Analisi matematica I - Teoria, teoremi e dimostrazioni

Revisionato il 28/07/2026

di NoteWave_RF

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Propongo Appunti di teoria per l'esame di Analisi matematica I per l'ingegneria, Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale (UniMORE). Gli argomenti previsti sono:-Numeri …

Esame Analisi Matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gavioli Andrea

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

A.A. 2016-2017

72 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Settore: MAT/05 Analisi matematica I teoria UniMORE Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Filippo Ribes NOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online.

Capitolo 1: numeri reali ℝ

Ente matematico atto a misurare numericamente ogni grandezza.

ℕ Numeri naturali: { 1, 2, 3, ... }
ℤ Numeri interi/relativi: { ..., -2, -1, 0, +1, +2, ... }
ℚ Numeri razionali: ^K/_M, K ∈ ℤ, M ∈ ℕ. ℚ è denso in ℝ, cioè ∀a, b ∈ ℝ | a0 ∃x∈A | x ≥ M – ε.

Confronto tra massimo e superiore

M = max A ⇨ M = sup A ⇨ M ≥ x, ∀x ∈ A.
M = sup A ✘ M ≠ max A ⇨ ∃ε > 0, ∃x ∈ A | x > M - ε.

Proposizione: esistenza dell'estremo superiore

Proposizione (esistenza dell'estremo superiore) (*)

Hp: A ⊂ ℝ, A ≠ Ø, A superiormente limitato;

T(a): A ammette estremo superiore.

Dim. Sia B l'insieme dei maggioranti di A, ovvero:

B = {y ∈ ℝ | y ≥ x ∀x ∈ A}. A ≠ Ø (per ipotesi) e x ∈ Ø.

∀x ∈ A, ∀y ∈ B si ha x ≤ y, vero per definizione di B.

Dunque, per l'assioma di completezza ∃ M ∈ ℝ | ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x ≤ M ≤ y (M è il più piccolo dei maggiora

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