Disuguaglianza di Bernoulli
∀ x ≥ -1 (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀ n ∈ NDIM.
- n0 = 0 : (1 + x)0 ≥ 1 + 0 · x ✓
Hp.: (1 + x)n ≥ 1 + nx
Th.: (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x
DIM. Hp.: (1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) = 1 + x + nx + nx2 ≥ 1 + x + nx = 1 + (n + 1)x
(1 + x)n ≥ 1 + x(n + 1) (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x ✓
Disuguaglianza di Bernoulli (ripetizione)
∀ x ≥ -1 (1+x)n ≥ 1+n x ∀ n ∈ NDIM.
- n0 = 0 :
(1+x)0 ≥ 1+0∙x ✓
- Hp:
(1+x)n ≥ 1+n x
- Th:
(1+x)n+1 ≥ 1+(n+1)x
DIM. (1+x)n+1 = (1+x)n (1+x)
Hp: (1+x)n (1+x) ≥ (1+n x) (1+x) = 1+x+n x+n x2 ≥ 1+x+n x = 1+(n+1)x
(1+x)n+1 ≥ 1+(n+1)x
(1+x)n+1 ≥ 1+(n+1)x ✓
Coeff. bin. - binomio di Newton
\(\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(b-a)!}\)
\((a+b)^m=\sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{n-k}\)
Teorema di unicità del limite
Se \((a_n)\) converge ad \(l\) → \(l\) è unico
DIM. p.e. → \(l, l'\)
\(\forall \epsilon > 0\) definitivamente \(|a_n - l|
\(\forall \epsilon > 0\) definitivamente \(|a_n - l'|
\(0 \leq |l - l'| \leq |a_n - l| + |a_n - l'|
\(|l - l'|
\(|l - l'| = 0\)
\(l = l'\)
Teorema
Se \((a_n)\) converge a \(l\) → \((a_n)\) è limitata
\(\forall \epsilon > 0 \exists \nu \in \mathbb{N} : \forall n > \nu\) \(|a_n - l|
\(A = \{a_1, \ldots a_{\nu}, l - \epsilon, l + \epsilon\}\)
\(h = \min A\)
\(k = \max A\)
\(\forall n \in \mathbb{N} : h \le a_n \le k\)
Teorema di permanenza del segno
- Se
(an)regolare e limnan = l > 0allora(an)definitivamente positiva (o positivi diverg.) - Se
(an)regolare ean = 0definitivamente allora limnan >= 0(anche +∞)
Dim.
- Se lim
an = l > 0allora ∀ ε > 0 df.|an - l| n > l - ε - Scelgo 0
an > l - ε > 0an > 0dfan > 0definitivamente- Se lim
an = +∞allora ∀ ε > 0 ∃ v ∈ N : ∀ n > v,an > ε > 0a partire da v an > 0definitivamente- P.Q. se fosse lim
an = 0alloraan 初 ≠ 0DEF. (per quello dimostrato prima)
(Criterio di Regolarità per Confronto)
Teorema di Confronto (an), (bn), (cn) Successioni Reali
(an ≤ bn ≤ cn definitivamente e limn an = limn cn = L ∈ ℝ)→limn bn = L(an ≤ bn ≤ cn, limn an = +∞)→limn bn = +∞(an ≤ bn ≤ cn, limn cn = -∞)→limn bn = -∞
Dim.
- ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ ℕ: ∀ n > ν
|an - L|n - n - L| n
- n ≤ bn ≤ cn n 0 ∃ ν ∈ ℕ: ∀ n > ν
|bn - L|n bn = L- ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ ℕ: ∀ n > ν
an > ε - Defin.
bn ≥ an > ε bn > ε- ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ ℕ: ∀ n > ν
bn > ε - ↑
limn bn = +∞ - ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ ℕ: ∀ n > ν
cnn ≤cn
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