∣ + ∣∣y∣∣∀x, ∈ (disuguaglianzatriangolare).

4. y∣∣ y

1.3 PRODOTTO VETTORIALE

Siano u e v due vettori di R . 3

Si definisce prodotto vettoriale (o esterno) di u e v , il vettore w = u v : w R

∧ ∈

i j k

× =

u v u u u

x y z

v v v

x y z

dove i, j, k sono i versori fondamentali degli assi, nonchè vettori della base canonica di R .

Il prodotto vettoriale gode delle proprietà distributiva, associativa, e anticommutativa.

Il vettore ottenuto dal prodotto vettoriale risulta ortogonale ai due vettori ed al piano individuato

da essi. Se i due vettori sono paralleli, allora il prodotto vettoriale è il vettore nullo.

N

1.4 TOPOLOGIA DI R

Siano R e r > 0.

x ∈

Si definisce intorno aperto (o palla aperta) di centro e raggio r l’insieme

x 0

R n

( ) = {x ∈ : ∥x − ∥ <

B x x r}

0 0

L’insieme contiene i punti con distanza minore di r da . Se sono contenuti anche i punti

x 0

distanti esattamente r , si dice intorno chiuso (o palla chiusa) e si indica

R n

(x ) = {x ∈ : ∥x − ∥ <

B x r}

0 0

n n

Siano R e U R . Si dice che U è intorno di se esiste r > 0 tale che Br ( ) U

x u x x

∈ ⊆ ⊆

0 0 0

. 4

1.4.1 PUNTI PARTICOLARI

Siano ora Ω R e R . Si definisce

⊆ ∈

1. punto interno ad Ω se esiste r > 0 tale che Br ( ) Ω. Si dice parte interna di Ω

x x ⊆

0 0

l’insieme dei punti interni di Ω e si denota int (Ω);

2. punto isolato per Ω se esiste r > 0 tale che Ω ∩ Br ( ) = { } ;

x x x

0 0 0

3. punto di accumulazione per Ω se per ogni r > 0 si ha

x 0 [Ω ∩ ( )] 

= ∅

B x 0

ossia se ogni intorno di contiene almeno punto di Ω che non sia ;

x u x

0 0

4. punto di frontiera per Ω se per ogni r > 0 si ha

x 0 n

Ω ∩ (x ) 

= ∅, (R ∖ Ω) ∩ (x ) 

= ∅

B B

0 0

r r

Si dice frontiera di Ω(o bordo di Ω) l’insieme dei punti di frontiera per Ω. Si denota ∂ Ω. Si

chiama infine chiusura di Ω l’insieme di Ω con il suo bordo e si denota Ω.

Si elencano ora alcune proprietà. Vale sempre che

⇒

1. se è interno a Ω è di accumulazione per Ω;

x x

0 0

⇔

2. se Ω, allora è isolato per Ω non è di accumulazione per Ω;

x x x

∈

0 0 0

⇒

3. se è isolato per Ω è di frontiera per Ω;

x x

0 0

⇒

4. se / Ω e è di frontiera per Ω è di accumulazione per Ω;

x x x

∈

0 0 0

⇒

5. se Ω è di accumulazione per Ω ma non è interno ad Ω è di frontiera per Ω.

x x

∈

0 0

1.4.2 PROPRIETÀ INSIEMISTICHE n

Definiti alcuni tipi di punti, è ora possibile dare delle nozioni insiemistiche. Sia Ω R .

⊆

Si dice che Ω è aperto se ogni suo punto gli è interno, ossia se int (Ω) = Ω. Si dice invece che

è chiuso se C Ω è aperto.

Si dice che Ω è limitato se esiste r > 0 tale che Ω ∩ Br (0), ovvero se esiste

r > 0 tale che ||x|| ≤ r per ogni x Ω. Se Ω non è limitato, si dice che è illimitato .

∈

Si dice che Ω è compatto se è chiuso e limitato. Valgono le seguenti proprietà:

1. e R sono aperti e chiusi contemporaneamente;

∅ n

2. Ω R è chiuso se e solo se ∂ Ω Ω(ossia se ha bordo appartenente ad esso);

⊆ ⊆ n

3. Ω R è aperto se e solo se Ω ∩ ∂ Ω= ;

⊆ ∅

n ¯

4. se Ω R è chiuso, allora Ω= Ω;

⊆

5. l’unione di insiemi aperti è insieme aperto;

u n 5

6. l’intersezione di finiti insiemi aperti è insieme aperto;

u n

7. l’unione di finiti insiemi chiusi è insieme chiuso;

u n

8. l’intersezione di insiemi chiusi è insieme chiuso.

u n 6

2 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

2.1 FUNZIONI A VALORI REALI

Sia n N, sia Ω R e sia f : Ω → R.

∈ ⊆ n

La funzione f attribuisce ad ogni valore di Ω, detto dominio , punto di R , codominio . I

u n

punti di R sono caratterizzati da n componenti; si dice che la funzione f è una funzione di n

, … ,

variabili reali. Dato x = ( ) , allora

x x ∈

1 n

, … ,

f ( x ) = f ( ) R

x x ∈

1 n

Se n = 2 le variabili sono dette x, y ; n = 3 sono dette x, y, z . Si applicano le medesime

definizioni delle funzioni a singola variabile anche a quelle di più variabili: dominio, codominio,

immagine e controimmagine. Il grafico della funzione di n variabili appartiene ad uno spazio di

dimensione n +1 (come nel caso dell’Analisi 1, a una variabile corrisponde grafico nel

u n

piano di dimensione 2) e si identifica come

, … , , … , , … ,

Gf = ( , y ) R n+1 : ( ) Ω , y = f ( ) Per le funzioni di più

x x x x x x

∈ ∈

1 1 1

n n n

variabili non si definiscono monotonia, periodicità, parità e disparità. Si può però discutere la

simmetria rispetto ad asse o ad piano.

u u

n n

2.2 FUNZIONI A VALORI VETTORIALI

n m

Sia n N , n ≥ 1, sia Ω R , Ω ̸ = e sia m N , m ≥ 2. La funzione F : Ω → R è una

∈ ⊆ ∅ ∈ m

funzione a valori vettoriali e definisce per ogni n− upla di Ω una m− upla di R .

= (x) ⟺ (x , … , ) = (y , … , )

y F F x y

1 1

n m

Sono definite quindi m funzioni di n variabili da Ω a R tali che

(y , … , ) = (x) = (f ( … , (

y F x), f x))

1 1

m m

Anche in questo caso di funzione valgono tutti i concetti dell’Analisi 1. Il dominio di una

, … ,

funzione a valori vettoriali è l’intersezione dei domini di tutte le sue componenti ,

f f

1 m

ossia ) = ) ∩ … ∩ )

dom(F dom(f dom(f

1 m

2.2.1 CAMPO VETTORIALE

Un caso particolare di funzione a valori vettoriali è quando n = m = 2, si parla di campo

vettoriale .

Nel caso di campo di vettori si introduce il concetto di invertibilità della funzione. Dato n N , n

∈

n n

≥ 2 e dato Ω R si definisce una funzione F : Ω → R . F è invertibile se è biiettiva , ossia

⊆

se sussistono le proprietà di suriettività e iniettività.

Nel caso F sia invertibile, esiste una funzione G : im ( F ) → Ω tale che G ◦ F = I| Ω, dove I è la

funzione identità di Ω. La funzione G è detta funzione inversa di F e si denota G = F −1 (letto

” F meno uno”). 7

2.2.2 CAMBIAMENTO DI COORDINATE

Un esempio di campo vettoriale si ha con le funzioni di cambiamento di coordinate, in

particolare polari piane, polari spaziali e cilindriche.

Il sistema di coordinate polari è caratterizzato dalla coppia ( ρ, θ ), ove ρ è il raggio e θ

l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e il raggio. Si ha dunque

= + = cos = sin

ρ x y x ρ θy ρ θ

2 2

Il campo di cambiamento coordinate da polari a cartesiane è quindi

Φ(ρ, = (ρ cos sin

θ) θ, ρ θ)

3 LIMITI E CONTINUITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILI

3.1 LIMITE DI FUNZIONE

n n

Sia Ω R , Ω ̸ = , sia R punto di accumulazione per Ω e siano infine una funzione

x u

⊆ ∅ ∈

0 n

n m

f : Ω → R e vettore ℓ R . Si dice che f ha limite l per x → se

u x

∈ 0

∀ρ > 0∃r > 0 :

∀x ∈ Ω, 0 < ∣∣x − ∣∣n < ⇒ ∣∣f (x) − ℓ∣∣m <

x r ρ

Si scrive lim (x) = ℓ

x→x 0

Se n = m = 1 si ha la nozione di limite data in Analisi 1. Nel caso di funzioni con m = 1 si può

dare la definizione di limite + ∞ . Siano punti e insiemi definiti per il limite ℓ . Si dice che f ha

limite ±∞ per x → se

x 0 ∀a ∈ > 0 :

R∃r

∀x ∈ Ω, 0a

e si scrive lim (x) = +∞

x→x 0

La nozione si inverte per il limite −∞ .

Per funzioni di più variabili non ha senso introdurre la definizione di limite per x →±∞ . Si può

però dare la definizione di limite per ||x|| →±∞ che tende a ℓ o ±∞ .

3.2 TEOREMI. ALGEBRA DEI LIMITI

Si enunciano alcuni teoremi e alcune proprietà dei limiti di funzioni a più variabili.

3.2.1 UNICITÀ DEL LIMITE

n n m

Siano Ω R , Ω ̸ = , R punto di accumulazione per Ω, f : Ω → R una funzione e ,

x l

⊆ ∅ ∈

0 1

R due valori limite per f ( x ). Allora vale il teorema di unicità del limite , ossia

l ∈

2 =

l l

1 2

3.2.2 ALGEBRA DEI LIMITI

n m n

Siano ora Ω R , Ω ̸ = , f, g : Ω → R e R punto di accumulazione per Ω.

x u

⊆ ∅ ∈

0 n

Se esistono i limiti per tali funzioni e valgono

lim (x) = ℓ , lim = ℓ

f g(x)

1 2

x→x x→x

0 0

allora lim (f (x) + = ℓ + ℓ

g(x)) 1 2

x→x 0

3.2.3 ESISTENZA DEL LIMITE A PIÙ VARIABILI

Un teorema più peculiare delle funzioni di più variabili, a differenza dei precedenti (estensioni

dall’Analisi 1), è il seguente.

n n m

Siano Ω R , Ω ̸ = , R punto di accumulazione per Ω, f : Ω → R una funzione tale

⊆ ∅ ∈

, … , , … ,

che f = ( ) e l = ( ). Allora lim x→ f ( x ) = l se e solo se

f f l l x

1 1 0

m m

∀i = 1, … , : lim ( = ℓ

m f x)

i i

x→x 0

3.3 CONTINUITÀ

n m

Siano Ω R , Ω ̸ = , Ω e f : Ω → R una funzione. Si dice che f è continua in se

x x

⊆ ∅ ∈

0 0

∀ρ > 0∃r > 0 :

∀x ∈ Ω, 0 < ∥x − ∥ < ⟹ ∥f (x) − (x )∥ <

x r f ρ

R R

0 0

n m

Se f è continua in ogni punto del suo dominio Ω, allora si dice che f è continua .

3.3.1 PROPRIETÀ DEI PUNTI

Se è punto di accumulazione per Ω, allora

x u

0 n

e continua in ⟺ lim (x) = (x )

f x f f

0 0

x→x 0

Se invece è punto isolato per Ω, allora f è sempre continua in . Nel caso vettoriale,

x u x

0 0

, … ,

vale che f è continua in se e solo se tutte le sue componenti lo sono.

x f f

0 1 m

3.3.2 COMPOSIZIONE DI FUNZIONI CONTINUE

Anche nel caso R sussistono le proprietà algebriche delle funzioni di una variabile continue.

Infatti vale la costanza della continuità quando vengono sommate due funzioni continue: date

due funzioni f, g : Ω → R , allora f + g è continua.

Vale inoltre la continuità una volta composta una funzione da due funzioni continue: siano Ω ⊆

n m m k

R e Λ R non vuoti, Ω, f : Ω → R e g : Λ → R due funzioni tali che f ( ) Λ. Sia f

x x

⊆ ∈ ∈

0 0

continua in e g in f ( ). Allora g ◦ f è continua in .

x x x

0 0 0

n m

Vale la proprietà del limite della funzione composta: siano Ω R e Λ R non vuoti, f : Ω →

⊆ ⊆

m k n

R e g : Λ → R due funzioni tali che im ( f ) Λ e R punto di accumulazione.

x u

⊆ ∈

0 n

Valgano inoltre i seguenti fatti:

1. lim x→ f ( x ) = e sia punto di accumulazione per Λ;

x y y

∃ 0 0 0

2. limy→ g ( y ) = ℓ ;

∃ 0

3. g sia continua in o r > 0 tale che f ( x ) ̸ = per ogni x (Ω ∩ Br ( )) { } .

y y x x

∃ ∈

0 0 0 0

Allora vale lim (g ∘ )(x) = ℓ

x→x 0

3.3.3 PROPRIETÀ DELLA CONTROIMMAGINE

n n m

Sia Ω R non vuoto, sia f : Ω → R e sia A R . Allora valgono i seguenti fatti

⊆ ⊆ −1

aperto ⟹ (A) aperto

1. A f −1

chiuso ⟹ (A) chiuso

2. A f

3.3.4 TEOREMA DI WEIERSTRASS n

Anche per le funzioni di più variabili vale il Teorema di Weierstrass . Sia Ω R compatto

⊆

non vuoto e sia f : Ω → R una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo in Ω.

4 CALCOLO DIFFERENZIALE DI FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILI

4.1 DERIVATE PARZIALI

n n m

Sia Ω R insieme aperto e non vuoto, sia Ω, sia v R e sia f : Ω → R .

u x

⊆ ∈ ∈

n n

Si dice che f è derivabile in rispetto a v se esiste in R il limite

x 0 (x + − (x )

f tv) f

0 0

lim

t→0

Se esiste, si denota anche con il simbolo ∂f ( )

x 0

∂v

e si dice derivata di f in rispetto a v .

x 0 n

Nel caso v sia vettore della base canonica di R , quindi v = ei , allora la derivata è detta

u n

derivata parziale di f rispetto a xi in . Evidentemente se n = m = 1 si ha il concetto di

x 0

derivata dell’Analisi 1. La notazione utilizzata se n = 2 = 3 è la terna destrorsa degli ass

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