Analisi matematica 2

Giovedì 6 ottobre 2022 14:04

Dato un vettore non nullo OP, vogliamo descrivere tutti i vettori in E₃ che hanno la stessa direzione di OP

Def: Span(OP) = {λ.OP | λ ∈ R}

Osservazione: OQ ∈ Span(OP) ⇔ OQ ha la stessa direzione di OP ⇔ O, P, Q sono allineati, cioè giacciono sulla stessa retta.⇓ per definizione

2 casi:

• OQ ha lo stesso verso di OP. Poniamo λ = |OQ| / |OP| λ.OP = OQ
• OQ ha verso opposto. Poniamo λ = - |OQ| / |OP|

3 Pagina 1

Dato un vettore non nullo _OP, vogliamo descrivere tutti i vettori in E₃ che hanno la stessa direzione di _OP

Def: (_OP) = {l · _OP | l ∈ R}

Oss: _OQ ∈ (_OP) ⇔ _OQ ha la stessa direzione di _OP ⇔ O, P, Q sono allineati, cioè giacciono sulla stessa retta.⇒ per definizione

2 casi:

• _OQ ha lo stesso verso. l > 0. Poniamo \( l = \frac{|OQ|}{|OP|} \) l · _OP = _OQ
• _OQ ha verso opposto. Poniamo \( l = -\frac{|OQ|}{|OP|} \)

OQ⃗ = λ·OP⃗

Def: OP⃗, OQ⃗ ∈ E³ sono linearmente indipendenti se OP⃗ ≠ 0⃗ e OQ⃗ ∉ Span(OP⃗)

Equivalentemente OP⃗ e OQ⃗ sono linearmente indipendenti se O, P, Q non sono allineati (non giacciono su una retta).

QP

In particolare se OQ⃗ ∉ Span(OP⃗)

OP⃗ ∉ Span(OQ⃗)

Se OP⃗ e OQ⃗ sono indipendenti, allora OP⃗ ≠ 0⃗, OQ⃗ ≠ 0⃗

Def: Span (OP⃗, OQ⃗) = { λ·OP⃗ + μ·OQ⃗ | λ ∈ R, μ ∈ R }

Sono i vettori in E³ che si ottengono come somma di vettori di Span(OP⃗) e Span(OQ⃗)

Oss: Se OQ⃗ = 3·OP⃗

λ·OP⃗ + μ·OQ⃗ = λ·OP⃗ + 3μ·OP⃗ = (λ + 3μ)·OP⃗ ∈ Span(OP⃗)

Perfetto se OQ⃗ ∈ Span(OP⃗), allora Span(OQ⃗, OP⃗) = Span(OP⃗)

Perfetto se OQ ∈ Span(OP), allora Span(OQ, OP) = Span(OP)

Vettori linearmente indipendenti

Se invece OP e OQ sono linearmente indipendenti:

Attenzione. In questo caso OP e OQ indipendenti:

Span(OP) ∪ Span(OQ) ≠ Span(OP, OQ)

OP + OQ ∈ Span(OP, OQ)

Span(OP), Span(OQ)

Detto π il piano contenente OP e OQ, se OR non è contenuto in π allora sicuramente OR ∉ Span(OP, OQ), poiché facendo operazioni di somma e moltiplicazione per scalari su OP e OQ non posso "uscire" da π

scalare su OP e OQ non possono "uscire" da π

Di conseguenza, una condizione necessaria affinché OR ∈ Span(OP,OQ) è che R ∈ π.

La condizione R ∈ π è anche sufficiente, ovvero vediamo che se R ∈ π, allora ∃ λ, μ ∈ ℝ t.c.

OR = λOP + μOQ

OQ' ∈ Span(OQ) ⇒ OQ' = μ·OQ per qualche μ ∈ ℝ

OP' ∈ Span(OP) ⇒ OP' = λ·OP per qualche λ ∈ ℝ

OR = OP' + OQ' = λ·OP + μ·OQ c.v.d

⇒ OR ∈ Span(OP,OQ)

Def: OP, OQ, OR ∈ ℰ₀₃ sono linearmente indipendenti se

OP ≠ 0, OQ ∉ Span(OP), OR ∉ Span(OP, OQ)

In particolare da queste condizioni segue che _OP, _OQ e _OR non sono nulli.

Oss: _OP, _OQ, _OR sono linearmente indipendenti se non esiste un piano contenente O, P, Q, R

Def: Span (_OP, _OQ, _OR) = {^λ_OP + ^μ_OQ + ^ν_OR|λ, μ, ν ∈ ℝ;}

Teorema

Teorema: Se OP, OQ, OR sono linearmente indipendenti, dato un qualsiasi vettore V ∈ E03, è possibile determinare λ, μ, ν ∈ ℝ tali che

_V = ^λ_OP + ^μ_OQ + ^ν_OR, inoltre questa scrittura è unica (λ, μ, ν sono univocamente determinati)

In particolare Span (OP, OQ, OR) = E03

In particolare Span(⃗,⃗,⃗)=

Dimostrazione

Dim: 1^° passaggio, Mostriamo che ∃ ⃗ ∈ Span(⃗,⃗) e ∃ ∈ ℝ t.c. ⃗= ⃗ + ·⃗

Idea: ∃ ∈ ℝ ⃗= ⃗ + ·⃗

2^° passaggio: ∃ , ∈ ℝ t.c. ⃗= ·⃗ + ·⃗

⃗= ·⃗ + ·⃗ + ·⃗ per opportuni ,, ∈ ℝ,

Se fisso tre vettori indipendenti: ⃗, ⃗ e ⃗, qualunque vettore ⃗∈³ mi individua univocamente tre numeri ,, ∈ ℝ.

t.u. t.c ⃗= ·⃗ + ·⃗ + ·⃗

Base di E_o³

Def: Una base di E_o³ è un insieme di 3 vettori linearmente indipendenti.

{u̅, v̅, w̅} base di E_o³, allora ogni vettore O̅P si ottiene in modo unico come somma di multipli di u̅, v̅, w̅, quindi, dato O̅P, esistono unici d, μ, ν ∈ ℝ t.c.

O̅P = d·u̅ + μ·v̅ + ν·w̅.

In questo modo, fissata una base B = {u̅, v̅, w̅} di E_o³, stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra vettori di E_o³ e terne di numeri reali:

(α, β, γ) → O̅P = α·u̅ + β·v̅ + γ·w̅

Viceversa, dato O̅P ∈ E_o³, so che O̅P = d·u̅ + β·v̅ + γ·w̅ e questa decomposizione individua 3 numeri reali α, β, γ

E_o³ ↔ ℝ³

La questa corrispondenza dipende dalla scelta