Appunti Analisi matematica II per Ingegneria, Tecniche di risoluzione per esame

Ingegneria Informatica

Appunti di

STRATEGIE RISOLUTIVE

ANALISI II

A cura di Baldi F. e Sangeniti C.

2025-2026

Indice

1 Curve 2

1.1 Calcolare la lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Calcolo dell’area racchiusa da una curva chiusa . . . . . . . 2

1.2.1 Curve complesse e indice di avvolgimento . . . . . . . 3

1.3 Parametrizzare una curva in lunghezza d’arco (s) . . . . . . 3

1.4 Calcolare triedro di Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Calcolare raggio e centro curvatura . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Calcolare curvatura (κ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6.1 Trovare curvatura massima/minima . . . . . . . . . . 7

1.7 Calcolare torsione (τ ) in . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3

R

1.8 Disegno qualitativo di una curva parametrica . . . . . . . . 8

1.9 Verificare iniettività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10 Verificare l’appartenenza ad un piano . . . . . . . . . . . . . 10

2 Ottimizzazione in più variabili 11

2.1 Punti critici liberi e studio della loro natura . . . . . . . . . 11

2.2 Punti critici con vincolo di uguaglianza (g(x,y) . . . . . 12

= 0)

2.3 Verificare le ipotesi del Teorema di Weierstrass . . . . . . . . 12

2.4 Max e Min con vincolo di uguaglianza (g(x,y) . . . . . 13

= 0)

2.4.1 Teorema di Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Max e Min con vincolo di disuguaglianza (es. Bolla 15

≤

g(x,y) 0)

2.5.1 Algoritmo per i vincoli aperti (<, . . . . . . . . . 16

>)

2.6 Trovare estremo superiore e inferiore . . . . . . . . . . . . . 17

3 Campi vettoriali 18

3.1 Dimostrare che è un campo gradiente . . . . . . . . . . . 18

F

3.2 Dimostrare che è irrotazionale . . . . . . . . . . . . . . . 19

F

3.3 Calcolo del potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Integrali multipli 22

4.1 Formule trigonometriche utili . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Il Cambio di Variabili negli Integrali Doppi . . . . . . . . . . 23

4.3 Teorema della Divergenza (Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Teorema di Gauss per superfici aperte . . . . . . . . 25

1

1 Curve

1.1 Calcolare la lunghezza di una curva

Obiettivo: trovare quanto è "lunga" la curva in un intervallo di tempo

γ

[a, b].

1. Calcolare la derivata prima di γ.

2. Calcolare la norma (o modulo) del vettore derivato:

p 2 2 2

|| γ̇(t)|| = ẋ(t) + ẏ(t) + ż(t)

3. Integrare la norma sull’intervallo richiesto:

b

Z ||

L = γ̇(t)|| dt

a

1.2 Calcolo dell’area racchiusa da una curva chiusa

Obiettivo: Calcolare l’area di una regione piana a partire dal suo

2

⊆

A R

bordo parametrizzato da una curva semplice e chiusa

Γ, p(t) = (x(t), y(t))

con ∈

t [a,b].

Algoritmo risolutivo standard:

1. Esprimere il bordo in funzione del tempo: p(t) =

Parametrizzare:

(x(t), y(t)). La direzione in cui la parametrizzazione percorre la

Attenzione:

curva è vitale.

• Se la curva è percorsa in l’integrale geometrico è

senso orario,

lo stesso, ma cambierà segno restituendo: −Area(A).

• Se l’integrale risulta negativo, basta pren-

Tip pratico d’esame:

derne il valore assoluto specificando che la curva originale era

orientata negativamente.

2. Calcolare il vettore velocità ṗ(t) = ( ẋ(t), ẏ(t)).

Derivare:

3. Inserire i termini trovati nella formula

Sostituire: b b

Z Z

1

1

Area(A) × −

= p ṗ dt = x(t) ẏ(t) y(t) ẋ(t) dt

2 2

a a

4. Risolvere il normale integrale definito in calcolato da

dt a

Integrare:

a b. 2

1.2.1 Curve complesse e indice di avvolgimento

Per curve più complesse (con più componenti connesse o che si auto-intersecano

come un laccio), la formula generale diventa:

b

Z

1 X di ind(p,

× ·

p ṗ dt = (Area B) B)

2 a B⊆Ω

Dove l’indice ind(p, indica il numero di giri netti che

B)

di avvolgimento

la curva compie attorno alla regione

p B.

• Se la curva fa 2 giri completi antiorari attorno all’area, il risultato

dell’integrale sarà il doppio dell’area reale.

• Se due componenti connesse identiche sono percorse una in senso an-

tiorario e l’altra in senso orario, i loro contributi si annullano (Area

totale calcolata = 0).

1.3 Parametrizzare una curva in lunghezza d’arco (s)

Obiettivo: riscrivere la curva non in funzione del tempo ma dello spazio

t,

percorso s.

1. Controllare che non sia già in lunghezza d’arco: calcolare e

∥ γ̇(t)∥

vedere se è per ogni In caso lo sia, siamo già in lunghezza

= 1 t.

d’arco.

2. Trovare la funzione "ascissa curvilinea" integrando la norma del

s(t),

vettore derivato da un istante iniziale (solitamente o un estremo

0

dell’intervallo): t

Z ||

s(t) = γ̇(τ )|| dτ

t

0

3. Esplicitare in funzione di invertendo l’equazione appena trovata

t s,

per ottenere t(s).

4. Sostituire nella parametrizzazione originale per ottenere la nuova

t(s)

curva u(s): u(s(t)) = γ(t) =⇒ u(s) = γ(t(s))

3

1.4 Calcolare triedro di Frenet

Esistono due metodi. Il primo si usa se hai già trovato (quindi siamo già

u(s)

in lunghezza d’arco), il secondo si usa per evitare di esplicitare quando

u(s)

i calcoli sono troppo complessi. u(s)

Metodo diretto (se possiedi già in lunghezza d’arco):

1. derivare rispetto a s.

Vettore tangente: T (s) = u̇(s)

2. è la direzione del vettore accelerazione.

Vettore normale: ü(s) ü(s)

N (s) = =

||ü(s)|| κ(s)

3. prodotto vettoriale fra e :

T N

Vettore binormale: ×

B = T N

In si può usare questo:

2

R

T T

1 2

B = det N N

1 2

In si può usare questo:

3

R 

 e e e

1 2 3

T T T

B = det 1 2 3 

 N N N

1 2 3 t):

Metodo pratico (tramite parametro originario

1. Calcolare (velocità scalare) e la sua derivata (acce-

||

ṡ(t) = γ̇(t)|| s̈(t)

lerazione scalare).

2. è la derivata prima divisa per la sua norma.

Versore tangente: γ̇(t)

T = || γ̇(t)||

3. dobbiamo usare , perché almeno siamo sicuri

T

Versore normale:

che venga ortogonale alla velocità (se non siamo in lunghezza d’arco,

usando solo non possiamo avere questa certezza).

ü Ṫ

N = || ||

Ṫ

4

4. come nel caso precedente.

Versore binormale:

Approccio praticissimo:

Obiettivo: determinare i tre versori intrinseci minimizzando il calcolo delle

derivate temporali di funzioni frazionarie o irrazionali.

1. Determinare per derivazione cinematica

Calcolo dei vettori base:

diretta il vettore velocità e il vettore accelerazione

ṗ(t) p̈(t).

2. Calcolare la norma della velocità

Calcolo del versore Tangente (T ):

(velocità scalare e normalizzare il vettore velocità:

∥ ṗ(t)∥ ṡ) ṗ(t)

T (t) = ∥ ṗ(t)∥

3. Calcolare il prodotto vettoriale

Calcolo del versore Binormale (B):

tra velocità e accelerazione tramite determinante simbolico.

×

ṗ(t) p̈(t)

Successivamente, normalizzare il vettore risultante:

×

ṗ(t) p̈(t)

B(t) = ∥ ×

ṗ(t) p̈(t)∥

4. Sfruttare l’ortogonalità rigi-

Calcolo del versore Normale (N ):

da della terna levogira per ricavare il terzo versore mancante tramite

prodotto vettoriale algebrico, senza eseguire alcuna derivata aggiuntiva:

×

N (t) = B(t) T (t)

Vantaggio computazionale d’esame:

Questo ordine strategico (T ) permette di ricavare il versore

→ →

B N

normale evitando completamente lo sviluppo delle derivate dei quozienti

sulle tre componenti analitiche di T (t).

1.5 Calcolare raggio e centro curvatura

Obiettivo: trovare il raggio e il centro di curvatura di una curva parame-

u

trizzata in lunghezza d’arco

1 1

ρ = =

Raggio curvatura: ∥ü(t)∥ κ 5

La formula con la curvatura va bene anche se non siamo in lunghez-

za d’arco, purché la curvatura sia stata calcolata correttamente nella

parametrizzazione corrente. è l’istante in cui vo-

t

0

ü(t )

0 glio calcolare il centro di

−→

C = u(t )+

Centro curvatura: 0 2

∥ü(t )∥ curvatura

0

Quando non siamo in lunghezza d’arco, bisogna utilizzare la formula

generale C(t) = γ(t) + ρ(t)N(t)

1.6 Calcolare curvatura (κ)

Obiettivo: Trovare la curvatura κ.

Strategia 1: La formula "Pitagorica":

Solo se l’esercizio ha già richiesto di calcolare la velocità

Quando usarla:

scalare e l’accelerazione scalare Sconsigliata da usare da zero per

ṡ(t) s̈(t).

evitare derivate di radici complesse.

p 2 2

∥q̈(t)∥ − (s̈(t))

κ(t) = 2

( ṡ(t))

Strategia 2: La formula del prodotto vettoriale:

È il metodo più sicuro e meccanico per le curve in , o in

3

Quando usarla: R

. Evita le derivate sotto radice.

2

R || ×

q̇(t) q̈(t)||

κ(t) = 3

|| q̇(t)||

Strategia 3: Il metodo per i grafici di funzione (Analisi 1):

Quando la curva è data nella forma oppure

γ(x) = (x, f (x)),

Quando usarla:

se si è riusciti a ricavare esplicitamente invertendo il parametro

y = f (x) t.

′′

|f (x)|

κ(x) = 3

′ 2

(1 + (f (x)) ) 2

Strategia 4: Il metodo "Vettoriale":

Quando l’esercizio richiede, oltre alla curvatura, anche il

Quando usarla:

calcolo del versore normale .

N 6

1. Calcolare il vettore derivata seconda in lunghezza d’arco ü:

−

q̈(t) s̈(t)T (t)

ü = 2

( ṡ(t))

2. La curvatura è semplicemente la norma di questo vettore:

||ü||

κ(t) = ü

3. (Extra) Il versore normale è banalmente .

N = κ

Ricordiamo inoltre che (se N è versore), poiché:

ü = κN

∥ü∥ ∥κN ∥ ∥ü∥ ·

= =⇒ = κ 1 = κ

Strategia 5: Direttamente dal