Applicazioni lineari

L_A(x) applicazioni lineari = omomorfismo

Siano V e W 2 spazi vett. Un'app. si dice lineare

T: V → W

v ∈ K

T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂)

Somma dominio

Somma codominio

T(vα) = αT(v)

Atto passato

Per l'origine

PS: Se T(0) ≠ 0 non è lineare ma non è detto che se T(0) = 0 è lineare

V^m - W^m Matrice identità ➔ ker id={0}

Se T: V → W è lin. e S: W → U è lin. allora V - W^T - U è lin.

S ∘ T

(S ∘ T) ● (smorja T)

T ∘ S

Cioè V - U (T ∘ S)(u) = T(S(u))

L_A(Σ) applicazioni lineari = omomorfismo

Siano V e W 2 spazi vett. Un'appl. si dice lineare

T: V ───> W

(BIO.cond.se k_k

Presendo V, sparando di là e sommando e'-sommoli e poi sparando di là

• T (v_x1 + v_x2) = T (v_x1) + T (v_x2)
• T (k v) = k T (v)_p

Sommadirinoserrrik codominio

Per e le origin---T additivo

Chiusa risp. somma e prodotto

ADD (a₁ v₁ +...+ a_m v_m)= a₁ w₁ +...+ a_m w_{m 1 l 2} lineare matrice identica v nmodulo in _{e senso N>0}

PS: V V!

Se _') se _{e lineare0) e = ker id= 0!!!}

Vs: Se T : VT :_mTSO V U -V W e line e S: Se:WU _dic-- lli TWTUmodulo WT' line e line L((R^p, R^m)=d_dim (i (R^p, R^m)

T: U - V↔ s: W - U _{(smoggia T: S V}

Cioè V - U( →T (& .H_mpc(R) ., T : U ˂'-W R).

(T o S)(u) =T (S (u))

Ipotizzando

_S∈_Mm,p(ℝ)_T∈_Mm,m(ℝ)

Allora (S○T)∈_Mm,p(ℝ) cioè la matrice di m righe x p colonne

_{D Mm,p}=_{Mm,pprodotto per matrici}

Risp:

Esercizio 1

Dire quali tra le seguenti applicazioni da ℝ³ a ℝ³ sono lineari:

• _T1(^x_{y z})=(^2x-y_z-xy+z)
• _T2(^x_{y z})=(^{y2 + x}_2zx+z)
• _T3(^x_{y z})=(^x+y+1_x+z0)

Quando sono lineari?

Se chiusi per somma e prod. scalare→ Omogenea?

_T1:(^2x-y_z-xy+z)= (^?₀0)→ è omogenea cioè non ha termini noti → lineare

_T2:(^y2+x_2zx+z)= (^?₀0)→ è omogenea cioè non ha termini noti → lineare

_T3:(^x+y+1_x+z0)= (^?₀0)→ Non è omogenea cioè ha termini noti → non lineare

Geometricamente

Se:

L(v) + L(w) = L(v + w) chiuso risp. somma

Dove va l'immagine ^t=0? _t=m?

L(αv) = L(αv) chiuso risp. prod. x scalar

Allora l'applicaz. è lineare

Linee rimangono linee

Origine rimane fissato

PS: presi lo spazio V di partenza → spazio W di arrivo se s=c

Condizione necessaria per la linearità

Per vedere se una data funzione è lineare, bisogna in teoria verificare le proprietà di omomorfismo, ossia la linearità e l'omogeneità: tradotto (bisogna verificare che l'immagine della combinazione lineare è la combinazione lineare delle immagini). Esiste, tuttavia una scorciatoia che ci permette di abbreviare i calcoli...

Tutto parte dal vettore nullo. Cosa accade quando applichiamo la funzione al vettore nullo? In che cosa si trasforma? Per capirlo, consideriamo una funzione lineare f : V → W. Ora se consideriamo il vettore nullo 0̅.

Che cos'è f(0̅)?

Naturalmente presi due vettori v₁ e v₂ in V e due coefficienti λ₁ e λ₂ di un campo K, vale:

f(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁f(v₁) + λ₂f(v₂)

Se applichiamo questa regola al vettore nullo possiamo scrivere la seguente cosa (siccome non so chi è f(0̅) lo chiamo w).

f(0̅ + 0̅) = f(0̅)     f(0̅) = w

Ora, mi ricordo della proprietà di omomorfismo e spezzo la funzione nella somma delle