Appunti Algebra lineare

Ingegneria Informatica

Appunti di

ALGEBRA LINEARE

A cura di Baldi F. e Sangeniti C.

2025-2026

Indice

1 Spazi euclidei 4

1.1 Algebra degli spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Proprietà algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Spazi vettoriali 6

2.1 Esempi di spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Combinazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Vettori linearmente dipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.2 Vettori linearmente indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Sottospazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Sottospazio generato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.2 Intersezione e somma di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.3 Somma diretta di più sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Algoritmo di Gauss-Jordan per il riconoscimento di una base in 11

n

R

2.4.2 Completamento ad una base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Lo spazio dei polinomi 17

K[x]

3.1 Polinomi con restrizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

(X,K)

4 Lo spazio delle funzioni 18

F

5 Matrici 19

5.1 Trasposta di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Traccia di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3 Matrice identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4 Algebra delle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4.1 Somma fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4.2 Prodotto di una matrice per uno scalare . . . . . . . . . . . . . . 20

5.4.3 Prodotto fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.5 Sottospazi dello spazio (n,m,K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

M

5.6 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.7 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7.1 Sviluppo di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.7.2 Determinante di Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.8 Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.8.1 Algoritmo per il calcolo della matrice inversa . . . . . . . . . . . . 26

5.9 Matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.9.1 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.10 Commutatore tra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.11 Matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Sistemi lineari 32

6.1 Forma matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2 Insieme delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

6.3 Forma completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 Sistemi lineari omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.5 Interpretazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.6 Risoluzione di un sistema lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.7 Sottospazio affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.7.1 Giacitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.8 Teorema di Rouche-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.8.1 Prima versione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.8.2 Seconda versione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.8.3 Terza versione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 Applicazioni lineari 37

7.1 Matrice associata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.2 Nucleo (kernel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3 Immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.4 Teorema fondamentale dell’algebra lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5 Iniettività e suriettività di un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . 42

7.6 Applicazione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.7 Teorema di composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.8 Teorema di Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Matrici diagonalizzabili 47

8.1 Autovettori e autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.1.1 Autospazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2 Diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.3 Polinomio Caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.4 Differenza esistenza autovalori fra il campo e . . . . . . . . . . . . . 49

R C

8.4.1 Rotazioni in spazi diversi da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2

R

8.5 Quando una matrice è diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.6 Molteplicità geometrica e algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.7 Endomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.7.1 Endomorfismi nilpotenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.7.2 Endomorfismi idempotenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.7.3 Endomorfismi involutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.8 Matrice invertibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A

9 Esponenziale di una matrice (e ) 62

9.1 Calcolo per le matrici diagonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.2 Calcolo per matrici diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.3 Calcolo per matrici non diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10 Prodotti Scalari 64

10.1 Prodotto scalare euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.2 Vettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.3 Sottospazio ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.4 Prodotti scalari definiti positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10.5 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.6 Distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.7 Teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

10.8 Angolo fra vettori in uno spazio con prodotto scalare . . . . . . . . . . . 67

10.9 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.10 Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . 70

10.11 Rappresentazione di un prodotto scalare tramite matrice . . . . . . . . . 71

10.12 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.13 Teorema di Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.14 Base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11 Applicazioni simmetriche e ortogonali 76

11.1 Applicazioni simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.2 Teorema spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.2.1 Calcolo della segnatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.3 Applicazioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.3.1 Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.3.2 Classificazione delle applicazioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . 78

12 Prodotto hermitiano 80

12.1 Prodotto hermitiano standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12.2 Matrici hermitiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

12.2.1 Dimensione dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

12.2.2 Teorema spettrale per matrici hermitiane . . . . . . . . . . . . . . 82

12.3 Matrici unitarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3

1 Spazi euclidei

Alcuni esempi di spazi euclidei sono:

• insieme dei numeri reali;

→

R

• = insieme delle coppie di numeri reali (piano cartesiano);

2 · →

R R R

• con spazio vettoriale a dimensioni.

n ∈ →

n n

R N

Lo spazio euclideo è l’insieme , il quale è il prodotto

n

Definizione: n-dimensionale R

cartesiano di copie di

× · · · × n

R R R.

Un elemento dell’insieme è una successione (x ) tale che Quindi

n ∈

, . . . ,x x , . . . , x

R R.

n n

1 1

un punto è per definizione una sequenza di numeri. Possiamo pensare a come

n

∈

x x

R

a un punto, oppure come a un che parte da 0 e arriva ad

vettore x.

Scriveremo la sequenza collegata ad sempre in verticale:

n

∈

x R  

x 1

.

..

=  

x  

 

x n

1.1 Algebra degli spazi euclidei

non è solo un insieme, ma ci sono anche delle operazioni naturali:

n

R :

• Somma fra vettori di n

R +

     

x y x y

1 1 1 1

. . ...

.. ..

+ = + =

     

x y      

     

+

x y x y

n n n n

ESEMPIO 2 4 2+4 6

! ! ! !

+ = =

1 1 1 0

−1 −

• Prodotto per scalare:    

x λx

1 1

. .

.. ..

= =

   

·

λx λ    

   

x λx

n n

ESEMPIO 2 5 2 10

! ! !

·

5 = =

1 5 1 5

·

In possiamo visualizzare come il vettore ottenuto allungando o accorciando

2 λx

R

di un fattore e ribaltandolo se 0.

|λ|

x λ <

4

1.2 Proprietà algebriche

Le operazioni di somma e prodotto hanno anche delle proprietà:

• Proprietà della somma:

h i h i

+ + = + + ;

associativa: a c e a c e

– b d f b d f

+ = + ;

commutativa: a c c a

– b d d b

0

 

.

..

esiste l’elemento neutro: = origine del sistema;

→

– O  

0

per ogni elemento esiste il suo opposto: + =

−a

a

– O.

−b

b

• Proprietà del prodotto:

h i

+ = + con

distributiva (1): a c a c ∈

– λ λ λ λ R;

b d b d

distributiva (2): (λ + = + con

a a a

· ∈

– µ) λ µ λ,µ R;

b b b

h i

associativa: (λµ) = con

a a

· ∈

– λ µ λ,µ R;

b b

1.

esiste l’elemento neutro:

–

Le due operazioni con le loro 8 proprietà danno a la struttura di

n spazio vettoriale.

R

5

2 Spazi vettoriali

Sia un campo (quindi o o Uno spazio vettoriale sul campo

Definizione: V

K R Q C).

è un insieme di elementi, detti con due operazioni:

vettori,

K • Somma: + con ∈

v v v , v V

1 2 1 2 con

• Moltiplicazione per scalare: ∈ ∈

λv λ v V

K,

Queste operazioni devono rispettare le 8 proprietà già affrontate nel capitolo precedente

(sezione 1.2). 0v =

Congettura: O.

DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA

Possiamo riscrivere 0v come

0v = (0 + 0)v = 0v + 0v =⇒ 0v = 0v + 0v

Chiamiamo l’opposto di 0v e lo sommiamo ad entrambi i termini dell’equazione

w

precedente:

0v = 0v + 0v =⇒ + 0v = 0v + 0v + =⇒ = 0v + =⇒ = 0v

w w O O O

C.V.D.

+ = =⇒ = (−1)v. Quindi è l’opposto di ed è unico.

Congettura: v w O w w v

D’ora in avanti useremo al posto di per indicare l’opposto del vettore poiché

−v w v,

= (−1)v = −v.

w = −v)

DIMOSTRAZIONE ((−1)v

= 0v = (1 + (−1))v = 1v + (−1)v = + (−1)v

O v

Poiché = + (−1)v, abbiamo che (−1)v è l’opposto di

O v v.

C.V.D.

2.1 Esempi di spazi vettoriali

Tutti i seguenti insiemi rispettano le operazioni di somma e prodotto, oltre alle 8 proprietà

(sezione 1.2), perciò sono definibili spazi vettoriali:

• lo spazio dei polinomi (capitolo 3);

K[x]

• lo spazio (X, delle funzioni (capitolo 4);

F K)

• le matrici (capitolo 5).

2.2 Combinazione lineare

Sia uno spazio vettoriale qualsiasi. Siano dei vettori arbitrari. Una

∈

V v , . . . , v V

k

1

combinazione lineare dei vettori è un qualsiasi vettore che si ottiene come

v , . . . , v v

k

1

= + + con

· · · ∈

v λ v λ v λ , . . . ,λ R

k k k

1 1 1

6

2.2.1 Vettori linearmente dipendenti

Sia spazio vettoriale su e siano alcuni vettori. Diciamo

∈

Definizione: V v , . . . , v V

K k

1

che sono linearmente dipendenti se tali che

∃λ ∈ non tutti nulli

v , . . . , v , . . . , λ K

k k

1 1

+ + + = 0

· · ·

λ v λ v λ v

k k

1 1 2 2

Questo significa che i vettori sono dipendenti se uno di loro è esprimibile come

v , . . . ,v

k

1

combinazione lineare degli altri.

2.2.2 Vettori linearmente indipendenti

Dunque sono linearmente indipendenti se

Definizione: v , . . . , v k

1

• nessuno di loro può essere espresso come combinazione lineare degli altri, oppure

• + + = 0 solo se = = = = 0.

· · · · · ·

λ v λ v λ λ λ

k k k

1 1 1 2

2.3 Sottospazio vettoriale

Sia uno spazio vettoriale su un campo Un sottoinsieme si

⊆

Definizione: V W V

K.

dice sottospazio vettoriale se soddisfa:

1. ∈

O W

2. =⇒ +

∀w ∈ ∈

, w W w w W

1 2 1 2

3. =⇒

∈ ∈ ∈

v W, λ λv W

K

Ogni spazio vettoriale ha due sottospazi molto particolari:

V

1. il = (l’origine);

W O

sottospazio banale

2. il = (lo spazio vettoriale stesso).

W V

sottospazio totale

2.3.1 Sottospazio generato

Sia uno spazio vettoriale e siano vettori arbitrari. Il

∈

Definizione: V v , . . . , v V

k

1

sottospazio generato da è il sottoinsieme di formato da tutte le combinazioni

v , . . . , v V

k

1

lineari dei vettori . Esso viene indicato con il simbolo

v , . . . , v k

1

Span(v ) = + +

{ · · · | ∈ }

, . . . , v λ v λ v λ , . . . , λ .

K

k k k k

1 1 1 1

Dimostriamo che effettivamente lo Span(v ) è un sottospazio vettoriale di V:

, . . . , v k

1

DIMOSTRAZIONE

Siano Span(v ). Quindi posso scrivere:

∈

u, w , . . . , v k

1

= + + = + +

· · · · · ·

u λ v λ v w µ v µ v

k k k k

1 1 1 1

per certe costanti ∈

λ , µ K.

i i 7

1. Dimostriamo la somma:

+ = + + + + +

· · · · · ·

u w λ v λ v µ v µ v

k k k k

1 1 1 1

che è uguale a: (λ + )v + + (λ + )v Span(v )

· · · ∈

µ µ , . . . , v

k k k k

1 1 1 1

2. Dimostriamo la moltiplicazione:

= + + ) = (λµ )v + + (λµ )v Span(v )

· · · · · · ∈

λw λ(µ v µ v , . . . , v

k k k k k

1 1 1 1 1

3. Dimostriamo infine che Span(v ):

∈

O , . . . , v k

1

= + + con = = = 0

· · · · · ·

O λ v λ v λ λ

k k k

1 1 1

C.V.D.

2.3.2 Intersezione e somma di sottospazi

Sia spazio vettoriale e sottospazi di . Allora è un

∩

Proposizione: V A, B V A B

sottospazio di .

V

DIMOSTRAZIONE

• e (perché sottospazi) =⇒

∈ ∈ ∈ ∩

O A O B O A B.

• Se allora

∈ ∩

v , v A B,

1 2 =⇒ + (perché sottospazio)

∈ ∈

v ,v A v v A

1 2 1 2

=⇒ + (perché sottospazio)

∈ ∈

v ,v B v v B

1 2 1 2

Questo significa che + ∈ ∩

v v A B.

1 2

• Se e allora

∈ ∩ ∈ ∈ ∩

v A B λ λv A B.

K,

Dunque è un sottospazio, perché rispetta la definizione.

∩

A B C.V.D.

Sia spazio vettoriale e sottospazi di . Allora + è un

Proposizione: V A, B V A B

sottospazio di .

V

DIMOSTRAZIONE

Sia = Span(v ) e = Span(w ), allora:

A , . . . , v B , . . . , w

k s

1 1

+ = +

{v | ∈ ∈

A B w v A, w B}

= + + + + +

{α · · · · · · | ∈

v α v β w β w α , β K}

k k s s i j

1 1 1 1

= Span(v ) è un sottospazio vettoriale

−→

, . . . , v , w , . . . , w

k s

1 1 C.V.D.

8

Notare che invece non è un sottospazio vettoriale di ,