Integrali indefiniti - Analisi 1

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Primitiva di una funzione Integrale indefinito Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione per scomposizione Integrazione funzioni razionali fratte Teorema di decomposizione in fratti semplici Integrazione funzioni in sen(x) e cos(x) Integrazione funzioni in e^x Integrazione funzioni in x^(m/n), cioè potenze di esponente razionale

Indice documento: Primitiva di una funzione Integrale indefinito Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione per scomposizione Integrazione funzioni razionali fratte Teorema di decomposizione in fratti semplici Integrazione funzioni in sen(x) e cos(x) Integrazione funzioni in e^x Integrazione funzioni in x^(m/n), cioè potenze di esponente razionale

Primitiva di una funzione

Sia f: (a,b) → ℝ. Diciamo che F: (a,b) → ℝ è una primitiva di f in (a,b) se F è derivabile in (a,b) e si ha:

F'(x) = f(x)   ∀x ∈ (a,b)

Esempi

• F(x) = cos x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = sen x   è una primitiva per f(x)
• F(x) = x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = x²/2   e   G(x) = 2 + x²/2 sono due primitive per f(x)
• F(x) = 2 cos 2x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = sen(2x)   e   G(x) = (sen x + cos x)² sono due primitive per f(x)
• F(x) = 1/x   x ∈ ]0, +∞[ ⇒ F(x) = log x è una primitiva.   ∫₀⁰ dx/x = 0
• Se   f(x) = 1/x   x ∈ ]-∞, 0[ ⇒ F(x) = log(-x) è una primitiva   ∫₀^-∞ dx/x = -∞
• Si deve tener conto del segno di x (con il seno fx)
• Quindi f(x) = 1/x   x ∈ ℝ ⇒ F(x) = log(|x|)

Dagli esempi due e tre possiamo dedurre che la primitiva non è unica.

Teorema (Le primitive differiscono per una costante)

Sia F (a,b)→ℝ e sia F una primitiva per f in (a,b). Allora la funzione G(x) = F(x) + c con c ∈ ℝ è ancora una primitiva di f in (a,b). Viceversa se F e G sono primitive di f in (a,b), allora ∃ c ∈ ℝ tale che F(x) - G(x) = c   ∀x ∈ (a,b).

Dimostrazione

Se F è primitiva allora ∃ c ∈ ℝ tale che G'(x) = F'(x) + 0 = f(x)  ∀x ∈ (a,b) ovvero G è una primitiva...

Dimostrazione inversa

Poniamo H(x) = F(x) - G(x).

Vogliamo H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0 in (a,b).

Ovvero ∃ c ∈ ℝ tale che H(x) = c   ∀x ∈ (a,b) ⇒ le primitive di una funzione sono infinite.

Oss: (Esistenza delle primitive)

Esistono alcune funzioni che non ammettono primitive, come la:

Funzione segno: f(x) = 1 se x > 0 0 se x = 0 -1 se x < 0. Poniamo f(x) = segno(x) con x ∈ R e la chiamiamo "segno di x".

Questa non ammette primitive infatti.

Supponiamo per assurdo che ∃ F:I⊆R → R primitiva f in I=R.

Allora F è derivabile in R ed in particolare è derivabile in x = 0 → _x→0 = F'(0) (Rapporto incrementale).

Ma per de l'Hopital lim _x→0 (F(x) - F₀) = lim _h→0 F(h) = lim _h→0 f(x).

Non è osservato perché ≠ lim perché la funzione ogni in x=0 fa.

Impossibile avere supposto che esiste una primitiva.

Oss

In generale una funzione F:(a,b)→R è derivabile in (a,b) allora in tutti suoi demnati prima (F'(x)) non può avere un salto in (a,b).

Dimostrazione

Se x₀ ∈ (a,b) ∃ F'(x₀) = lim _{x→x_0} (x) = F(x) - F_{0 x→x0}.

Siccome la lim non può avere un salto (poiché non può verificarsi) oppure lim _δ→0 Φ(x) = lim _δ→0 Φ(x).

Oss

Sia F:(a,b)→R una funzione e F una primitiva di f:(a,b).

Allora se x₀ ∈ (a,b) e y₀ ∈ R, esiste ed è unica (S.S.) primitiva di f in (a,b) tale che G(x) = y₀.

Dimostrazione

Poniamo G(x) = F(x) + C e sost