Analisi e geometria I - Funzioni

FUNZIONI

UNA f: x→y DEVE AVERE 3 ELEMENTI:

1. UN INSIEME X →DOMINIO
2. UN INSIEME Y →CODOMINIO
3. UNA LEGGE CHE AD OGNI ELEMENTO x∈X ASSOCIA UNO ED UN SOLO ELEMENTO y∈Y

SI PONE y=f(x)

Y = CODOMINIO→INSIEME DEI VALORI CHE ESSA PUO ASSUMERE MA NON PER FORZA

X = DOMINIO

Im f = IMMAGINE DELLA FUNZIONE →INSIEME DEI VALORI CHE ESSA ASSUME SUL PROPRIO DOMINIO

SOTTOINSIEME DI Y → Im f = {f(x): x∈X} ⊆ Y POSSONO COINCIDERE MA NON PER FORZA

CONTRONIMMAGINE?

DUE FUNZIONI SI DICONO UGUALI QUANDO HA TUTTI E 3 GLI ELEMENTI UGUALI

f: R→R f(x)=(x+1)²

g: R→R f(x)=x²+1+2x

f(x)=g(x)

CAMBIA SOLO IL MODO DI CALCOLARE L'IMMAGINE

FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIUNIVOCHE

SIA f: x→y UNA FUNZIONE TRA DUE INSIEMI X E Y

1. f E' INIETTIVA QUANDO OGNI y∈Y AMMETTE AL + UNA CONTROIMMAGINE MEDIANTE f
2. f E' SURIETTIVA QUANDO OGNI y∈Y AMMETTE ALMENO UNA CONTROIMMAGINE MEDIANTE f
3. f E' BIUNIVOCA QUANDO OGNI y∈Y AMMETTE ESATTAMENTE UNA CONTROIMMAGINE MEDIANTE f

ESEMPIO

NO INIETTIVA (+ x vanno a y)NO SURIETTIVA (NON AMMETTE UNA y)

NO INIETTIVA (+ x vanno a y)SURIETTIVA (Im f = y)

NON E' UNA FUNZIONE (UNA x NON PUO' ESSERE ASSOCIATA A DUE y)

QUINDI:

1. f E' INIETTIVA <=> Vx₁,x₂ E X (f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂) - A ELEMENTI DISTINTI CORRISPONDONO ELEMENTI DISTINTI
2. f E' SURIETTIVA <=> Im f = Y
3. f E' BIUNIVOCA <=> E' INIETTIVA E SURIETTIVA

ESEMPIO

f : R -> Rx -> x²

NO INIETTIVANO SURIETTIVA

g : R⁺ -> Rx -> x²

INIETTIVANO SURIETTIVA

h : R -> R⁺x -> x²

NO INIETTIVASURIETTIVA

g : R⁺ -> R⁺x -> x²

INIETTIVASURIETTIVABIUNIVOCA

CAMBIARE IL DOMINIO O IL CODOMINIO CAMBIA LE PROPRIETA' DELLA FUNZIONE

DEF SIANO f:x->y E g:y->z ALLORA LA FUNZIONE COMPOSTA E' LA FUNZIONE g o f: x->z DEFINITA DA:

(g o f)(x) = g(f(x)) Vx in X

OSS x E' UN INSIEME QUALSIASI

f IDENTITA' DI X: i_x: X -> X

g(i_x(x)) = g(x)

i_y(f(x)) = f(x)

DEF UNA FUNZIONE f:x->y E' INVERTIBILE QUANDO ESISTE UNA FUNZIONE g:y->x t.c

g(f(x)) = x Vx in X E f(g(y)) = y Vy in Y

g o f = i_x

f o g = i_y

ESERCIZIO f: R -> R

x -> e^x

NO SURIETTIVA

NON E' INVERTIBILE

TEOR (DI CARATTERIZZAZIONE) UNA FUNZIONE f:x->y E' INVERTIBILE <=> E' BIUNIVOCA

ESERCIZIO f: R -> R⁺

x -> e^x

E' INVERTIBILE

f^: R⁺ -> R

x -> ln x

e^{ln x} = x

IDENTITA'

ln e^x = x

f: R⁺ -> R⁺

x -> x²

f^^-1: R⁺ -> R⁺

x -> sqrt(x)

sqrt(x²) = x

(sqrt(x))² = x

DEF UN GRAFICO DI UNA FUNZIONE f: x -> y E' G(f) = {(x,y) E x x y: y = f(x)}

GIO 3/10/24

e^x

ln x

x²

sqrt(x)

IL SENO NON E' INVERTIBILE PERCHE' E' PERIODICA

sin x: [-pi/2, pi/2] -> [-1, 1] - IN QUESTO MODO E' BIUNIVOC A

arcsin x: [-1, 1] -> [-pi/2, pi/2]

sin x

arcsin x

con x

con x : [-pi,pi] -> [-1,1]

arconx : [-1,1] -> [-pi,pi]

tg x

tg x : (-pi/2,pi/2) -> R

arctg x

arctg x : R -> (-pi/2,pi/2)

ESEMPIO

f(x) = (1+x)/(1-x) f : R - 1 -> R - 1

y = (x+1)/(1-x)

y - xy = 1 + x

y - 1 = (1+y)x

x = (y-1)/(y+1) f^(-1)(x) = (x-1)/(x+1)

DEF FUNZIONI PARI E DISPARI

AVENDO f : R -> R

1. f E' PARI ^--> x E R (f(-x)=f(x)) -- SIMM ALL'ASSE y
2. f E' DISPARI ^--> x E R (f(-x)=-f(x)) -- SIM RISPETTO ALL'ORIGINE
3. f E' NE' PARI NE' DISPARI -- ES: e^x

POLINOMI PARI -- HANNO SOLO POTENZE PARI

POLINOMI DISPARI -- HANNO SOLO POTENZE DISPARI

TEOR

OGNI FUNZ f:R→R PUO ESSERE SCRITTA COME LA SOMMA DI UNA FUNZ PARI E UNA DISPARI

DIM

ASSUMO CHE SIA VERO

{ f(x)=p(x)+d(x) + -f(-x)=p(x)-d(x)

{ f(x)+f(-x)=2p(x)f(x)-f(-x)=2d(x)

p(x)= (f(x)+f(-x))/2 → PARTE PARI DI f

d(x)= (f(x)-f(-x))/2 → PARTE DISPARI DI f

ESEMPIO

f(x)=e^x f:R→R

p(x)= (e^x+e^-x)/2 = co shx

d(x)= (e^x-e^-x)/2 = si nhx

coshx NON E' INVERTIBILE PERCHE' E' PARI

sinhx INVERTIBILE

OSS

{ x=r cosθy=r sinθEQ PARAMETRICHE

x²+y²