Analisi e geometria I - Integrali

INTEGRALI DEFINITI

SIA f:[a,b] -> IR LIMITATA (CIOE' 'm>0 tc |f(x)|<M VVxE[a,b])

VOGLIAMO DETERMINARE L'AREA (CON SEGNO) DELLA REGIONE A

COME PROCEDERE?

SE f FOSSE COSTANTE = c (f(x)=cEIR VVxE[a,b]) HA OVVIAMENTE SENSO DIRE CHE L'AREA A=∫_a^bf(x)dx=c(b-a)

SE f E' PIU' COMPLICATA?

INTRODUCIAMO LA NOTAZIONE φ_E(x)={ 1 se xE E0 se x∉E }

E LA CHIAMIAMO φ_E FUNZIONE CARATTERISTICA DI E

DATI a=x₀<x₁<x₂<...<x_m-1<x_m=b CONSIDERO LA PARTIZIONE DI [a,b] FORMATA DAGLI INTERVALLI:

I₁=[x₀,x₁) I₂=[x₁,x₂) ... I_m-1=[x_m-2,x_m-1) I_m=[x_m-1,x_m]

SIANO POI λ₁,...,λ_n DEI NUMERI REALI

DEF (FUNZIONE SEMPLICE)

FUNZIONE DELLA FORMA φ(x)=∑_k=1^mλ_kφ_Ik(x) PER QUALCHE {I_k} E {λ_k} COME SOPRA

LA FUNZIONE φ E' QUELLA CHE VALE λ_k NELL'INTERVALLO I_k

DEF SE φ E' SEMPLICE COME VISTA SOPRA, DEFINIAMO ∫_a^bφ(x)dx = ∑_k=1^mλ_k(x_k-x_k-1)

OSS: se spezziamo un intervallo Ik in 2 intervalli I_1,k = [x_k-1, c) e I_2,k = [c, x_k] >> x_k-1 e assegno a entrambe il valore λ_k notiamo che il valore dell'integrale non cambia

Con questa procedura posso quindi pensare a 2 diverse funzioni semplici φ = Σ_k=1^m λ_k χ_Ik e ψ = Σ_k=1^m μ_k χ_Ik

come definite nei medesimi intervalli I_k

Una volta definite su intervalli in comune e' facile vedere che:

∫_a^b (φ(x) + ψ(x)) dx = Σ_k=1^m (λ_k + μ_k)(x_k - x_k-1) = Σ_k=1^m λ_k(x_k - x_k-1) + Σ_k=1^m μ_k(x_k - x_k-1) = ∫_a^b φ(x) dx + ∫_a^b ψ(x) dx

Si vede anche facilmente che ∀x € I_k ∫_a^b α φ(x) dx = α ∫_a^b φ(x) dx

Per una funzione qualsiasi come definiamo però l'integrale?

DEF Sia f: [a,b] -> R limitata

Una funzione semplice φ si dice maggiorante (minorante) per f se φ(x) >= (<=) f(x) ∀x∈[a,b]

Infatti con S⁺(f) (S^-(f)) si intende l'insieme di tutte le funzioni semplici maggioranti (minoranti) di f

Esempio

I = [a,b]

M = sup f(x) x∈I

m = inf f(x) x∈I

φ(x) = Mχ_I(x) ← maggiorante

ψ(x) = mχ_I(x) ← minorante

Notiamo che se φ∈S⁺(f) e ψ∈S^-(f) allora ∫_a^b ψ(x) dx ≤ ∫_a^b φ(x) dx ∀φ,ψ∈S⁺(f)/S^-(f)

quindi vale anche sup_ψ∈S^-(f) ∫_a^b ψ(x) dx ≤ inf_φ∈S⁺(f) ∫_a^b φ(x) dx

DEF (INTEGRABILITA' SECONDO RIEMANN)

SIA f: [a,b] -> IR LIMITATA, DICIAMO CHE f E' INTEGRABILE (SECONDO RIEMANN) IN [a,b] SE sup_{psi ES(f)} ∫_a^b psi(x)dx = inf_{phi ES(f)}∫_a^b phi(x)dx

IN QUESTO CASO PONIAMO QUESTO VALORE COME ∫_a^bf(x) = dx

SI PUO' DIM CHE VALGONO I SEGUENTI FATTI:

SE f e g SONO INTEGRABILI IN [a,b] ALLORA:

1) f+g E' INTEGRABILE E ∫_a^b(f(x)+g(x))dx = ∫_a^bf(x)dx + ∫_a^bg(x)dx QUESTO PERCHE' VALE ANCHE PER LE FUNZ SEMPLICI

2) αf E' INTEGRABILE ∀α IN IR E ∫_a^bαf(x)dx = α∫_a^bf(x)dx

3) |f| E' INTEGRABILE E |∫_a^bf(x)dx| < ∫_a^b|f(x)|dx -- SEGUE DA QUELLA SOTTO PERCHE' -|f| ≤ f ≤ |f|

PIU' IN GENERALE: SE f ≤ g => ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx -- L'INTEGRALE MANTIENE LA MONOTONIA

4) f E' INTEGRABILE IN OGNI INTERVALLO [c,d] ⊆ [a,b] E INOLTRE ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx ∀c ∈ (a,b)

TEOR se f E' CONTINUA IN