Appunti completi del corso di Algebra lineare e geometria

MATRICI A COEFFICENTI IN R

DEFINIZIONE:

Una matrice m x n a coefficienti in R è un insieme di m • n numeri reali disposti su m righe e n colonne circondata da parentesi tonde. Tali numeri sono detti elementi o componenti della matrice. L'insieme di tutte le matrici m x n a coefficienti in R si indica con R^m,n

m = 2

• 2 x 3 (^{2 . 0 . π}_{5¹/3 . 3}) => ^R_{2, 3}

m = 3

• (^{3 . -3}_{6 . 1}^{0 . 2}) => ^R_{3, 2}

CASI PARTICOLARI:

• matrice O_{m, n} = matrice nulla
• esempio: O_{3, 2} => (^{0 . 0}_{0 . 0}^{0 . 0})

MATRICI A COEFFICENTI IN R

DEFINIZIONE:

Una matrice m×n a coefficienti in ℝ è un insieme di m×n numeri reali, disposti su m righe e n colonne circondata da parentesi tonde. Tali numeri sono detti elementi o componenti della matrice. L'insieme di tutte le matrici m×n a coefficienti in ℝ si indica con ℝ^m,n.

m = 2

=> 2 × 3 ( 2 0 π 5 1/2 3 ) => ℝ^2,3

m = 3

=> ( 3 -3 4 1 0 2 ) => ℝ^3,2

CASI PARTICOLARI:

• matrice O_m,n = matrice nulla

esempio: O_2,2 =>

( 0 0 0 0 )

• se m = n => matrice quadrata

es. ℝ^3,3 ∋ ( ^{-2 3 π} √5 0 0 1 -2 3 )

• se m = 1 => matrice riga

es. ( 2 3 -7 ) ∈ ℝ^1,3

• se n = 1 => matrice colonna

es. ( 1 3 4 ) ∈ ℝ^3,1

• se m = n = 1 => insieme numeri reali => ℝ^1,1 = ℝ

Data una matrice : ( ^{-2 3 π} √5 0 0 1 -2 3 ) = A = (α_i,j)

se voglio prendere il numero ^π ,₂ allora specifico la riga e la colonna

=> ^π = α_1,3 , 0 = α_2,2 , -2 = α_3,2

OPPOSTO DI UNA MATRICE:

A = R^m,n una matrice

L'opposto di A è la matrice R^m,n, indicato con -A, la cui entrata (i, j) coincide con l'opposto dell'entrata di A per i = 1,..., m e j = 1,..., n.

Se A = (a_i,j) 1 ≤ i ≤ m ∈ R^m,n si scrive in simboli

-A = (- a_i,j) 1 ≤ i ≤ m ∈ R^m,n

A = ⎛ 2 3 ⎞ => -A = ⎛ -2 ? ⎞ contramanca; appartenenti ⎝ -1 4 ⎠     ⎝ ? -4 ⎠ a R^2,2

UGUAGLIANZA TRA MATRICI:

Due matrici: A = (a_i,j) 1 ≤ i ≤ m ∈ R^m,n e         1 ≤ j ≤ n

     B = (b_i,j) 1 ≤ i ≤ m ∈ R^m,n si dicono uguali se       1 ≤ j ≤ n

valgono le seguenti proprietà:

• A e B hanno lo stesso numero di righe e colonne;
• Le entrate di A e B aventi la stessa posizione delle due matrici coincidono, cioè a_i,j = b_i,j per ogni valore i e j.

Esempio:

A = ^{(2   -3   π)}

B = ^{(2   x   y)}

=> se ^{x = -3}

=> A = B

MATRICE TRASPOSTA:

La trasposta t di A è la matrice di R^n,m, indicata con tA, la cui entrata (j,i) coincide con l'entrata (i,j).

Se A = (a_i,j)_{1 ≤ i ≤ m} ⊂ R^m,n, scriviamo in simboli che

=> tA = (a_j,i)_{1 ≤ j ≤ n} ⊂ R^n,m

Esempio: se A = ^{(2   -3   0)}

 => tA ⊂ R^3,2 => tA = ^{(2   4)}

Si può anche scrivere A^t, T_A, A^T, A^* — meno comuni.

PROPRIETÀ DELLA MATRICE TRASPOSTA:

• per ogni matrice A, si ha che A ∈ ℝ^m,n se e solo se A ∈ ℝ^n,m
• per ogni A ∈ ℝ^n,m si ha che (t (