Analisi delle serie storiche

Analisi serie storiche

(2 marzo 2022). Per serie storica si intende un insieme di dati ordinati secondo un criterio qualitativo, in cui le modalità sono modalità temporali. Quelle che in statistica vengono definite con f, cioè la frequenza delle modalità, nell'analisi delle serie storiche viene definita intensità, che viene considerata per ogni istante di tempo.

Esempio di analisi

Esempio: x -> voto esame; f -> numero volte ho preso quel voto diviene: x -> intervalli temporali (es. 1 Marzo); i -> intensità valore assunto in ogni giorno di rilevazione. Se il fenomeno da studiare non accade ogni giorno, si considerano solo i giorni in cui il fenomeno accade (nel nostro esempio, vengono esclusi giorni in cui non si è preso alcun voto, mentre si considerano tutti i giorni in cui si è preso un qualsiasi voto). Chiaramente, se il fenomeno accade ogni giorno, vengono considerati tutti i giorni.

Utilità dell'analisi delle serie storiche

L'analisi delle serie storiche può avere diverse utilità. Come esempio, un bar che vende caffè ai suoi clienti, considerando di fare una rilevazione oraria, può servire per:

• Capire la quantità di materia prima necessaria -> es. quantità di caffè necessario alle 8 del mattino;
• Avere il numero di personale addetto necessario alle 8 di mattina.

La rilevazione, nell'esempio del bar, è una rilevazione oraria. Dipende dalle esigenze: si può scegliere ad esempio anche una rilevazione eseguita ogni minuto, e occorre poi scegliere se considerare l'inizio o la fine del minuto (ad esempio nella finanza, le rilevazioni basate sui minuti sono molto frequenti, ma occorre scegliere se si vuole considerare l'inizio o la fine del minuto perché all'interno di quel minuto avvengono tantissime transazioni).

Chiaramente, la scelta di scegliere ore, o minuti, mesi ecc. dipende dallo scopo che si vuole raggiungere con l'analisi: ad esempio, se investiamo dei soldi aspettandoci dei rendimenti tra 4 anni, è inutile eseguire misurazioni minuto per minuto, mentre sarebbe ragionevole eseguirle mensilmente.

Fasi dell'analisi delle serie storiche

Quando si decide di eseguire un’analisi delle serie storiche, occorre seguire le seguenti fasi:

• Determinare il fenomeno da studiare;
• Determinare la misura di quel fenomeno da determinare;
• Determinare gli istanti temporali di rilevazione;
• Determinare il modello di analisi: per tale intendiamo una regola di comportamento, esprimibile in modo matematico, che esprime il comportamento della serie osservata.

Utilizzando un grafico cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono sempre rappresentati gli intervalli temporali individuati; nell'asse delle ordinate i valori osservati della serie.

Modello generale

Un modello generale per descrivere il processo generatore di una serie storica è:

Y = f(t) + u_t

Dove:

• Y = serie osservata;
• t = diversi istanti temporali di rilevazione;
• u = errore (o residuo).

Funzione del tempo e errori

L’analisi delle serie storiche individua una qualche f(t) [funzione del tempo] che diventi una sequenza deterministica (=parte deterministica: regola di comportamento che determina il valore osservato della serie). È però difficile trovare una regola perfetta, perché c'è sempre variabilità che impedisce al fenomeno di essere preciso: ciò significa che anche se individuiamo una buona f(t) [funzione di comportamento], che è molto vicina Y, devo considerare che nella serie ci sarà sempre un erroret. Per u si definisce infatti un errore, che deve essere casuale e il più piccolo possibile; per casuale intendiamo dire che deve essere il più stazionario possibile intorno allo zero, si dice infatti che l'errore sia a media zero.

Approcci di analisi

Ogni approccio di analisi ha una sua idea di cosa sia f(t); possiamo infatti distinguere due approcci:

• Approccio classico: Analisi di tipo descrittivo. Secondo tale approccio, si suppone che esista una legge di evoluzione temporale del fenomeno rappresentata da f(t). Inoltre, individua in f(t) tre tipi di cose temporali che costituiscono la parte deterministica:

• Cause di lungo periodo: trend, spinta di bassa intensità ma costante nel tempo; il trend solitamente sono mediamente crescenti, ma possono essere anche mediamente decrescenti o addirittura senza trend. Si dice anche che i trend siano monotòni: ciò significa che, se sono crescenti sono SOLO crescenti, se sono decrescente invece sono SOLO decrescenti.
• Cause di medio periodo: cicli, che sono oscillazioni intorno al trend: a volte la serie cresce e diviene superiore al trend, altre volte decresce e diviene inferiore al trend, mentre a volte non cresce e non decresce. I cicli hanno solitamente una durata compresa tra un minimo di circa 2 anni e un massimo di circa 7 anni, ma questo periodo non è costante perché dipende molto dalla stagionalità.
• Cause di breve periodo: stagionalità, cioè oscillazioni con periodo pari ad un massimo di un anno.

La distinzione tra ciclo e stagionalità può essere eseguita in base al periodo: si parla infatti di stagionalità se le oscillazioni si susseguono nell'arco di un anno e si ripresenta nello stesso modo in anni diversi. Ovviamente la serie ha una certa variabilità, altrimenti sarebbe anche inutile fare qualsiasi analisi statistica. Come sappiamo la misura in cui è espressa la variabilità viene definita varianza. Si dice che la serie è eteroschedastica, ciò significa che la varianza è variabile. La parte deterministica dell'approccio classico è composta dalla somma tra le tre componenti appena dette: trend, ciclo, stagionalità.

R(t) = trend + ciclo + stagionalità

dove:

• R(t) -> dati ricostruiti;
• trend + ciclo + stagionalità -> è la parte deterministica ed occorre che siano dati valori ad ognuno di essi.

L'idea alla base dell'approccio classico è la seguente: se siamo stati capaci di aver isolato (=identificato) la parte deterministica, nella serie di residui (=errori), non dovrebbe esserci parte deterministica: quindi dovranno essere non deterministici, cioè casuali. L'analisi dei residui è una sorta di verifica del lavoro fatto, il cui obiettivo è quello di verificare la casualità dei residui stessi.

Obiettivi dell'analisi delle serie storiche

In sintesi, l'analisi delle serie storiche si pone i seguenti obiettivi:

• Descrivere e spiegare una serie nell'andamento del tempo (analisi grafica);
• Spiegare qual è la regola interna di comportamento (cioè il meccanismo generatore della serie);
• Filtrare, togliere oscillazioni così da capire cosa succede in assenza di queste e individuare la parte oscillabile non direttamente;
• Controllare la qualità (nel caso del controllo di qualità di un processo produttivo attraverso le osservazioni di campioni successivi di prodotti);
• Eseguire previsioni circa l'andamento futuro della serie con un criterio quantitativo, basato sulla sua storia passata (ciò ci dà una probabilità maggiore rispetto alle previsioni basate su nessun criterio).

Analisi dei dati annuali e cicli

(3 marzo 2022). RICORDA: Se diciamo "PIL annuale" (ad esempio), non intendiamo il PIL calcolato per un anno, ma che abbiamo dati per ogni anno: serie annuale = 1 dato per ogni anno.

All'interno di un grafico cartesiano, sia stagionalità se tale grafico presenta un’onda (per un anno) si rivede in più anni (per ogni anno gli stessi minimi e gli stessi massimi). Quindi, anche per capire se c'è stagionalità non ci bastano i dati di un solo anno: dobbiamo considerare quindi il periodo (max 1 anno) e la ricorrenza: senza ricorrenza non c'è stagionalità.

Si ha ciclo invece se ci sono oscillazioni pluriennali intorno al trend (cioè nel medio-lungo periodo). Le caratteristiche del ciclo sono quindi le oscillazioni e la loro pluriennalità.

All'interno di questo grafico non possiamo dire se ci sia o meno stagionalità, perché non riusciamo a capire cosa c'è all'interno di ogni anno. Sappiamo però che c'è parte residuale: questo perché le onde non hanno un andamento perfetto; se così fosse probabilmente non avremmo alcuna parte residuale.

Per quanto riguarda il ciclo invece, all'interno di qualsiasi grafico è presente se l'onda è completa, come nel seguente esempio:

Dalla vecchia macroeconomia, si è dedotto che i cicli durano circa 7 anni, ma negli ultimi anni sono avvenuti cicli anche di durata di 8/10 anni, e anche in tal caso si parla comunque di ciclo. Come abbiamo detto, secondo l'approccio classico, la parte deterministica è composta da tre componenti, trend ciclo e stagionalità. La componente che rimane fuori da questa parte deterministica, viene definita componente residuale e ha natura casuale. Da un punto di vista più quantitativo, l'approccio classico consiste nello scomporre la serie in più serie componenti. Quindi noi dobbiamo isolare quantitativamente il trend (=spinta di lungo periodo) per ogni dato osservato; poi dobbiamo scomporre il ciclo (=isolare la spinta ciclica che accelera o decelera rispetto al trend); isolare quantitativamente la stagionalità e dopo aver fatto ciò ottenere il residuo in tal modo:

Residuo = dato osservato - componente deterministica

Modelli di combinazione delle componenti

Il modo con cui combiniamo l'apporto dato dalle diverse componenti può essere diverso:

1. Modello additivo: y_t = T_t + C_t + S_t + E_t (a volte il ciclo C_t non viene scritto). Le componenti S_t, T_t, E_t sono espresse nella stessa unità di misura di y_t; è il valore neutrale del modello additivo; il trend viene definito il livello della serie, mentre le altre componenti sono aggiuntive (o diminutive, in tal caso avranno segno negativo) rispetto al trend.
2. Modello moltiplicativo: y_t = T_t * C_t * S_t * E_t (anche qui a volte il ciclo C_t non viene scritto). Solo la componente T_t è della stessa unità di misura di y_t; S_t e E_t sono invece numeri puri (coefficienti, ad es. 0,90). Il trend è ancora definito livello della serie; se il coefficiente è disegnato al di sotto della retta (e quindi indica una decelerazione rispetto al trend, dev'essere necessariamente minore di 1); se disegnato invece al di sopra della retta (e quindi indica un’accelerazione rispetto al trend), deve essere necessariamente maggiore a 1; se il coefficiente è disegnato invece sulla retta, avrà valore pari a 1. Nel modello moltiplicativo il valore neutro è 1.

Stima e modelli

(8 marzo 2022). Stimare in statistica come sappiamo significa attribuire un valore basato sui dati campionari (nell’analisi delle serie storiche tali dati sono proprio i dati della serie storica: infatti, anche l’analisi delle serie storiche è un segmento [o campione] di rilevazione estratto da una serie più grande).

Modello additivo

• La prima componente di cui eseguire la stima è il trend: quando stimiamo un trend, i metodi che utilizziamo derivano tutti dal fatto che il trend è monotòno;
• Occorre poi isolare la componente stagionale;
• E infine, per differenza, ottenere la componente residuale (T – S = componente residuale).

Se abbiamo 60 dati osservati nella serie storica, dovremmo avere anche 60 dati di trend, 60 dati di stagionalità e 60 dati di componente residuale: dobbiamo cioè costruire la serie per ciascuna delle 4 componenti (includiamo anche il ciclo che però nel nostro esempio sotto è escluso per facilitarci la didattica).

Se facciamo passare nei grafici appena visti il trend (che è una linea che passa tra i dati) tra i dati, passerà sotto i trimestri con valore più elevato e sotto quelli con valore più basso. Infatti se nel grafico del trend osserviamo il suo valore nell’asse y, parte da 41 (più basso rispetto ai trimestri più elevati ma più alto del trimestre che tocca i minimi), e poi sale fino ad arrivare intorni a 45-50: ciò significa che il trend esprime una tendenza media di lungo periodo. Il trend nel suo grafico, ha un andamento molto più crescente rispetto al grafico originario: ciò si ha perché utilizzano numeri diversi sull’asse delle ordinate -> nel grafico originario, sull’asse delle ordinate si hanno (70 – 20) = 50 valori; sul grafico del trend (T_t) invece solo (54 – 40) = 14 valori; per tale motivo notiamo visivamente una differenza di crescenza nei due andamenti (e quindi nei due grafici). Il trend inoltre potrebbe essere una retta o una curva, ma sarebbe pur sempre monotòno.

La stagionalità avrà media zero (ricordiamo che stiamo utilizzando il modello additivo): la stagionalità ha spinte positive e negative che si annullano, e quindi avranno somma zero e pertanto anche media zero. Esempio: nel grafico sottostante (uguale a quello sopra; l’asse delle ordinate è scritto a destra invece che a sinistra come di consueto ma non cambia nulla), la stagionalità ha andamento (osserviamo l’ultima onda a destra, quella più vicina all’asse delle ordinate, messa dentro il riquadro): nei positivi +5 (circa), +4 (circa), +8 (circa) per un totale di +17 circa; nei negativi invece tocca proprio il picco minimo di -17: ciò significa proprio che la stagionalità si annulla e ha media zero.

Relativamente alla componente residuale invece, ottenuta per differenza, dobbiamo dimostrare che questa abbia natura casuale (cioè non presenti T, C e S e che sia quindi non deterministica e casuale, appunto), e dato che nel nostro caso stiamo parlando di stime, e quindi di errori stimati, la componente residuale dovrà avere complessivamente media zero e varianza costante.

Nel modello moltiplicativo invece, la componente residuale avrà media 1, cioè la media dei 4 coefficienti (T_t, C_t, S_t e y_t) dei 4 trimestri dentro ciascun anno dovrà essere 1. La varianza in tal caso sarà crescente nel tempo; il trend sarà più evidente rispetto al modello additivo, e avrà una convessità opposta rispetto al grafico del trend nel modello additivo: la curva (o retta) che rappresenta graficamente il trend sarà quindi diversa.

Come abbiamo detto all’inizio, per stimare una serie storica, occorre innanzitutto stimare il trend. Abbiamo due metodologie per farlo (comuni anche alle altre componenti):

1. Metodologia analitica: occorre individuare una funzione che possa rappresentare ogni componente (T, C, S); tale metodologia, seppur comune a tutte le componenti, noi la useremo SOLO PER STIMARE IL TREND.
2. Metodologia di smussamento: si basa sulle medie mobili e diminuisce l’impatto delle oscillazioni, noi la useremo SOLO PER STIMARE CICLO E STAGIONALITÀ.

Criteri di scelta del modello

Per quanto riguarda la metodologia analitica: stimare il trend significa sostanzialmente e graficamente far passare una funzione di regressione tra i dati sparsi nel grafico, mediante il metodo dei minimi quadrati: ciò serve quindi per stimare i parametri della funzione che passa in mezzo ai dati.

Ma qual è la funzione migliore per rappresentare il trend? Per individuarla, possiamo utilizzare due criteri:

• Criterio delle differenze successive: serve a scegliere genericamente il grado q del polinomio che deve rappresentare il trend. Il trend però può essere rappresentato da una retta (funzione lineare), una funzione di 2° (ramo di parabola, ramo di iperbole; non parabola o iperbole complete perché queste due figure hanno andamento sia crescente che decrescente, e ciò non va bene perché sappiamo che il trend è monotòno, per cui in tal caso consideriamo solo un ramo cioè un pezzo delle stesse), oppure funzione di 3°, 4° ecc. Ma tra tutte queste scelte (in grassetto), come scegliamo la più opportuna per rappresentare il trend? A tal proposito utilizziamo proprio il metodo delle differenze successive. Le sue fasi sono:

• Inizialmente, abbiamo una serie osservata (=sequenza dati);
• Costruiamo allora la serie delle differenze prime: è una serie ottenuta facendo la differenza tra ciascun dato e il dato precedente ad esso. Esempio: secondo dato – primo dato = risultato, che sarà il primo dato delle differenze prime; terzo dato – secondo dato = risultato, che sarà il secondo dato delle differenze prime ecc.
• Abbiamo quindi due tipi di serie: la serie osservata, e quella delle differenze prime appena creata (che contiene n-1 dati).

Quando la serie osservata è strettamente crescente (es. 2, 4, 6, 8, 10, 12 ecc.), la serie di differenze prime sarà costante (cioè la differenza tra dato – dato precedente darà sempre 2) e quindi avrà media 2. Dire “differenze prime” significa dire “differenze a grado 1”; 1 sarà quindi il grado del polinomio ideale per rappresentare la serie. Se le differenze prime sono stazionarie, 1 sarà quindi il grado del polinomio più opportuno per rappresentare la retta. Se invece le differenze prime ancora crescenti (o decrescenti), dobbiamo creare la serie delle differenze seconde: se queste sono stazionarie, 2 sarà il grado del polinomio. Se invece non saranno ancora stazionarie, dobbiamo creare la serie delle differenze terze. Una volta trovata la serie stazionaria, il suo ordine sarà anche il grado del polinomio. Esempio: serie delle differenze quarte stazionaria -> 4 sarà anche il grado del polinomio.

In sintesi: il criterio delle differenze successive consiste nel costruire differenze di ordine 1, 2, 3 ecc. e di fermarci solo quando vediamo una serie di differenze stazionarie. L’ordine di quest’ultime sarà il grado del polinomio.

Criterio dell’R² corretto: consiste nel far passare più curve di grado diverso tra i dati, con R² diversi, e poi scegliere quello ottimale,