Calcolo vettoriale18\3
Consideriamo α = (α1, α2, α3) e β = (β1, β2, β3)
Prodotto vettoriale
Prodotto vettorialeα ∧ β = det| i j k || α1 α2 α3 || β1 β2 β3 |
- Antisimmetria
- Bilinearità
- Identità di Jacobi
Prodotto scalare
Prodotto scalareα ∙ β = ∑ αi βi
OSS Sia α, β, γα ∧ (β ∧ γ) = det| α1 α2 α3 || β1 β2 β3 || γ1 γ2 γ3 |
Proprietà
PROP(1) (α ∧ β) ∙ γ = (β ∧ γ) ∙ α = (γ ∧ α) ∙ β ciclicità del prodotto misto
(2) α ∧ (β ∧ γ) = α ∙ (β ∧ γ) = 0
(3) ‖α ∧ β‖2 = ‖α‖2‖β‖2 - (α ∙ β)2 Identità di Lagrange
Vec. per le superfici, due vettori saranno tangenti => α ∧ γ = ∠ angolo = area
Area parallelogramma = α β - α
Funzione vettoriale
LERTA Siano α, n: [a,b] → ℝ3
Funzione vettoriale
3 funzioni ℝ → ℝ
Es. di dt/dt = α'(t) ∙ α(t) + α(t), d'(t)> = 2 α'(t) ∙ α'(t) ‖α'(t)‖ ∈ cost => α'(t) ∙ α(t) = 0 => α(t), d'(t)
Funzione vettoriale
(1) d/dt (α(t) ∙ m(t)) = α'(t) ∧ m(t) + α(t) ⋅ m'(t)
(2) d/dt (α(t) ∧ m(t)) - α'(t) ∧ m(t) + α(t) ⋅ m'(t)
Calcolo vettoriale
Consideriamo α = (α1, α2, α3) e β = (β1, β2, β3)
Prodotto vettoriale
Prodotto vettorialeα ∧ β = det i j k α1 α2 α3 β1 β2 β3
- Antisimmetria
- Bilinearità
- Identità di Jacobi: (α ∧ β) ∧ γ + (β ∧ γ) ∧ α + (γ ∧ α) ∧ β = 0
Prodotto scalare
Prodotto scalareα · β = 3∑i=1 αi βi
OSS Sia α, β, γα ∧ β · γ = det α1 α2 α3 β1 β2 β3 γ1 γ2 γ3
Proprietà
PROP(1) α ∧ β ∧ γ = γ ∧ α ∧ β ∧ γ ciclicità del prodotto misto
(2) α ∧ α = α ∧ β = 0
(3) ‖α ∧ β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 - (α · β)2 Identità di Lagrange
Area e identità di Lagrange
pec.le superfici, due vettori saranno tangenti => α0 angolo + area
dav: identità di Lagrange:
OSS (α ∧ β)2 = (α · β)2 cos αβ
(α ∧ β)2 = (‖α‖ ‖β‖)2 (1 - cos2αβ) = ‖α‖ β sin αβ
=> 1/2 ‖α ∧ β‖ = ‖α‖ β sin αβ α · 1/2 β area parallelogramma formula dai vettori
1/2α ∧ β ⇒ α ∧ β 2 area
Formule di derivazione
LEMTRE Siano α m (a,b) β derivabil. Ancora valgono le formule di Liplanc → come la derivata del prodotto
(1) d/dt α(t) m(t) = α(t), m(t) + α(t), m'(t)
(2) d/dt [ α(t) ∧ m(t) ] - d [ α(t) ∧ m(t) + α(t) ∧ m'(t)
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[α: (a,b) R3]
[t ↦ α1(t) α2
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