Appunti completi del corso di Geometria e Algebra lineare

Università di Modena e Reggio Emilia

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Appunti di Geometria

Autore: Docente:

Filippo Viappiani Fulvia Spaggiari

Anno Accademico 2021/2022

Indice

• 1 Strutture algebriche fondamentali 1
• 1.1 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.2 Campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.3 Insiemi numerici fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 2 Spazi e sottospazi vettoriali 4
• 2.1 Spazio vettoriale euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 2.2 Spazio vettoriale delle n-uple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 2.3 Spazio vettoriale delle matrici di tipo (m, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• X 2.4 Spazio vettoriale di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 K
• 2.5 Regole di calcolo negli spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 2.6 Sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
• 2.6.1 Intersezione e unione di sottospazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . 10
• 2.6.2 Sottospazio Span . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
• 2.6.3 Somma di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 3 Lineare dipendenza e indipendenza 15
• 3.1 Basi e dimensioni di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 3.2 Basi canoniche degli spazi vettoriali notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• n 3.2.1 Base canonica di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 K
• M(m, 3.2.2 Base canonica di n; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 K)
• 3.2.3 Base e dimensione dello spazio euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 3.3 Proprietà delle basi e Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 3.4 Base ordinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 4 Matrici 19
• 4.1 Moltiplicazione fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 4.2 Trasposta di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 4.3 Matrici notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 4.4 Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 4.4.1 Permutazioni e definizione di determinante . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 4.4.2 Proprietà del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 4.4.3 Primo metodo di calcolo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 4.4.4 Secondo metodo di calcolo del determinante e teorema di Laplace . . 26
• 4.4.5 Calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 4.5 Rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 4.5.1 Proprietà del rango di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
• 4.5.2 Minore di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 5 Sistemi lineari 32
• 5.1 Sistemi lineari a gradini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
• 5.1.1 Metodo di Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 5.2 Rango e sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 5.2.1 Secondo metodo per la risoluzione di sistemi lineari . . . . . . . . . . 36
• I 5.3 Formule di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 6 Applicazioni lineari 38
• 6.1 Proprietà delle applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 6.2 Matrici associate ad applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
• 6.3 Diagonalizzazione per similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 6.3.1 Proprietà delle matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 6.3.2 Autovalori e autovettori di un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . 44
• 7 Prodotto scalare e prodotto vettoriale 48
• 7.1 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 7.1.1 Proprietà della norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 7.1.2 Angolo fra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
• 7.1.3 Legame tra ortogonalità e lineare indipendenza . . . . . . . . . . . . 50
• 7.1.4 Basi ortogonali e ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 7.1.5 Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . . . . 52
• 7.2 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 7.2.1 Proprietà del prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 8 Piano euclideo reale 55
• 8.0.1 Coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 8.0.2 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 8.0.3 Legame tra coordinate polari e cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 8.1 Rette del piano euclideo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2
• 8.2 Posizioni di due rette nel piano E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2
• 8.2.1 Rette parallele o incidenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
• 8.2.2 Coefficienti direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 8.2.3 Rette parallele a una retta r e passante per P . . . . . . . . . . . . 61
• 8.2.4 Rette perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
• 8.2.5 Retta perpendicolare a una retta r passante per P . . . . . . . . . . 62
• 8.2.6 Fasci di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 8.3 Distanze in E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2
• 8.3.1 Distanza tra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
• 8.3.2 Distanza tra un punto e una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• 8.4 Aree nel piano E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2
• 8.4.1 Area del triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 9 Spazio euclideo reale 66
• 9.1 Piani nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3
• 9.2 Posizione reciproca di due piani nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3
• 9.2.1 Piani paralleli e piani incidenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 9.2.2 Piano parallelo a un piano σ e passante per P . . . . . . . . . . . . 70
• 9.2.3 Piani perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
• 9.3 Rette nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3
• 9.4 Posizioni di due rette nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3
• II 9.4.1 Coefficienti direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 9.4.2 Assi e piani coordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 9.5 Posizioni reciproche tra rette e piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
• 9.6 Fasci di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 9.7 Distanze nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3
• 9.7.1 Distanza fra due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 9.7.2 Distanza fra un punto e un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
• 9.7.3 Distanza fra un punto e una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• 9.7.4 Distanza fra due rette parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
• 9.7.5 Distanza fra due rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
• 9.8 Volumi nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3
• 10 Isometrie 83
• 10.1 Isometrie nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2
• 10.1.1 Isometrie dirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 10.1.2 Isometrie inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 10.2 Isometrie nello spazio E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3
• 10.2.1 Traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 10.2.2 Rotazioni intorno a una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• 10.2.3 Riflessioni ortogonali rispetto a un piano . . . . . . . . . . . . . . . 89
• 11 Coniche 91
• 11.1 Piano euclideo ampliato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
• 11.2 Definizione e classificazione delle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 11.3 Retta polare e retta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 11.4 Centro di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
• 11.5 Assi di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 11.6 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 11.7 Equazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 11.7.1 Definizione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 11.7.2 Metodo degli invarianti ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

III Strutture algebriche fondamentali

1 Strutture algebriche fondamentali

1.1 Gruppi

Sia G un insieme diverso dall’insieme vuoto.

Si dice operazione binaria interna su G ogni applicazione del tipo:

∗ × →: G G G → ∗ ∗ ∈(x, y) x y x, y, x y G ∗)

La coppia (G, si dice gruppo se soddisfa le seguenti tre condizioni:

• 1. L’operazione è associativa ∀x, ∈ ∗ ∗ ∗ ∗y, z G (x y) z = x (y z)
• 2. L’operazione ammette l’esistenza di un elemento neutro e G tale che ∀x ∈ ∗ ∗G x e = e x = x
• 3. L’operazione ammette l’esistenza dell’inverso di ogni elemento di G tale che ′ ′ ′∀x ∈ ∃x ∈ ∗ ∗G G : x x = x x = e ′

Si può dimostrare che ogni operazione ammette un solo elemento neutro e.

∗ Si può dimostrare che ogni operazione ammette un solo inverso x per ogni elemento x di G. ∗)

Se la coppia (G, soddisfa anche la proprietà commutativa ∀x, ∈ ∗ ∗y G x y = y x ∗) allora (G, si dice gruppo commutativo o abeliano.

Se l’operazione è +, (G, +) è un gruppo additivo, l’elemento neutro si dice zero e si indica con 0, l’inverso di x si dice opposto di x e si indica con −x.

·, ·) Se l’operazione è (G, è un gruppo moltiplicativo, l’elemento neutro si dice unità e si indica con 1, l’inverso di x si dice reciproco di x e si indica con 1/x.

1.2 Campi

△ Sia un insieme non vuoto e siano e ⋆ due operazioni binarie interne su K K.

△ × →: K K K × →⋆ : K K K

△, La terna (K, ⋆) si dice campo se:

• 1. (K, △) è un gruppo commutativo;
• 2. (K − {0}, ⋆) è un gruppo commutativo;
• 3. La seconda operazione ⋆ è distributiva rispetto alla prima ∀x, ∈y, z x ⋆ (y△z) = x ⋆ y△x ⋆ zK

Se per un campo valgono le seguenti proprietà: K

• 1. La proprietà riflessiva ∀x ∈ ≤x xK
• 2. La proprietà antisimmetrica ∀x, ∈ ≤ ∧ ≤ →y x y y x x = yK
• 3. La proprietà transitiva ∀x, ∈ ≤ ∧ ≤ → ≤y, z x y y z x zK
• 4. Comunque presi due elementi di uno dei due è sempre maggiore o uguale dell’altro K ∀x, ∈ ≤ ∨ ≤y x y y xK
• 5. Comunque presi due elementi di con il secondo maggiore o uguale del primo, sommare K loro un terzo elemento di non altera questo rapporto K ∀x, ∈ ≤ → ≤y, z x y x + z y + zK
• 6. Comunque presi due elementi di con il secondo maggiore o uguale del primo, moltiplicare K loro per un terzo elemento di positivo non altera questo rapporto K ∀x, ∈ ∧ ≤ → ≤y, z x> 0 y z xy xzK

·, ≤) allora (K, +, si può definire campo ordinato.

1.3 Insiemi numerici fondamentali

Con si indica l’insieme di tutti i numeri naturali N def {1,= 2, 3...} N

(N, +) non è un gruppo poiché non è mai definito l’opposto.

·)(N, non è un gruppo poiché non sempre è definito il reciproco.

2 Strutture algebriche fondamentali

Con si indica l’insieme di tutti i numeri interi Z def {0, ±1, ±2, ±3...}=Z

(Z, +) è un gruppo commutativo poiché sono verificate tutte le condizioni esposte nella sezione 1.1.

·)(Z, non è un gruppo poiché non sempre è definito il reciproco.

Con si indica l’insieme di tutti i numeri razionali Q pdef ∈ ∈: p q= Z, NQ q

(Q, +) è un gruppo commutativo poiché sono verificate tutte le condizioni esposte nella sezione 1.1.

·)(Q, non è un gruppo poiché non è definito il reciproco di 0.

− {0}, ·)(Q è un gruppo poiché è sempre definito il reciproco.

− {0}, ·, ≤)(Q +, è un campo ordinato.

Con si indica l’insieme dei numeri reali R def {m, ∈ ∈ }= a a a ...a : m aR Z, N0 1 2 n i 0

(R, +) è un gruppo commutativo poiché sono verificate tutte le condizioni esposte nella sezione 1.1.

·)(R, non è un gruppo poiché non è definito il reciproco di 0.

− {0}, ·)(R è un gruppo poiché è sempre definito il reciproco.

− {0}, ·, ≤)(R +, è un campo ordinato.

Con si indica l’insieme dei numeri complessi C def {a ∈= + ib : a, bC R}

(C, +) è un gruppo commutativo poiché sono verificate tutte le condizioni esposte nella sezione 1.1.

·)(C, non è un gruppo poiché non è definito il reciproco di 0.

− {0}, ·)(C è un gruppo poiché è sempre definito il reciproco.

In sintesi:

• 1. Non è mai un gruppo né con l’addizione né con la moltiplicazione; N
• 2. È sempre un gruppo con l’addizione e mai con la moltiplicazione; Z
• 3. E sono sempre un gruppo sia con l’addizione che con la moltiplicazione a patto Q, R C che per quest’ultima gli insiemi di partenza non ammettano lo 0;
• 4. Sono campi ordinati. Q, R

3 Spazi e sottospazi vettoriali

2 Spazi e sottospazi vettoriali

2.1 Spazio vettoriale euclideo

3 Sia E lo spazio euclideo a tre dimensioni della geometria elementare e si indichino con lettere maiuscole tutti i punti appartenenti a tale spazio.

3 3 3∈ × Ogni coppia di punti (A, B) E E si dice segmento orientato di E A B punto iniziale punto finale

̸ Al segmento orientato (A, B) si associa una lunghezza pari alla distanza fra A e B; se A = B si associano anche una direzione, ovvero la retta su cui giacciono A e B e tutte quelle parallele ad essa e un verso che indica quale fra A e B è il punto finale.

≡, Due segmenti orientati (A, B) e (C, D) si dicono equipollenti, indicato con il simbolo se:

• 1. I due segmenti sono di fatto dei punti, quindi A = B e C = D;
• 2. Nel caso in qui A = B e C = D, hanno stessa lunghezza, direzione e verso.

−→ Dato un segmento orientato (A, B) si definisce vettore libero AB, l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti ad (A, B).

−→ def 3 3{(X, ∈ × ≡AB = Y ) E E : (A, B) (X, Y )}

−→ 3 Si denota con E l’insieme di tutti i vettori liberi e si indicheranno con lettere minuscole gli elementi di questo insieme.

−→ Se a = AB, (A, B) è il segmento orientato che individua il vettore libero a ed è anche un rappresentate di a.

3 Teorema 1. Comunque si prendano un punto P dello spazio euclideo E e un vettore libero −→ −→ −→ AB, esiste un solo punto Q tale che i vettori liberi P Q e AB siano uguali

−→−→ −→ −→3 3 3∀P ∈ ∀ ∈ ∃!Q ∈E e AB E E : P Q = AB (1)

−→3 Nell’insieme dei vettori liberi E si definisce l’addizione fra vettori.

B C X D A

4 Spazi e sottospazi vettoriali

−−→ −−→ Sia X il punto tale che BX = CD.

−→ −−→ −→ −−→ −−→def AB + CD = AB + BX = AX (2)

Questa operazione gode delle seguenti proprietà

• 1. Proprietà associativa −→3 ∀a, ∈b, c E (a + b) + c = a + (b + c) (3) ba + ba ca + b + cb b + ca ca + b + c
• 2. Proprietà commutativa −→3 ∀a, ∈b E a + b = b + a (4) b + a aba + ba

Per poter dimostrare facilmente queste proprietà si sono presi i rappresentati di a, b e c in modo tale che tali vettori fossero adiacenti.

• 3. Esiste un elemento neutro, detto vettore nullo e indicato con 0, tale per cui −→3 ∀a ∈ E a +0=0+ a = a (5)

−→ −−→ Infatti, se a = AB e 0 = BB

−→ −−→ −→ a + 0 = AB + BB = AB = a (6)

5 Spazi e sottospazi vettoriali

• 4. Esiste il vettore opposto di a, indicato con a′, tale per cui −→ ′ ′3 ∀a ∈ E a + a = a + a = 0 (7)

−→ −→′ Infatti, se a = AB allora a = BA

−→ −→ −→′ a + a = AB + BA = AA = 0 (8)

−→3 Nell’insieme E si definisce la moltiplicazione per scalare, questi ultimi indicati con lettere minuscole dell’alfabeto greco. −