Appunti 2° parziale su De Saint Venant di Scienza delle Costruzioni

Problema di De Saint Venant

Consiste nel determinare la soluzione del problema di equilibrio elastico di un cilindro retto detto trave: il sistema di riferimento cartesiano (x, y, z) è ortonormale, con origine nel G₀ della sezione trasversale iniziale (base del solido) di area S₀; l'asse z è disposto lungo l'asse della trave; gli assi x e y sono assi principali d'inerzia nelle sezioni.

S₀: superficie della sezione trasversale iniziale/base della trave con G₀, S₁: superficie della sezione trasversale dell'altra base della trave. Si introduce un altro sistema (x, y, z) centrato nel G₁ della base S₁. S₂: superficie laterale scarica del solido cilindrico.

Ipotesi alla base del problema di De Saint Venant (DSV)

Trave

• È un corpo continuo dotato di 3 dimensioni (solido 3D).
• Ha forma cilindrica con generatrice genericamente sufficientemente allungata.
• Ha asse rettilineo.
• È libera da vincoli esterni.
• È caratterizzata da una sezione trasversale di forma generica, purché compatta e non dispersa.
• La trave non deve avere necessariamente una sezione trasversale circolare, ma può avere una forma generica con gli assi principali d'inerzia (x, y).

Materiale che costituisce il solido di DSV

• È omogeneo, isotropo e linearmente elastico.

Forze esterne agenti sulla trave

• Assumo che le forze superficiali agenti su S₂=0 → significa che S₂ è scarica: n_x = n_y = n_z = n = 0.
• Le forze di volume = 0 ovunque in tutto il volume V della trave: &vec;F_V = 0.
• Le uniche forze sulla trave agiscono sulle basi S₀ e S₁, con distribuzione arbitraria: sono forze equilibrate nella globalità e sono definite in termini di forza e momento risultante rispetto al G della base (considerando la base S₀ assegno una forza risultante R₀ e un M₀ risultante rispetto al G₀ della base; per la superficie S₁ assegno una forza risultante R₁ e un M₁ risultante rispetto al G₁ della base).

A seguito di quest'assunzione per le forze, la soluzione ottenuta per il problema di DSV è valida per tutte le distribuzioni staticamente equivalenti se si applica la soluzione a una distanza dalle basi, che è superiore alla distanza di estinzione: è la distanza oltre la quale si consuma l'effetto del carico applicato sulla deformazione. (Mi devo spostare dalle basi di una certa distanza > della distanza di estinzione.)

Determinazione della soluzione

Per definire la soluzione devo determinare:

• Stato di tensione
• Stato di deformazione della trave in oggetto, sotto le ipotesi *, **, ***
• Campo di spostamento

Definisco solido di DSV: è un solido in accordo con le ipotesi *, **.

Problema di DSV: è il problema dell'equilibrio elastico del solido di DSV sottoposto alle azioni in accordo con le ipotesi ***.

Per la ricerca della soluzione del problema di DSV occorre partire dall'ipotesi di partenza: su ogni elemento piano, con giacitura // all'asse longitudinale z del solido, la tensione normale σ_n=0.

Rappresento la trave, gli assi principali d'inerzia (x, y) e l'asse longitudinale z: considero un elemento piano con giacitura // all'asse z e normale n. Per ipotesi iniziale: σ_n=0

Richiamo l’espressione della tensione normale: σ_n = <n*σ*n>σ vet mx3x3

Problema di De Saint Venant consiste nel determinare la soluzione del problema di equilibrio elastico di un cilindro retto detto trave: il sistema di riferimento cartesiano (x, y, z) è ortonormale, con origine nel G₀ della sezione trasversale iniziale (base del solido) di area S₀; l’asse z è disposto lungo l’asse della trave; gli assi x e y sono assi principali d’inerzia nelle sezioni.

S₀: superficie della sezione trasversale iniziale/base della trave con G₀, S₁: superficie della sezione trasversale dell’altra base della trave. Prendo un altro sistema (x, y, z) centrato nel G₁ della base S₁.

S_z: superficie laterale scarica est del solido cilindrico. Per lo studio definisco ipotesi alla base del problema di DSV:

Per la trave

• È un corpo continuo dotato di 3 dimensioni (solido 3D).
• Ha forma cilindrica con giacitura generica sufficientemente allungata.
• Ha asse rettilineo.
• È libera da vincoli esterni.
• È caratterizzata da una sezione trasversale di forma generica, purché compatta e...