Appunti Analisi 1

Revisionato il 10/09/2026

di usccz

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Appunti scritti di Analisi 1 dal prof di teoria Giuliano ora il corso è tenuto dal prof rossi ch3 prima faceva l' esercitatore...... appunti sono manoscritti dallo stesso professore …

Esame Analisi 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Papagno Marco

Università Università della Calabria

A.A. 2023-2024

51 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Zeri e singolarità isolati di una funzione analitica

Zero di ordine n in z₀

Sia f(z) analitica in (intorno a) z₀.

z₀ "zero di ordine n"

f(z₀) = f⁽¹⁾(z₀) = ... = f^(n-1)(z₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(z₀) ≠ 0

Dalla serie di Taylor:

f(z) = (sum from j=0 to n-1)^∞ f^(j)(z₀) / j! (z - z₀)^j∑_j=n^∞ f^(j)(z₀) / j! (z - z₀)^j

Zeri e singolarità isolati di una funzione analitica

Zero di ordine n in z₀

Sia f(z) analitica in (intorno a) z₀.

z₀ "zero di ordine n" ↔ f(z₀) = f⁽¹⁾(z₀) = ... = f^(n-1)(z₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(z₀) ≠ 0

Dalla serie di Taylor:

f(z) = Σ_j=0^n-1 f^(j)(z₀) / j! (z-z₀)^j → = ∅+ Σ_j=n^∞ f^(j)(z₀) / j! (z-z₀)^j → = (z - z₀)ⁿ ∑_k=0^∞ (f^(n+k)(z₀) / (n+k)!) (z - z₀)^k

g(z) analitica e con lo stesso raggio di convergenza di f(z) ≡ (z - z₀)ⁿ ∑g(z) (g(z₀) = f⁽ⁿ⁾(z₀) / n!) ≠ 0

(⊕) z₀ è sempre isolato (non può essere punto di accumulazione di z_n)

Infatti, se z₀ punto di accumulazione di z_n, allora ∀ δ>0 ∃ z'₀ ∋ ℜ_f (regione di analiticità di f(z)) tale che z'₀≠ z₀ e |z'₀ - z₀|<δ.

Tuttavia, g(z) analitica in z₀ e g(z)'≠0 ⇒ |g(z)|>0=> ∃ δ^' >0 bel che |g(z)| >0∀z ∈ C_z₀ .

Ma |g(z)| >0 => g(z) ≠0=> (z - z₀)ⁿg(z) ≠0 ∀z∈(C_z₀ - 2εC_ε ].

Preso δ < δ^' si arriva ad un nuovo assurdo.

Corollario: se f(z) possiede un punto di accumulazione di zeri, allora f(z) è identicamente nulla.
Se z₀ è un punto analitico per f(z) e assumiod_k =0 ∀ k < -nf(z) = _{d₋ₙ₋₁}/(z-z₀)^ₙ + _{d₋ₙ₊₁}/(z-z₀)^ₙ⁻¹ + ... + _d₋₁/z-z₀ ++ ∑_k=0^∞ dₖ(z-ζ)^ₖ ⇒ R(z)= 1/(z-z₀)^ₙ (d₋ₙ₋₁ + d₋ₙ₋₁ (z-z₀) + ... ++ (z-z₀)^ₙ R(z) )= _f(z)/^{(z-z₀)^ₙ} , con ℘(z)➕ analitica, con lo stesso raggio diconvergenza delle zone di Laurent di f(z) z₀ ➕ con ℘(z) ≠ 0

Polo di ordine n

1. "Un polo di ordine n e' una singolarità isolata di f(z)" cioè esiste tale che f(1/z) e' analitica in Dim: Ovviamente basta ragionare sul polo come zero di ordine n di 1/f(1/z)

Singolarità essenziale

2. Singolarità essenziale: Nella serie di Laurent f(z) = ∑_n=-∞^∞ a_n/(z- z₀)ⁿ il numero dei con n < 0 e' infinito.

Teorema di Weierstrass sulle singolarità essenziali

3. Teorema di Weierstrass sulle singolarità essenziali: Se singolarità essenziale di f(z) ∀ε, ∀ε∈ f z tale che |z₀| < δ e|f(z)_n - d| < ε Ref. 5.6

"Intorno ad un qualsiasi analiticof(z)_n approssima bene a piacere qualunquenumero complesso"

Passo 1: f(z)_n Non è limitata intorno d₀∮_{C_ε₀} |f(z)| dz, per assurdo, ∃R > 0 ∃δ > 0 t.c. che |f(z)| ≤ R ∀z ∈ C_{ε₀ - 2δε}, allora, ∀ε 0 < γ < δ, abbiamo (n ε 0)d₁-d_n1 = 1/2πε ∮_{C_ε₀} f(z) |z-z₀|^m₁-1 dz => |d_n-n| ≤ 1/2πε R γ^m₁-1 2πε = Rγ|n|

Siccome y è "piccolo" e preciso", si conclude |x-1| ≥ 0 se n < 0, impossibile se x0 è \(\in \check{p}(x)\).

Pro: Ovviamente \(f(t)-c\) sono una \(\in f(p)(x)\) essenziale <b>. di xo. Se xo è punto di accumulazione di il \( \epsilon x\) ∀ δ x0 \(f(x) ∈ C,0->\epsilon(x

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