Analisi 1 - 6-6 Integrali indefiniti in senso generalizzato e serie

Integrali impropri o in senso generalizzato

Per semplicità, consideriamo solo gli integrali in senso generalizzato di funzioni non negative, ovvero quando f(x) ≥ 0. Fin qui abbiamo trattato l'integrale definito

∫_a^bf(t)dt

dove [a,b] è un intervallo limitato e f è una funzione limitata. In questo caso, f ≥ 0 e

∫_a^bf(t)dt = Area (T)

dove T è una regione del piano limitata.

Integrali in senso generalizzato

Non è necessario che [a,b] sia limitato né che f sia limitata. Ad esempio, consideriamo

∫_a^+∞f(t)dt

Caso 1

Il nostro obiettivo è calcolare l'area di regioni illimitate e determinare i criteri (condizioni necessarie e sufficienti) affinché tali aree siano finite.

Integrale improprio (o generalizzato) di f(t) in [a;+∞]

Data [a;+∞] = ⋃[a;X[ (superiore insiemistico in cui f è integrabile in [a;X]) per ogni X appartenente a ℝ, definiamo l'integrale improprio o in senso generalizzato (s.g.) di f in [a;+∞] come

I = lim_X→+∞ ∫_a^Xf(t)dt

Se I appartiene a ℝ, si dice che è integrabile in s.g. in [a;+∞] e che l'integrale in s.g. di f in [a;+∞] converge. Se I = +∞, si dice che è integrabile in s.g. in [a;+∞] e che l'integrale in s.g. di f in [a;+∞] diverge.

Significato geometrico

I_X = ∫_a^Xf(t)dt = Area(T_X) con un certo X fissato

Area(_+∞) = Area(T_X)

1. Relazione tra integrabilità in s.g. in [a; +∞] della f e l'integrale di centro a

Graficeamente

Esempio: ∫_a^+∞f(t)dt. Qui T è una regione del piano illimitata con base illimitata.

Caso 1

Esempio: ∫_-∞^bf(t)dt. In questo caso, T è una regione del piano illimitata con altezza illimitata.

Obiettivi

• Calcolare l'area di regioni illimitate
• Determinare criteri (condizioni necessarie e sufficienti) affinché tali aree siano finite

Caso 1: Integrale improprio (o generalizzato) di f(x) in [a,+∞]

Dato I_x = ∫_a^xf(t)dt, per a 0, I esiste sempre sia che sa > 0 o +∞. Dimostrando che f ≥ 0 per ogni x >= , F(x) = ∫ f(t) dt ⊘ monotonia dell'integrale per ogni a.