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DEFINIZIONE [Estremo inferiore]

A ⊂ R non vuoto e limitato inferiormente.

Si dice estremo inferiore di A, inf A, il minore dei maggiori di A, cioe: (se definiamo l := inf A)

  • l e un minorante: cioe vale che l ≤ a ∀a∈A
  • ∀ε > 0 ∃aε tale che aε < l + ε

OSS: l'estremo inferiore se esiste e unico.

Nota: Quando A non e limitato inferiormente

Scriviamo inf A = -∞

TEOREMA [Relazione tra inf e min]

Sia A ⊂ R non vuoto e limitato inferiormente

  • se ∃ min A allora ∃ inf A e min A < inf A
  • se ∃ inf A e inf A ∈ A, allora ∃ min A e

inf A = min A

ESEMPIO: Sia A = {1 · 1/m : m ∈ N, m ≠ 0}

Affermazione: ∃ min A = 0 e quindi inf A = 0

Giustificazione

Definiamo am := 1 - 1/m, m in N \ {0}

Osserviamo per m = 1 => a1 = 0

Inoltre abbiamo che

0 <= am <= 0 <= 1 - 1/m <=> 1/m <= 1 <=> m >= 1

Quindi 0 in A ed e monotone => 0 = min A = inf A

TEOREMA [Proprieta di completezza di R]

Sia A in R non vuoto

1) Se A e limitato superiormente, allora esiste sup A in R

2) Se A e limitato inferiormente, allora esiste inf A in R

Dimostriamo la prima parte dell'enunciato (1)

Definiamo B = { b in R : a

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Francifatto di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Eleuteri Michela.
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