Analisi Matematica 1- parte 3 - Calcolo integrale: integrale indefinito, definito e metodi di integrazione

CALCOLO INTEGRALE

Il calcolo integrale e utilizzato per due scopi:

• data una funzione f, trovare una funzione F tale che F'(x) = f(x)INTEGRALE INDEFINITO
• calcolare l'area sottesa al grafico di una funzioneINTEGRALE DEFINITO

I quali sono legati dal TEOREMA FONDAMENTALE del CALCOLO INTEGRALE

INTEGRALE INDEFINITO

Sia f:(a,b) -> IR derivabile; F si dice primitiva di f sull'intervallo (a,b) se

F'(x) = f(x) per x in (a,b) -> F(x) = f f(x) dx

con: F(x) - funzione primitivaf(x) - funzione integrandadx - variabile di integrazione

Per ogni funzione integranda esistono piu funzioni primitive

es. F(x)=2x    F'(x)=2    F(x)= f 2 dx = 2x + c

la derivata di una costante e nulla quindi viene eliminata dall'equazione,c quindi rappresenta ogni possibile costante che e stata annullata

Sia F una primitiva di f, allora anche F+c, con c costante, e una primitiva di f

DIMOSTRAZIONE:

(F(x)+c)' = F'(x) + c' = f(x) + 0

La derivata di una costante e nullaperche F'(x)=f(x) -> (F'(x))' = f'(x)

Siano F1 e F2 primitive di f, allora esiste c in IR tale che F1 = F2 + c

DIMOSTRAZIONE:

(F1 - F2)'(x) = F1'(x) - F2'(x) = f(x) - f(x) = 0 -> F1 - F2 e una funzione con derivata nulla

per ipotesi

Sappiamo che le uniche funzioni a derivata nulla sono le costantiF1 - F2 = c -> F1 = F2 + c

Non tutte le funzioni ammettono una primitiva, come le funzioni che non sono continue, ovvero che presentano discontinuita a salto o asintoti verticali.

f(x): { 1 se x in Q0 se x in IR \ Q

Se f e continua su un intervallo I, allora f ammette primitiva

Esistono primitive che non possono essere espresse mediante funzioni elementari.

f f e-2x dx

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI ELEMENTARI

• f(x)=k con k in IR    F(x)= f k dx = kx + c
• f(x)=x^alpha con alpha != -1    F(x)= f x^alpha dx = x^alpha+1/(alpha+1) + c
• f(x)=1/x con x != -1    F(x)= f 1/x dx = log |x| + c
• f(x)=sen x    F(x)= f sen x dx = -cos x + c
• f(x)=cos x    F(x)= f cos x dx = sen x + c
• f(x)=1/cos²x    F(x)= f 1/cos²x dx = tan x + c
• f(x)=1/sen²x    F(x)= f 1/sen²x dx = -cotan x + c
• f(x)=1/(1+x²)    F(x)= f 1/(1+x²) dx = arctan x + c
• f(x)=1/sqrt(1-x²)    F(x)= f 1/sqrt(1-x²) dx = arc sen x + c
• f(x)=-1/sqrt(1-x²)    F(x)= f -1/sqrt(1-x²) dx = arc cos x + c

f(x) = a^x

F(x) = integral a^x dx = a^x / log a + c

c in IR

f(x) = e^x

F(x) = integral e^x dx = e^x + c

c in IR

PROPRIETA' degli INTEGRALI ~ LINEARITA' dell'INTEGRALE

• integral [(f(x) + g(x)] dx = integral f(x) dx + integral g(x) dx
• integral k f(x) dx = k integral f(x) dx

INTEGRAZIONE PER PARTI

F e' primitiva di f -> F' = f

G e' primitiva di g -> G' = g

(FG)' = F'G + FG' = fG + Fg

Fg = (FG)' - FG

integral Fg dx = integral (FG)' dx - integral FG dx

integral F(x) g(x) dx = F(x) G(x) - integral f(x)G(x) dx

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Supponendo che la composizione (F o phi)(x) = F(phi(x)) sia ben definita. Allora:

d/dx (F o phi)(x) = F'(phi(x)) . phi'(x) -> integral F'(phi(x)) . phi'(x) dx = F(phi(x))

integral F'(phi(x)) . phi'(x) dx -> poniamo phi(x) = t

dt/dx = dphi(x)/dx -> phi'(x) = dt/dx -> dt = phi'(x) dx

integral F'(phi(x)) . phi'(x) dx = integral F'(t) dt

dopo aver integrato in dt bisogna sostituire t = phi(x)

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE

• integral [f(x)]^k . f'(x) dx = [f(x)]^k+1 / (k+1) + c
• integral sen f(x) . f'(x) dx = - cos f(x) + c
• integral cos f(x) . f'(x) dx = sen f(x) + c
• integral e^f(x) . f'(x) dx = e^f(x) + c
• integral f'(x) / f(x) dx = integral (1 / f(x)) . f'(x) dx = log |f(x)| + c
• integral f'(x) / (1 + [f(x)]²) dx = arc tan f(x) + c

possono essere risolte come funzioni elementari, con il metodo per sostituzione

f(x) = t

f'(x) dx = dt

INTEGRALE DEFINITO

L'integrale definito rappresenta l'area sottesa dalla funzione f(x) in un intervallo [a;b]

Per questo non costituisce una funzione come nel caso dell'integrale indefinito, ma un numero

Idealmente l'area sottesa si ottiene scomponendo l'ipotenusa della funzione in tanti rettangoli, che costituiscono il plurettangolo, la cui area e' una approssimazione dell'area originale. Aumentando il numero dei rettangoli aumenta l'accuratezza dell'area ottenuta.

1. Divido [a;b] in n intervalli uguali di ampiezza (b-a)/n, chiamati I_i
2. In ogni intervallo I_i, scelgo un punto qualsiasi c_i
3. Si ottiene il plurettangolo con area A_n = sum f(c_i) . I_i

SOMMA DI CAUCHY - RIEMANN

Sia f:[a,b] -> R limitata

Allora si dice che f e derivabile su [a,b] se esiste finito e non dipend