Appunti completi del corso di Analisi matematica 2

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Analisi Matematica II

Autore: Docenti:

Filippo Viappiani Luca Goldoni

Sergio Polidoro

Anno Accademico 2021/2022

Indice

• 1 Funzioni di più variabili 1
• 1.1 Topologia in Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.3 Funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 2 Limiti e continuità 10
• 2.1 Definizione di limite per funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
• 2.2 Calcolo di limiti o prova della loro non esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.2.1 Prova della non esistenza di un limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
• 2.2.2 Prova dell’esistenza di un limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.3 Proprietà topologiche delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 3 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 33
• 3.1 Significato geometrico delle derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 3.2 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 3.3 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 3.4 Calcolo delle derivate e dei gradienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 3.4.1 Derivazione delle funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 3.5 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 3.5.1 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 4 Massimi e minimi 64
• 4.1 Massimi e minimi liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 4.1.1 Studio dei punti critici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• 4.2 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 4.2.1 Funzioni di due variabili soggette a un vincolo . . . . . . . . . . . . . 75
• 4.2.2 Funzioni di tre variabili soggette a un vincolo . . . . . . . . . . . . . 80
• 4.2.3 Funzioni di tre variabili soggette a due vincoli . . . . . . . . . . . . . 82
• 5 Funzioni vettoriali 84
• 5.1 Differenziabilità delle funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 5.2 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 5.2.1 Lunghezza di un arco di curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 5.2.2 Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 5.2.3 Integrali di linea di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 5.3 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 5.3.1 Grafici di funzioni di due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.3.2 Superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
• 6 Integrali multipli 110
• 6.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 6.1.1 Cambiamenti di variabili per integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . 112
• 6.1.2 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
• 6.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• I
• 6.2.1 Cambiamenti di variabili per integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . 116
• 7 Campi vettoriali 125
• 7.1 Campi conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
• 7.2 Teorema di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
• 7.3 Operatori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
• 7.3.1 Rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
• 7.3.2 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
• 7.4 Integrale di superficie di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
• 7.4.1 Bordo di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
• 7.4.2 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
• 7.4.3 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
• 8 Equazioni differenziali 153
• 8.1 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
• 8.2 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
• 8.2.1 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . 157
• 8.2.2 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . 158
• A Fondamenti di Geometria e Algebra Lineare 162
• A.1 Spazio vettoriale Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
• A.1.1 Base canonica di Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
• A.2 Prodotto scalare euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
• A.2.1 Proprietà della norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
• A.2.2 Angolo fra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
• A.2.3 Proprietà della distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
• A.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
• A.3.1 Proprietà del prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
• A.4 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
• A.4.1 Forme quadratiche in R² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
• A.4.2 Forme quadratiche in Rⁿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
• II Funzioni di più variabili

1 Funzioni di più variabili

L’obiettivo principale di questo corso è fornire gli strumenti per l’analisi di funzioni di più variabili, ovvero funzioni f definite da un insieme D a valori in un insieme B dove tali insiemi sono rispettivamente un sottoinsieme di Rⁿ e un sottoinsieme di R^m.

f : D → B (1)

A ⊆ Rⁿ, B ⊆ R^m (2)

Prima di passare alle definizioni inerenti le funzioni è necessario richiamare e ampliare i concetti della topologia in n dimensioni.

1.1 Topologia in Rⁿ

Siano A, C ed E tre sottoinsiemi di Rⁿ, x₀ un punto di Rⁿ, x₁ un punto di A ed r un reale positivo.

Palla aperta

Si definisce palla aperta di raggio r e centro x₀, indicata con B_r(x₀), l’insieme dei punti di Rⁿ la cui distanza da x₀ è minore di r.

def B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ : d(x, x₀) < r}

y y x₀ x₀ r r O x x O 0 r x x z

(a) (b) (c)

Punto interno

Il punto x₁ si dice interno all’insieme A se e solo se esiste un valore di r tale per cui la palla aperta di raggio r e centro x₁ è completamente contenuta in A.

def x₁ è interno ad A ⇐⇒ ∃r > 0 : B_r(x₁) ⊆ A

1 Funzioni di più variabili

y A B_r(x₁) x₁ r O x

Punto di frontiera

Il punto x₀ si dice di frontiera per l’insieme A se e solo se per ogni valore di r l’intersezione fra la palla aperta di raggio r e centro x₀ sia con A che con A^C non è vuota.

def x₀ è di frontiera per A ⇐⇒ ∀r ∈ R B_r(x₀) ∩ A ̸= Ø ∧ B_r(x₀) ∩ A^C ̸= Ø

y B_r(x₁) A x₁ r O x

L’insieme dei punti di frontiera di un insieme si denota con il simbolo.

def ∂A = {x ∈ Rⁿ : x è di frontiera per A}

Punto esterno

Il punto x₀ si dice esterno all’insieme A se e solo se esiste un valore di r tale per cui la palla aperta di raggio r e centro x₀ intersecata con l’insieme A dà l’insieme vuoto.

def x₀ è esterno ad A ⇐⇒ ∃r : B_r(x₀) ∩ A = Ø

2 Funzioni di più variabili

y x₁ B_r(x₁) r A O x

Insieme aperto

L’insieme A si dice aperto se solo se tutti i suoi punti sono punti interni ad A.

def A è aperto ⇐⇒ ∀x₁ ∈ A ∃r : B_r(x₁) ⊆ A

Si noti come la definizione di palla aperta faccia riferimento a un insieme aperto.

Insieme chiuso

L’insieme C si dice chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.

def C è chiuso ⇐⇒ C^C è aperto

Unione e intersezione di insiemi chiusi e aperti

Siano A₁, A₂, ..., A_n, ... infiniti insiemi aperti e siano C₁, C₂, ..., C_n, ... infiniti insiemi chiusi.

Valgono le seguenti proprietà.

• L’unione di due insiemi aperti è un insieme aperto.
• A_i e A_j aperti ⇒ A_i ∪ A_j aperto
• L’unione di infiniti insiemi aperti è aperta.
• A₁, A₂, ..., A_n, ... aperti ⇒ ∞[n=1 A_n aperto
• In generale, non è vero che l’intersezione di infiniti insiemi aperti è aperta.
• A₁, A₂, ..., A_n, ... aperti ⇒ ∞\n=1 A_n aperto
• L’intersezione di due insiemi chiusi è un insieme chiuso.
• C_i e C_j chiusi ⇒ C_i ∩ C_j chiuso
• 3 Funzioni di più variabili
• L’intersezione di infiniti insiemi aperti è aperta.
• C₁, C₂, ..., C_n, ... chiusi ⇒ ∞\n=1 C_n chiuso
• In generale, non è vero che l’unione di infiniti insiemi chiusi è chiusa.
• C₁, C₂, ..., C_n, ... chiusi ⇒ ∞[n=1 C_n chiuso

Interno di un insieme

Si definisce interno di A, indicato con Å, l’insieme di tutti i punti interni ad A.

def Å = {x ∈ A : x è interno ad A}

Banalmente Å è un insieme aperto.

Intorno di un punto

Si definisce intorno di x₀ ogni insieme aperto tale da contenere il punto x₀.

def A intorno di x₀ ⇐⇒ A è aperto e x₀ ∈ A

In particolare la palla aperta è detta anche intorno sferico.

Punto di accumulazione

Un punto x₀ si dice di accumulazione per un generico insieme E se e solo se per ogni valore di r la palla aperta di centro x₀ e raggio r contiene infiniti punti di E.

def x₀ di accumulazione per E ⇐⇒ B_r(x₀) contiene infiniti punti di E

Chiusura di un insieme

Si definisce chiusura di A, indicato con A, l’insieme dato dall’unione di A con la sua frontiera.

def A = A ∪ ∂A

Alla luce di questa definizione valgono le seguenti affermazioni.

• La chiusura di un insieme contiene l’insieme stesso che contiene a sua volta il suo interno.
• Å ⊆ A ⊆ A
• Un insieme è chiuso se e solo se esso coincide con la sua chiusura.
• C è chiuso ⇔ C = C
• Se un insieme qualsiasi E contiene un insieme aperto A allora anche l’interno di E contiene A.
• A ⊆ E ⇒ A ⊆ E̊
• Quindi E̊ è il più grande aperto contenuto in E.
• Se un insieme chiuso C contiene un insieme qualsiasi E allora contiene anche la sua chiusura.
• E ⊆ C ⇒ E ⊆ C
• Quindi E è il più piccolo chiuso che contiene E.

4 Funzioni di più variabili

Insieme limitato

Un insieme qualsiasi si definisce limitato se e solo se per ogni elemento di E esiste un valore di r ed un x₀ tali che la sua distanza da x₀ non è maggiore di r.

def E limitato ⇐⇒ ∀x ∈ E ∃x₀, r : ||x − x₀|| ≤ r

Teorema 1. Se un insieme qualsiasi E è limitato allora esiste un valore positivo r′ tale per cui la norma di ogni elemento di E è minore o uguale di r′.

∀x ∈ E ∃r′ > 0 : ||x|| ≤ r′

Dimostrazione Per definizione se E è limitato allora vale la seguente affermazione.

∀x ∈ E ∃x₀, r : ||x − x₀|| ≤ r

Per la disuguaglianza triangolare si può scrivere.

||x|| = ||x − x₀ + x₀|| ≤ ||x − x₀|| + ||x₀||

Mettendo insieme le due disequazioni si trova che.

||x|| ≤ r + ||x₀||

Effettuando una sostituzione si arriva a dimostrare la tesi.

r + ||x₀|| = r′ ⇒ ||x|| ≤ r′ ∀x ∈ E

Si dimostra che se un insieme qualsiasi E è limitato allora esistono n intervalli I₁, I₂, .., I_n del tipo I_k = [a_k, b_k] tali che il loro prodotto cartesiano contenga l’insieme E.

E limitato ⇒ ∃I_k = [a_k, b_k] : E ⊆ nY_i=1 I_k k ∈ N

Insieme compatto

Un insieme qualsiasi E si definisce compatto se e solo se è chiuso e limitato.

def E compatto ⇐⇒ E chiuso e limitato

Segmento

Si definisce segmento di Rⁿ di estremi a e b, indicato con S[a, b] l’insieme formato dalla combinazione convessa di a e b.

def S[a, b] = {x ∈ Rⁿ : x = a + (b − a)t t ∈ [0, 1]}

5 Funzioni di più variabili

Insieme convesso

Un insieme qualsiasi E si definisce convesso se comunque presi due suoi elementi il segmento che li congiunge è contenuto interamente in E.

def E convesso ⇐⇒ ∀a, b ∈ A S[a, b] ⊆ E

A A a a b b

(a) Insieme convesso (b) Insieme non convesso

Poligonale

Se a₀, a₁, ..., a_n sono n + 1 punti distinti dove al massimo possono coincidere il primo e l’ultimo, si definisce poligonale di vertici a₀, a₁, ..., a_n, indicata con P[a₀, a₁, ..., a_n] l’unione di tutti i segmenti che congiungono due punti consecutivi.

def P[a₀, a₁, ..., a_n] = n∪_k=1 S[a_k−1, a_k]

I punti a₀ e a_n si definiscono estremi della poligonale.

Insieme connesso

Un insieme qualsiasi E si definisce connesso se e solo se dati due suoi punti qualsiasi a e b esiste sempre una poligonale di estremi a e b completamente contenuta in E.

def E connesso ⇐⇒ ∀a, b ∈ E P[a, ..., b] ⊆ E

Insieme stellato

Un insieme qualsiasi E si definisce stellato se e solo se esiste un suo punto a tale per cui per ogni altro suo punto b il segmento S[a, b] è contenuto in E.

def E stellato ⇐⇒ ∃a ∈ E : ∀b ∈ E S[a, b] ⊆ E

Si noti come ogni insieme connesso risulti essere stellato.

Regione

Si definisce regione, indicata con R, l’unione di un insieme convesso e aperto A con parte della sua frontiera.

def R = A ∪ B dove A aperto e Ø ⊆ B ⊆ ∂A

Se B è l’insieme vuoto si parla di regione aperta; se B è pari alla frontiera di A si parla di regione chiusa; se B non cade nei casi precedenti si parla di regione generica.

6 Funzioni di più variabili

A A A

(a) Regione chiusa (b) Regione aperta (c) Regione generica

1.2 Funzioni scalari

Le funzioni scalari sono funzioni di più variabili definite da uno spazio vettoriale a dimensione n a valori in R.

def f scalare ⇐⇒ f : D ⊆ Rⁿ → R

Il corso tratterà soprattutto di funzioni di due e tre variabili di cui di seguito verrà fornita una schematizzazione grafica.

y R R² D f f(x) x x

(a) Funzione f da R² a R

y R R³ D g g(x) x x z

(b) Funzione g da R³ a R

Si definisce grafico di una funzione f, indicato con Γ(f), l’insieme formato dalle coppie ordinate x, f(x).

def Γ(f) = {x, f(x) : x ∈ D}

7 Funzioni di più variabili

Nel caso di funzioni scalari il valore f(x) appartiene a R: quindi il grafico di una funzione scalare f definita da un insieme a dimensione n è un sottoinsieme di Rⁿ⁺¹.

f : D ⊆ Rⁿ → R ⇒ Γ(f) ⊆ Rⁿ⁺¹

Questa proprietà e i limiti della mente umana rendono rappresentabili solo i grafici di funzioni di una o due variabili.

Si definisce insieme di livello c di una funzione f, indicato con L(f, c) l’insieme di tutti i valori x del dominio di f tali che f(x) sia uguale a c.

def L(f, c) = {x ∈ D : f(x) = c}

1.3 Funzioni vettoriali

Le funzioni scalari sono funzioni di più variabili definite da uno spazio vettoriale a dimensione n a valori in R^m.

def f vettoriale ⇐⇒ f : D ⊆ Rⁿ → R^m

A seconda dei valori di n ed m le funzioni scalari assumono nomi differenti.

• Nel caso in cui n sia uno ed m sia due si parla di curve piane.
• Nel caso in cui n sia uno ed m sia tre si parla di curve nello spazio.
• Nel caso in cui n sia due ed m sia tre si parla di superfici nello spazio.
• Nel caso in cui n sia uguale a m sia due si parla di campi vettoriali e
• Se n ed m valgono due si parla di campi vettoriali piani.
• Se n ed m valgono tre si parla di campi vettoriali nello spazio.

Si consideri un campo vettoriale piano f.

f : R² → R²

Se, su un unico piano R², si rappresentano tutti i vettori f(x, y) nel proprio punto di applicazione (x, y) si crea una rappresentazione grafica che fornisce un’idea di come sia fatto il campo vettoriale.

8 Funzioni di più variabili

R² y x

Poiché il valore f(x) appartiene allo spazio vettoriale R^m esso può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base canonica.

f(x) = mX_i=1 f_i(x)e_i

Dove le funzioni {f_i} sono funzioni scalari definite su D.

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2 Limiti e continuità

2.1 Definizione di limite per funzioni scalari

Per funzioni di una variabile dire che il limite per x che tende a x₀ di f vale l significa che per qualunque intorno del valore l esiste un intorno di x₀ in cui i punti appartenenti al dominio di f e diversi da x₀ la cui immagine attraverso f appartiene all’intorno di l.

f : R → R

def lim_x→x0 f(x) = l ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x : 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε

Dove x₀ è un punto di accumulazione per la funzione f.

Per funzioni di più variabili scalari, la definizione è del tutto equivalente.

f : D ⊆ Rⁿ → R (3)

x₀ ∈ Acc(f) (4)