Applicazioni lineari - Dimostrazioni teoremi spiegate

Applicazioni lineari: teorema di struttura

Sia v^o ∈ ℝⁿ una soluzione del sistema lineare Ax = b di ordine n.

Allora ogni altra soluzione v del sistema è della forma v = v^o + w, dove w ∈ ℝⁿ è una soluzione del sistema omogeneo Ax = 0.

Fatto importante: (sempre parte del teorema)

Se L ⊆ ℝⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema Ax = b e W ⊆ ℝⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato Ax = 0, si ha L = v^o + W = {v^o + w | w ∈ W} (→ sottospazio affine).

P.S. v^o è l'unica soluzione del sistema Ax = b ⇔ A è non singolare (sempre parte del teorema)

A¹,..., Aⁿ lin. ind. ⇒ v^o = 0 (unica soluzione)

Dimostrazione

v^o = (v₁^o,..., v_n^o) una soluzione di Ax = b. Sostituendo v^o alle incognite x abbiamo:

Av^o = b ⇒ v₁^oA₁ⁿ + ... + v_n^oA_nⁿ = b

w = (w₁,..., w_n) una soluzione di Ax = 0. Sostituendo w alle x abbiamo:

Aw = 0 ⇒ w₁A₁ⁿ + ... + w_nA_nⁿ = 0

⇒ A(v^o + w) = v^oA₁ⁿ + w₁+ ... + v_oA_nⁿ + w_n

⇒ anche v^o + w è soluzione del sistema lineare Ax = b

Applicazioni lineari

Teorema di struttura

Sia v^o ∈ ℝⁿ una soluzione del sistema lineare Ax = b di ordine n.

Allora ogni altra soluzione v è della forma v = v^o + w, dove w ∈ ℝⁿ è una soluzione del sistema omogeneo Ax = 0.

Fatto importante:

Se L ⊆ ℝⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema Ax = b e W ⊆ ℝⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato Ax = 0, si ha L = v^o + W = {v^o + w | w ∈ W}

Sottospazio affine

P.S. v^o è l'unica soluzione del sistema Ax = b ⟺ A è non singolare

A¹, ..., Aⁿ lin. indip. ⟹ v^o = 0 (unica soluzione)

Dimostrazione

v^o = (v₁^o, ..., v_n^o) una soluzione di Ax = b. Sostituendo v^o alle incognite x abbiamo:

Av^o = b ⟹ v₁^oA₁ + ... + v_n^oA_n = b

w = (w₁, ..., w_n) una soluzione di Ax = 0. Sostituendo w alle x abbiamo:

Aw = 0 ⟹ w₁A₁ + ... + w_nA_n = 0

⟹ A(v^o + w) = v₁^oA₁ + ... + v_n^oA_n + w₁A₁ + ... + w_nA_n = b + 0 = b

⟹ anche v^o + w è soluzione del sistema Ax = b

Proposizione

Siano V e W due spazi vettoriali; {V₁,...,V_n} una base di V e w₁,...,w_n vettori qualunque di W. Allora esiste un'unica applicazione lineare T:V→W tale che T(V_j)=w_j   j=1,...,n.

L'applicazione T è definita da T(α₁V₁+...+α_nV_n)=α₁w₁+...+α_nw_n ∀α₁,...,α_n∈ℝ

Fatto importante:

Un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume una base.

Dimostrazione

Prima di tutto verifichiamo che l'applicazione T sia lineare.

Prendiamo V,V'∈V e li scriviamo come combinazione lineare della base di V:

V=α₁V₁+...+α_nV_n V'=α'₁V₁+...+α'_nV_n

Verifichiamo l'additività e l'omogeneità:

V+V'=(α₁+α'₁) V₁+...+(α_n+α'_n) V_n

1) T(V+V')=(α₁+α'₁) w₁+...+(α_n+α'_n) w_n= (α₁ω₁ + ... + α_nω_n) + (α₁'ω₁ + ... + α_n'ω_n) == T(v) + T(v₁')

⇒ T è additiva

∀λ∈ℝ

λv = λ(α₁v₁ + ... + α_nv_n) (lo stesso è anche con 2v')

⇒ T(λv) = λα₁ω₁ + ... + λα_nω_n == λ(α₁ω₁ + ... + α_nω_n) = λT(v)

⇒ T è omogenea

Quindi, T esiste ed è lineare.

Ora verifichiamo l'unicità di T.

Per assurdo, sia S:V→W un'altra applicazione lineare tale che S(v_j)=ω_j per j=1,...,n.

Prendiamo allora v∈V e lo scriviamo nuovamente come combinazione lineare della base di V:

v=α₁v₁+...+α_nv_n

Allora:

S(v) = α₁ω₁ + ... + α_nω_n = T(v)

⇒ S≡T

⇒ T è unica □

Proposizione

Sia T: V → W un'applicazione lineare. Allora:

• Ker T è un sottospazio di V
• Im T è un sottospazio di V
• T è suriettiva ⇔ Im T = W
• T è iniettiva ⇔ Ker T = {0}_V

Unico punto che distingue le appl. lineari dalle funzioni

Dimostrazione

• Verifichiamo che Ker T sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare
• V₁, V₂ ∈ Ker T t.c. T(V₁) = T(V₂) = 0

Additività

T(V₁ + V₂) = T(V₁) + T(V₂) = 0 + 0 = 0

⇒ v₁ + v₂ ∈ Ker T

⇒ Ker T è chiuso rispetto alla somma

• V ∈ Ker T, λ ∈ R t.c. T(v) = 0

Omogeneità

T(λv) = λT(v) = λ ⋅ 0 = 0

⇒ λv ∈ Ker T

⇒ Ker T è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

⇒ Ker T è un sottospazio di V

Verifichiamo che Im T sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare

• W, w' ∈ Im T t.c. ∃v, v' ∈ V T(v) = w

T(v') = w'

⇒ definizione di Im T

Additività

T(v+v') = T(v) + T(v') = ω + ω'

⇒ ω + ω' ∈ Im T

⇒ Im T è chiuso rispetto alla somma

∀ ω ∈ Im T ∃ c. ∃ v ∈ V T(v) = ω

T(λv) = λT(v) = λω

⇒ λω ∈ Im T

⇒ Im T è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

⇒ Im T è un sottospazio di W

(iii)

La suriettività si definisce nel seguente modo: (A e B sono due insiemi qualunque)

∀b ∈ B ∃ a ∈ A t.c f(a) = b

Ovvero, in sintesi, Im (f) = B

Di conseguenza, per la definizione di suriettività, T è suriettiva ⇔ Im T = W

(iv)

⇒ Se T è iniettiva

T(v₁) = 0 = T(0), ⇒ v = 0 ⇒ ker = {∅}

⇐ Se ker = {∅}

∀v₁, v₂ ∈ V t.c. T(v₁) = T(v₂)

se ker = {∅} ⇒ T è iniettiva

T(V₁)=T(V₂) ↔ T(V₁)-T(V₂)=0 ↔ T(V₁-V₂)=0 V₁-V₂ ∈ KerT

Siccome KerT={0}, allora V₁-V₂=0 ↔ V₁=V₂

Quindi, per definizione di iniettività (∀a₁,a₂∈A t.c. a₁=a₂ ⇒ f(a₁)=f(a₂)), T è iniettiva. □

Teorema della dimensione (!)

Sia T:V→W un'applicazione lineare. Allora dimV = dim KerT + rgT

Dimostrazione

Sia {V₁,...,V_p} una base di KerT, dove p=dim KerT.

Per il teorema del completamento:

KerT ⊆ V

{ è una base di V t.c. ∃V₁,...,V_p,U_p+1,...,U_r }

dove r=dimV,

Poniamo W_j=T(U_p+j)∈W per j=1,...,s, dove s=r-p.

Se w_j sono linearmente indipendenti, allora B={V₁,...,V_p, U_p+1,...,U_p+s} è una base di ImT.

Se B, quindi, è veramente una base di ImT, in tal caso avremo:

dim KerT + rgT = p + (r - p) = r = dimV

come da teorema.

Ora vogliamo verificare che i vettori w_j di B siano veramente linearmente indipendenti (e che quindi B sia veramente una base di ImT).

Supponiamo che α₁,..., α_s ∈ ℝ siano t.c. α₁w₁ + ... + α_sw_s = 0

Allora (w_j = T(u_pj)) j = 1, ..., s n.r.

0 = α₁T(u_p1) + ... + α_sT(u_ps) == T(α₁u_p1 + ... + α_su_ps)

Essendo T(α₁u_p1 + ... + α_su_ps) = 0, possiamo dire che per definizione di KerT α₁u_p1, ... , α_su_ps ∈KerT.

Sapendo, inoltre, che T(V_i) = 0 per i = 1, ..., p, dove p = r - s, possiamo dire che esistono β₁,...,β_p ∈ ℝ t.c.

(α₁u_p1 + ... + α_su_ps) = 0 = T(β₁v₁ + ... + β_pv_p)

α₁u_p1 + ... + α_su_ps = β₁V₁ + ... + β_pV_p

Quindi, (α₁u_p1 + ... + α_su_ps) = (β₁v₁ + ... + β_pv_p)

Essendo v₁,... , v_p, u_p1,... , u_ps una base di V ne consegue che essi sono (linearmente) indipendenti e ne consegue che α₁ = ... = α_s = 0 = (β₁ = ... = β_p)

Ovvero come avevamo supposto all'inizio.

Corollario

(1^a conseguenza del Teo della dimensione)

Sia T:V→W un’applicazione lineare.

Allora:

• T è iniettiva ⟺ rgT=dimV
• T è suriettiva ⟺ rgT=dimW
• Se dimV=dimW (in particolare se V=W), T è iniettiva ⟺ T è suriettiva

Altro modo di vederlo:

(solo x capirmi)

T è un endomorfismo ⟺ T è biiettiva

[quindi: T è anche invertibile]

Dimostrazione

• Per il teorema della dimensione, T è iniettiva ⟺ dimKerT=0 ⟺ KerT={0}
• T è suriettiva ⟺ ImT=W, che succede ⟺ rgT=dimW
• ⇒ Se dimV=dimW, allora per il punto (ii), ovvero quando T è suriettiva, dimW=rgT; e quindi dimV=rgT. Dire che dimV=rgT sta a significare, per il punto (i), che dimKerT=0, quindi KerT={0}. Ovvero T è iniettiva.
• ⇐ Se T è iniettiva, allora dimKerT=0. (punto (i)) Se T è suriettiva, allora rgT=dimW. (punto (ii)) Allora, per il teorema della dimensione, avremo che dimV=dimW. ■

Corollario di Rouché-Capelli

Fatto importante:

Criterio per decidere quando un sistema lineare ammette soluzioni

Sia Ax=b (A∈ℝ^m×n), un sistema lineare di m equazioni in n incognite e sia A' la matrice completa del sistema.

Allora:

• (i) Il sistema è compatibile <=> rg A = rg A'
• (ii) La soluzione, se esiste, è unica <=> rg A = n

Quindi:

• Se rg A < rg A', il sistema è impossibile
• Se rg A = rg A', il sistema è compatibile e, in particolare:
• A) Se rg A = n, il sistema ammette un'unica soluzione
• B) Se rg A = r < n, il sistema ammette ∞ soluzioni

Dimostrazione

Dalla definizione di sistema compatibile, sappiamo che la soluzione esiste <=> b∈span (A₁,...,A_m), che è equivalente a dire che span (A₁,...,A_m) = span (A₁',...,A'_m, b)

Per il lemma sull'immagine:

span (A₁',...,A'_n) è l'immagine di L_A

span (A₁,...,A_m,b) è l'immagine di L_A'